【導讀】數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)是提高無線數(shù)據(jù)傳輸速度的有效措施之一。近年來出現(xiàn)的壓縮感知理論則不受制于奈奎斯

　　

【正文】 ，如一維信號會在高頻出現(xiàn)振蕩。 針對上述問題， 2020 年 1 月 Cand232。s 和 Romberg 提出了不同的信號恢復方法，該方法要求對原信號具有少量的先驗條件 ，同時也可以對所求結(jié)果施加適當?shù)南拗疲约s束重構(gòu)信號的特性。通過在凸集上交替投影（ Projections onto Convex Sets）的方法，可以快速求解線性規(guī)劃問題。 另一類基于貪婪思想的迭代算法以更多的觀測數(shù)量作為代價達到了更加快速重構(gòu)的目的。 （ MP）和正交匹配追蹤（ OMP）算法來求解優(yōu)化問題重構(gòu)信號，大大提高了計算的速度，且易于實現(xiàn)。樹形匹配追蹤（ TMP）算法是 2020年 Chinh La 和 Minh 。該方法針對 BP、 MP和 OMP方法沒有考慮信號的多尺度分解時稀疏信號在各子帶位置的關系，將稀疏系數(shù)的樹型結(jié)構(gòu)加以利用，進一步提升了重構(gòu)信號的精度和求解的速度。匹配追蹤類算法都是基于貪婪迭代算法，以多于 BP算法需要的采樣數(shù)目換取計算復雜度的降低。例如 OMP算法，需要 cKM?，)ln(2 Nc?個采樣點數(shù)才能以較高的概率恢復信號，信號重構(gòu)的計算復雜度為)( 2NKO。 2020年 Donoho等人提出了分段正交匹配追蹤（ StOMP， stagewise 24 OMP）算法。它將 OMP進行一定程度的簡化，以逼近精度為代價進一步提高了計算速度（計算復雜度為 O(N)），更加適合于求解大規(guī) 模問題。 E. Hale， W. Yin基于分裂算子和同倫算子提出了求解最小 1范數(shù)大規(guī)模問題的方法，適合于糾錯編碼、磁共振成像、 NMR波譜研究等領域的大規(guī)模問題求解。 在上述各種方法中，觀測矩陣中的所有值都非零，這樣信號采樣過程的計算量是O(MN)，在大規(guī)模的數(shù)據(jù)面前，這個量級還是非常大的。因此一類利用稀疏矩陣作為觀測矩陣進行采樣的方法出現(xiàn)了。 Graham Cormode等人，提出利用分組測試和隨機子集選取來估計稀疏信號的非零系數(shù)的位置和取值，該方法需要的采樣數(shù)為 )log(2NKOM?，信號重構(gòu)的計算復雜度為)log( 2NKO，得到重 構(gòu)信號的速度更快。 Gilbert等人在 2020 年 4 月提出了鏈式追蹤（ CP， Chaining Pursuit）方法來恢復可壓縮信號。利用)log( 2NKO個采樣觀測重構(gòu)信號，需要計算量為 )loglog(22 KNKO，該方法對特別稀疏信號的恢復計算性能較高，但當信號的稀疏度減少，需要的采樣點數(shù)會迅速增加，甚至超過信號本身的長度，這就失去了壓縮采樣的意義。 總之，目前為止出現(xiàn)的重構(gòu)算法都可歸入以下三大類： （ 1）貪婪追蹤算法：這類方法是通過每次迭代時選擇一個局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號。這些算法包括 MP算法， OMP算法，分段 OMP算法（ StOMP） 和正則化 OMP（ ROMP）算法。 （ 2）凸松弛法：這類方法通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題求解找到信號的逼近， 如 BP算法，內(nèi)點法，梯度投影方法和迭代閾值法。 （ 3）組合算法：這類方法要求信號的采樣支持通過分組測試快速重建，如傅 立葉采樣，鏈式追蹤和 HHS追蹤等。 總之，每種算法都有其固有的缺點。凸松弛法重構(gòu)信號所需的觀測次數(shù)最少， 但往往計算負擔很重。貪婪追蹤算法在運行時間和采樣效率上都位于另兩種算法 之間。 