階段核心歸類二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的九種常見類型-資料下載頁
2025-03-12 12:18本頁面
【正文】 nx ＋ n ( x ≥ n ) ，－12x2＋n2x ＋n2( x ＜ n ) .( n 為常數(shù) ) ( 1) 當(dāng) n ＝ 5 時： ① 點(diǎn) P (4 ， b ) 在此函數(shù)圖象上，求 b 的值； 解： ( 1) 當(dāng) n ＝ 5 時， y ＝????? － x2＋ 5 x ＋ 5 ( x ≥5 ) ，－12x2＋52x ＋52( x ＜ 5 ) . ① 將 P (4 ， b ) 的坐標(biāo)代入 y ＝－12x2＋52x ＋52， 可得 b ＝92. ② 求此函數(shù)的最大值 ． 解： x ≥5 時，當(dāng) x ＝ 5 時 y 取得最大值，為 5 ， x ＜ 5 時，當(dāng) x ＝52時 y 取得最大值，為458， ∴ 此函數(shù)的最大值為458. (2)已知線段 AB的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2， 2)， B(4， 2)，當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段 AB只有一個交點(diǎn)時 ， 直接寫出n的取值范圍 ． 解： 當(dāng) 2≤ n ＜83 或185 ＜ n ＜ 4 時，此函數(shù)的圖象與線段 AB只有一個交點(diǎn)． (3)當(dāng)此函數(shù)圖象上有 4個點(diǎn)到 x軸的距離等于 4時 ， 求 n的取值范圍 ． 解： 當(dāng)函數(shù)圖象上有 4個點(diǎn)到 x軸的距離等于 4時 ， 此函數(shù)圖象與直線 y＝ 4， y＝－ 4恰有 4個交點(diǎn) ． 設(shè) x＜ n時圖象為 β， x≥n時圖象為 α. ① 當(dāng) n 很小時，函數(shù)圖象與直線 y ＝ 4 ， y ＝－ 4 始終有 4 個交點(diǎn)，不斷增大 n ，直到如圖 ① 所示的情況，此時 β 剛要經(jīng)過直線 y ＝－ 4 ，則有 －12n2＋n2 n ＋n2＝－ 4 ，則 n ＝－ 8 ， 故 n ≤ － 8 時恒成立． ② 在圖 ① 之后的一段時間內(nèi)，函數(shù)圖象與直線 y ＝ 4 ， y＝－ 4 共有 5 個交點(diǎn)，直到運(yùn)動到如圖 ② 所示的情況，α 的頂點(diǎn)落在直線 y ＝ 4 上， 即n24＋ n ＝ 4 ，解得 n ＝ － 2 5 － 2( n ＝ 2 5 － 2 舍去 ) ． ③ 在圖 ② 之后的一段時間內(nèi) ， 不斷增大 n(n取正數(shù) )，直到如圖 ③ 所示的情況 ． 對于 α， 當(dāng) x＝ n時 ， － n2＋ n2＋ n＝ 4， 解得 n＝ 4. 而此時 β的頂點(diǎn)坐標(biāo)恰好為 (2， 4)， 所以此時函數(shù)圖象上到 x軸的距離 等于 4的點(diǎn)恰好有 4個 ． ④ 在圖 ③ 之后的一段時間內(nèi)，不斷增大 n ，函數(shù)圖象與直線 y ＝ 4 ， y ＝－ 4 共有 5 個交點(diǎn)，直到運(yùn)動到如圖 ④所示的情況． 此時函數(shù)圖象與直線 y ＝ 4 ， y ＝－ 4 恰有 4 個交點(diǎn)， 解－12n2＋n2 n ＋n2＝ 4 ，得 n ＝ 8. 隨著 n 的不斷增大，函數(shù)圖象與直線 y ＝ 4 ， y ＝－ 4 始終有 4 個交點(diǎn)，故 n ≥8 時恒成立． 綜上所述， n 的取值范圍是 n ≤ － 8 或 n ＝－ 2 5 － 2 或n ＝ 4 或 n ≥8.
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