【正文】 1LWh2Sh2/ whd2( uα / 2)2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 190 ) ( 2 ) 比例分配 : w h =W h 將 w h =W h 代入式 ( 3 . 191 ) 可得 n=∑h = 1LWhSh2d2( uα / 2)2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 19 1 ) 2023/3/26 83 ( 3 ) 內(nèi)曼分配 : w h =W h S h / ∑h = 1LW h S h 將此時 w h 的表達(dá)式代入式 ( 3 . 1 91 ) 可得 n= ∑h = 1LWhSh 2d2( uα / 2)2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 19 2 ) ( 4 ) 一般最優(yōu)分配 : w h = ( W h S h ) / Ch/ ∑h = 1LW h S h / Ch 將此時 w h 的表達(dá)式代入式 ( 3 . 1 91 ) 可得 n=∑h = 1L( WhSh ch) ∑h = 1L( WhSh/ ch)d2( uα / 2)2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 193 ) 的相對誤差限 r(在給定的置信水平 1α下 )的形式給出 2023/3/26 84 ( 1 ) 確定的樣本量分配形式 : n h =n w h n=∑h = 1LWh2Sh2/ wh r Y?uα / 2 2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 194 ) ( 2 ) 比例分配 : w h =W h n=∑h = 1LWhSh2 r Y?uα / 2 2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 195 ) 2023/3/26 85 ( 3 ) 內(nèi)曼分配 : w h =W h S h / ∑h = 1LW h S h n= ∑h = 1LWhSh 2 r Y?uα / 2 2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 19 6 ) ( 4 ) 一般最優(yōu)分配 : w h = ( W h S h ) / Ch∑h = 1LW h S h / Ch n=∑h = 1L( WhSh/ Ch) ∑h = 1L( WhSh/ Ch) r Y?uα / 2 2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 197 ) 值得注意的是 , 當(dāng)精度要求是以 y?st的相對誤差限 r 的形式給出時 , 不僅需要對 S h 進(jìn)行估計 , 而且需要對 Y?進(jìn)行估計。 例 2023/3/26 86 某工廠生產(chǎn)的機(jī)器供應(yīng)全國 219 家用戶 , 現(xiàn)在想請用戶對該廠機(jī)器進(jìn)行評分。今把這些用戶分成本地區(qū)、本省外地區(qū)以及外省三層 , 相關(guān)資料如表 3 — 11 所示 ( 其中的 c h 為在第 h 層中調(diào)查一個用戶的平均費(fèi)用 ) 。 表 3 — 11 關(guān)于層的數(shù)據(jù)資料 本地區(qū) 本省外地區(qū) 外省 N 1 = 112 N 2 = 68 N 3 = 39 S12= 2 . 25 S22= 3 . 24 S32= 3 . 24 c 1 = 9 c 2 = 25 c 3 = 36 現(xiàn)在要求評分均值的估計量的方差 V ( y?st) = 0 . 1 , 同時還要求費(fèi)用最省 ( c 0 = 0 , 且費(fèi)用為線性形式 ), 求樣本量 n 及其在各層的分配 , 并計算出對應(yīng)的最低費(fèi)用是多少。 2023/3/26 87 解 : 根據(jù)表 3 — 11 中的數(shù)據(jù)資料可得出下面的結(jié)果 , 見表 3 — 12 。 表 3 — 12 根據(jù)數(shù)據(jù)資料而進(jìn)行相關(guān)的計算 h W h S h ch W h S h c h W h S h / c h W h S h2 w h 1 0 . 511 4 1 . 500 0 3 2 . 301 3 0 . 255 7 1 . 150 7 0 . 607 5 2 0 . 310 5 1 . 800 0 5 2 . 794 5 0 . 111 8 1 . 006 0 0 . 265 6 3 0 . 178 1 1 . 800 0 6 1 . 923 5 0 . 053 4 0 . 577 0 0 . 126 9 總計 1 . 000 0 — — 7 . 019 2 0 . 420 9 2 . 733 7 1 . 000 0 將表中的計算結(jié)果代入到下面的公式 n=∑h = 1L( WhSh ch) ∑h = 1L( WhSh/ ch)V +1N∑h = 1LWhSh2 2023/3/26 88 則 n=7 . 019 2 0 . 420 90 . 1 + 2 . 733 7 / 219= 26 . 26 ≈ 26 根據(jù) w h = ( W h S h / ch) ∑h = 1L( W h S h / ch), 可得 w 1 = 0 . 607 5 , w 2 = 0 . 26 5 6 , w 3 = 0 . 1 26 9 。進(jìn)而有 n 1 =n w 1 = 16 , n 2 =n w 2 = 7 , n 3 =n w 3 = 3 此時對應(yīng)的最低費(fèi)用為 : C m i n = 16 9 + 7 25 + 3 36 = 427 2023/3/26 89 二 、 總費(fèi)用給定時總樣本量的確定 ? 