由上面的分析可知，重構(gòu)算法和所需的觀測次數(shù)密切相關，當前，壓縮感知 理論的信號重構(gòu)問題的研究主要集中在 如何構(gòu)造穩(wěn)定的、計算復雜度較低的、對 觀測數(shù)量要求較少的重構(gòu)算法來精確地恢復原信號。 壓縮感知優(yōu)勢及不足 相對于傳統(tǒng)的信息處理方式，壓縮感知理論毫無疑問是具有優(yōu)勢的，這體現(xiàn)在以下幾個方面： （ 1）采集數(shù)據(jù)的時候只需要采集一部分數(shù)據(jù)（包含了原信號的全局信息），一 25 開始就可以傳輸長度較短的信號。這樣做的好處就是將信號壓縮這一端的過程簡單化，而將復雜的部分交給數(shù)據(jù)還原的這一端來做。這種優(yōu)勢在醫(yī)學圖像領域體現(xiàn)的愈為明顯，因為采集數(shù)據(jù)的過程往往是對病人帶來很大麻煩甚至身體傷害的過程。以 X 光斷層掃描為例， 眾所周知 ， X 光輻射會對病人造成身體損害，而壓縮感知的特點使得我們可以用比經(jīng)典少得多的輻射劑量來進行數(shù)據(jù)采集，這在醫(yī)學上的意義是不言而喻的。 （ 2）由于直接感知壓縮后的數(shù)據(jù)，所以不受奈奎斯特采樣定律的局限，降低了對采樣系統(tǒng)硬件設備的要求，這對于寬帶信號非常實用。 （ 3）具有抗干擾能力。由于感知到的測量值中的任何一項都是重要的，或者說不重要的， 所以如果測量值丟失了其中的某幾項，仍然可以完美重構(gòu)信號。 當然，目前的壓縮感知理論還不是特別完善， 尚存在一些問題需要研究，在這里將列出其中幾個問題： （ 1）實際應用領域中，測量到的數(shù)據(jù)可能無法包含信號的全局信息，例如最傳統(tǒng)的攝像問題，每個感光器件所感知到的只是一小塊圖像而不是什么全局信息。 （ 2）感知到的測量值的長度一般是重要分量長度的 4倍，才能近乎完美地重構(gòu)。 （ 3）重構(gòu)算法是 NP 問題。即使將 0范數(shù)轉(zhuǎn)化為 1 范數(shù)，由于不可微性（ indifferentiable），算法的計算復雜度仍然很高。而且，目前的重構(gòu)算法對含噪信號或者采樣過程中引入噪聲的信號重構(gòu)效果不夠理想。 （ 4）壓縮感知理論是采用非自適應線性投影來保持信號的原始結(jié)構(gòu)，不夠靈活，需要研究自適 應傳感技術(shù)，根據(jù)不同的信號類型采用不同的數(shù)據(jù)采樣和重構(gòu)策略。 壓縮感知在傳感網(wǎng)中的觀測方式 之前已經(jīng)提及將壓縮感知運用到傳感網(wǎng)中，即在節(jié)點處得到觀測值數(shù)據(jù)并傳給sink節(jié)點（或者融合中心）?，F(xiàn)在將分別講述壓縮感知在傳感網(wǎng)中的兩種觀測方式。 （ 1） 第一種：模擬通信方式 模擬通信，即傳輸?shù)臏y量值是模擬數(shù)據(jù)，具體步驟如下（假設有個傳感節(jié)點）： 1)對于個節(jié)點而言，每一個節(jié)點都要利用其節(jié)點網(wǎng)絡地址（或者編號）作為產(chǎn)生偽隨機的種子（ seed），得到隨機投影矢量 }{1,kijiA ?的個 K元素。 sink節(jié)點在知道種子和節(jié)點在網(wǎng)絡中的地址后，也能夠很容易的為每個傳感節(jié)點 j(j=1,...,n)重建出隨即矢量}{ 1, kijiA ? 2)）編號為 j的傳感節(jié)點將所感知數(shù)據(jù) jx 與 , }{1,kijiA ?相乘得到個元組 26 （式 ） 所有的節(jié)點在 k個時隙內(nèi)（次傳輸）連貫的將相應的 jV 以模擬方式傳至融合中心。由于無線電波的累加性質(zhì)，在 k次傳輸后 sink節(jié)點最終得到的接收信號為 ?? ????nj j Axvy 1 ?? （式 ） 其中ω為通信過程中產(chǎn)生的噪聲。 以上步驟是以完全分散的形式將感知數(shù)據(jù)的 k個隨機投影在 k次傳輸中傳給 sink節(jié)點。 （ 2） 第二種：數(shù)字通信方式 數(shù)字通信方式，即傳輸?shù)臏y量值是量化后的值。這種方式可以達到同樣的目的。假設節(jié)點能夠進行本地通信，并能建立一條路由，從而與某個確定的簇頭節(jié)點之間形成生成樹。具體步驟如下： 1）首先傳感節(jié)點能夠計算測量值 kijjiji XAV 1, }{ ?? ； 2）然后這些測量值可以經(jīng)過聚合在簇頭節(jié)點得到所有測量值 V=Ax，然后對這些值進行編碼傳至 sink節(jié)點。 這兩種方法主要的不同就在于第一種方式不需要復雜的路由信息。但考慮到數(shù)字通信的抗噪聲能力強，遠距離傳輸能保證信號質(zhì)量，在本文中將選取第二種方式。 27 第 3 章 壓縮感知理論應用概述 壓縮傳感理論帶來了傳統(tǒng)信號采樣理論的變革，而且具有很廣闊的應用前景和場合?，F(xiàn)有的應用主要包括壓縮感知成像、模擬信息的轉(zhuǎn)換、生物傳感等方面。 壓縮成像 運用壓縮感知原理，美國 RICE大學已經(jīng)成功研制了 “單像素”壓縮數(shù)碼照相機，設計的原理是首先通過光路系統(tǒng)將成像目標投影到一個數(shù)字微鏡器件上，然后其反射光由透鏡聚焦到單個光敏二極管上，光敏二極管兩端的電壓值即為一個測量值 y，將此投影操作重復 M次，得到測量向量 y，然后用最小全變分算法構(gòu)建的數(shù)字信號處理器重構(gòu)原始圖像 f。數(shù)字微鏡器件由數(shù)字電壓信號控制微鏡片的機械運動以實現(xiàn)對入射光線的調(diào)整，相當于隨機觀測矩陣 Φ。由于該相機直接獲取的是 M次隨機線性測量值，而不是獲取原始信號的 N (M N)個像素值，為低像素相機拍攝高質(zhì)量的圖像提供了可能。而且壓縮感知技術(shù)也可以 應用于雷達成像領域，與傳統(tǒng)雷達成像技術(shù)相比，壓縮感知雷達成像主要實現(xiàn)了兩個重要改進：在接收端省去了脈沖壓縮匹配濾波器；同時因為避開了對原始信號的直接采樣，降低了接收端對模數(shù)轉(zhuǎn)換器件帶寬的要求。設計的重點由傳統(tǒng)的設計昂貴的接收端硬件轉(zhuǎn)化成為設計新穎可靠的信號恢復算法，從而簡化了雷達成像系統(tǒng)。 Bhattacharya等人將壓縮感知理論應用到合成孔徑雷達圖像數(shù)據(jù)獲取上，從而解決了海量數(shù)據(jù)的采集和存儲問題，顯著降低了衛(wèi)星圖像處理的計算代價。另外，壓縮傳感技術(shù)也可以應用于醫(yī)學成像領域，如稀疏核磁共振成像、壓縮感知三維 磁共振波譜成像等等。 模擬信息轉(zhuǎn)換 對于帶寬非常高的信號，比如雷達和通信信號處理系統(tǒng)涉及的射頻信號，根據(jù)奈奎斯特定理，要獲得完整的信號信息，所采用的模數(shù)轉(zhuǎn)換器必須具有很高的采樣頻率。然而由于傳感器及轉(zhuǎn)換硬件性能的限制，獲得的信號的帶寬要遠遠低于實際信號的帶寬，存在較大的信息的丟失。對此 Kriolos等人設計了基于壓縮感知理論的模擬 /信息轉(zhuǎn)換器，利用壓縮感知理論中測量信息可以得到完整信號的原理。首先獲得原始信號的線性測量，再利用后端數(shù)字信號處理器重構(gòu)原始信號或者直接計算原始信號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)等信息。 Laska等人進一步發(fā)展了基于隨機采樣系統(tǒng)的模擬 /信息轉(zhuǎn)換器，并給出了隨機抽樣系統(tǒng)的兩種實現(xiàn)模型：第一種模型采用多個并行低采樣率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器，每個模數(shù)轉(zhuǎn)換器之間有等間隔的位移，通過隨機控制來自不同的模數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣，實現(xiàn)隨機采樣。然而這種方法卻需要多個模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片，每個芯片利用率不太高。