給定 V時 C c c nh hhL? ???011h h hh Lh h hhW S cwW S c???nW S c W S cV W S Nh h h h h hh h??? ??( )22023/3/26 90 給定 C時 011LLh h h h hhhC c c n K c W S??? ? ???01Lh h hhCcKc W S????01hhh Lhh h hhC c W SnccWS????00( ) ( ) ( ) ( )h h h h h hhhh h h h h hhhC c W S c C c N S cnW S c N S c????????hhhhWSnKc?2023/3/26 91 第七節(jié) 分層抽樣的其他方面 一 、 多重分層 ? 定義 當(dāng)調(diào)查指標(biāo) ψ與兩個或多個輔助變量x1,x2,…都存在相關(guān)關(guān)系時 ,為了提高分層的效益 ,需要按每一個輔助變量進(jìn)行分層 ,通常的做法是先按最主要的變量分成大層 ,在大層中再按第二主要變量分成子層 ,從而形成交叉分層。當(dāng)存在多個分層變量時 ,這種分層方式即稱為多重分層 (multiple stratification)。 ? 對于多重分層 ,當(dāng)“子層”劃分好以后 ,就要考慮 樣本量在各子層的分配問 題。最簡單常用的樣本量分配方法是按照與每一子層大小成比例的原則進(jìn)行分配。 ? 在多重分層中 ,有時會出現(xiàn)這樣一個問題 :當(dāng)總樣本量 n相對于子層總數(shù) RC不夠大時 ,會出現(xiàn)某些子層分配不到樣本的情況。 若 nmax (R,C),則此時應(yīng)當(dāng)考慮重新確定分層變量或者不采用分層抽樣 ,否則這種分層的效益是很難保證的。 若 nRC,同時還滿足 n≥max (R,C),就可以考慮用試驗設(shè)計的思想來進(jìn)行樣本量的分配。 2023/3/26 92 2023/3/26 93 二、 事后分層 實際工作 中， 有時進(jìn)行事先分層會存在一定的困難 ? 各層的抽樣框無法得到 ? 幾 個變量都適合于分層，要進(jìn)行事先的交叉分層比較困難，并且我們并不需要交叉分層后每個子層的估計 ? 一個單位到底屬于哪一層要等到樣本數(shù)據(jù)收集到以后才知道 ? 總體規(guī)模 N太大 ,事先分層太費(fèi)事等 ? 事后分層技術(shù)要求層權(quán) Wh已知或者可以通過某種途徑獲得 ,當(dāng)層權(quán) Wh未知而需要進(jìn)行估計時 ,應(yīng)當(dāng)確保層權(quán)的估計值與實際的層權(quán)相差甚小 ,否則將達(dá)不到提高估計量精度的目的。 ? 同時 ,在使用事后分層技術(shù)時還應(yīng)該注意“事后層”的數(shù)目不宜太多。 2023/3/26 94 事后分層的具體實施辦法 2023/3/26 95 先采用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取一個樣本量為 n 的樣本 , 然后對樣本中的單元按某些特征進(jìn)行分層。 假設(shè)在 n 個樣本中 , 落入第 h 層的樣本數(shù)為 m h , 有 ∑h = 1Lm h =n , 則此時對總體均值 Y?的事后分層估計為 : y?p s t= ∑h = 1LW h y?h= ∑h = 1LW h 1mh∑i = 1mhyhi 式中 , 層權(quán) W h 已知 。 y hi 代表落入第 h 層的第 i 個樣本的指標(biāo)值。 m h 會隨抽取樣本的不同而發(fā)生變化 , 同時 m h ( h= 1 , 2 , ? , L ) 中的一個或更多個可能等于 0 , 如果出現(xiàn)這種情況 , 在估計之前就需要對層進(jìn)行合并。 2023/3/26 96 在 m h 固定而且都大于 0 的條件下 , yh 1, yh 2… , yh mh ( h= 1 , 2 , ? , L ) 可以看成是獨立地從各層中抽取的簡單隨機(jī)樣本。 2023/3/26 97 ? 簡單隨機(jī)樣本 ｎ，事后分層落到第ｈ層的 樣本量 nh ? ? ??????LhhhLh hhhp s t SWNnSWyV12122 1? ? 22111hNh h i hihS Y YN???? ????Lhhhp s t yWy1nh固定并都大于 0的條件下 n足夠大時，為無偏估計 2023/3/26 98 ? 第一項就是按比例分配分層抽樣估計量的方差，第二項表示因事后分層而非事先按比例分配分層引起的方差增加 量 ? 只要樣本量足夠大，事后分層的精度與按比例分配事先分層的精度 相當(dāng) ? ?? ? ? ?????????LhhhLhhhpst SWnSWnfyVE12212 1112 ）（? ??????Lhhhprop SWnV122 11定理 3 . 9 當(dāng) n 充分大時 , 事后分層估計量 y?p s t 及其方差 V ( y?p s t ) 有如下性質(zhì) : ( 1 ) E ( ????? ?? ?? ) = ??? 2023/3/26 99 ? 如果樣本是按某一個輔助指標(biāo)分層后抽取的，只要這個事先分層抽樣是嚴(yán)格 按比例分配 進(jìn)行的，則這個樣本是 自加權(quán) 的，總體中每個單元被抽中的概率相同，我們可以將這個樣本 看作簡單隨機(jī)樣本，分別對其它指標(biāo)進(jìn)行事后分層估計 。 謝謝觀看 /歡迎下載 BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES. BY FAITH I BY FAITH