第 28 二種模型采用一組電容和數(shù)字控制換向器隨機采樣，該系統(tǒng)只需要一個模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片即可。 生物傳感 生物傳感中的傳統(tǒng) DNA芯片能平行測量多個有機體，但是只能識別有限種類的有機體， Sheikh等人運用壓縮感知和群組檢測原理設計的壓 縮感知 DNA芯片克服了這個缺點，壓縮感知 DNA芯片中的每個探測點都能識別一組目標，從而明顯減少了所需探測點數(shù)量。此外，基于生物體基因序列稀疏特性， Sheikh等驗證了可以通過置信傳播的方法實現(xiàn)壓縮感知 DNA芯片中的信號重構(gòu)。 除此之外，壓縮感知理論還被應用于信號的檢測分類、數(shù)據(jù)的通信、無線傳感器網(wǎng)絡應用和地球物理數(shù)據(jù)的分析等眾多的領域。 本章小結(jié) 本章詳細描述了壓縮感知理論基本框架。壓縮感知理論是一個非常簡單有效的信號采集協(xié)議，它以較低采樣速率和獨立于信號的采樣方式采樣信號，然后又用強大的計算能力從 看上去不完整的觀測集合中重構(gòu)原信號。對壓縮感知理論實現(xiàn)的兩個前提要求 ——信號稀疏性及觀測矩陣和稀疏表示基之間滿足不相干性進行了詳細的論述，著重介紹了信號稀疏變換、觀測矩陣設計和重構(gòu)算法三個方面的最新研究進展情況。 壓縮感知理論是近幾年剛剛興起的理論，但卻展現(xiàn)了強大的生命力引起了廣泛的關注，下面我們將對該理論的歷史和發(fā)展歷程做出介紹。 29 第 4章 CS 在無線傳感網(wǎng)中的應用 前文我們已經(jīng)對壓縮感知（ CS）理論做了叫詳細的介紹，下面我將介紹將壓縮感知應用于無線傳感的優(yōu)勢以及采用 OMP 算法，實現(xiàn)對一維 信號和二維信號圖像的CS 重構(gòu)。 研究背景 前面緒論中已經(jīng)提到無線傳感網(wǎng)中的一些感知數(shù)據(jù)具有時間相關性和空間相關性，利用這種數(shù)據(jù)特點，人們可以對感知數(shù)據(jù)進行了壓縮處理。下面將介紹已有的基于相關性的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)，并闡明利用 CS 壓縮數(shù)據(jù)的優(yōu)勢。 基于感知數(shù)據(jù)相關性的壓縮 利用傳感數(shù)據(jù)間的時間相關性，文獻 [13]提出了節(jié)省一個傳感器節(jié)點內(nèi)存和計算資源的無損壓縮算法。利用傳感數(shù)據(jù)間（相鄰傳感器節(jié)點在同一時刻所采集的數(shù)據(jù)之間）的空間相關性，文獻 [17]提出了在多層架構(gòu)中，運用多重主成分分析法（ Multiple Principal Component Analysis, MPCA）去除了普通節(jié)點間的數(shù)據(jù)相關性以及相鄰簇頭節(jié)點主成分之間的相關性，而文獻 [26]則將近年提出壓縮感知算法運用到基于分簇的傳感網(wǎng)數(shù)據(jù)壓縮中，降低了傳輸能耗。文獻 [33]在時域和空間域提出了多分辨率和查詢（ Multiresolution Compression and Query, MCQ）架構(gòu)，用離散余弦變換和差分編碼技術(shù)來降低數(shù)據(jù)冗余度，延長網(wǎng)絡壽命。但是這些算法并沒有綜合考慮時間相關性和空間相關性，文獻 [46]將融合了這 兩種相關性的分布式信源編碼運用到傳感網(wǎng)的數(shù)據(jù)壓縮中。在一些分布式編碼算法中，需要進行傳感器節(jié)點間的信息交換，傳輸這些信息需要消耗能量，因此，文獻 [13,22]提出了基于聯(lián)合稀疏模型的分布式壓縮感知算法，既采用了兩種相關性，又不需要傳感器節(jié)點之間交換信息，而且能夠大大降低所需要傳輸?shù)臏y量值的數(shù)目，在此基礎上，文獻 [21]還利用貝爾實驗室所采集的實際數(shù)據(jù)進行了仿真驗證。另外文獻