【正文】 （4）的解相同。（證）因?yàn)榈仁剑?）成立的充分必要條件是等式（4）成立。【】設(shè)(,)＝d1，若方程（1）有解，且其一組特解為，則它的所有解為 t＝0,177。1,177。2,… （4）（證）?！咀ⅰ慨?dāng)(,)＝d1時(shí)，不能用公式（3）求方程（1）的所有解，否則會(huì)漏掉某些解。故須先將方程（1）化為等價(jià)方程（4），再按公式（3）求方程（4）的所有解， t＝0,177。1,177。2,…（1）的所有解。(五) 例【例1】求不定方程10x－7y＝17的全部整數(shù)解.（解）(10,－7)＝1，所以方程有解。觀察：＝1，＝－1是一組特解，故全部解為 t＝0,177。1,177。2,…【例2】求方程18x+24y＝9的全部整數(shù)解.（解）因(18,24)＝6，而6├9，故方程無(wú)解?！纠?】求方程6x+10y＝22的全部整數(shù)解.（解）(6,10)＝2，2│22，所以方程有解?；匠虨? ＝即 3x+5y＝11觀察可得 ＝2，＝1，故原方程的全部解為 t＝0,177。1,177。2,…即 （x,y）＝…，(－13,10)，(－8,7)，(－3,4) ，(2,1) ，(7,－2) ，(12,－5)，…【注意】原方程的解不能表示為 t＝0,177。1,177。2,…這樣就漏掉了部分解，如 …，(－13,10)，(－3,4)，(7,－2) ，(17,－8)，…2. 6. 2 求特解的方法(一) 求特解的方法Ⅰ——觀察法（見上）(二) 求特解的方法Ⅱ——試探法（枚舉法）【例4】求方程 10x－7y＝17的特解。（解）由原方程知 y＝－(17－10x)/7令x＝0,1,2,…，計(jì)算值為整數(shù)的y即可。＝0，y＝－17/7＝1，y＝－1所以特解可選 ＝1，＝－1(三) 求特解的方法Ⅲ——輾轉(zhuǎn)相除法。【例5】求方程 12x+19y＝20的特解。（解）(12,19)＝1，所以方程有解。做帶余除法由下往上反推19=121+71=123(1912)5 =195+12812=71+51=72+(127)3=123757=51+21=5(75)2=72+535=22+11=522即128195=1兩邊同時(shí)乘以20得 12(820)+19(520)=20 12160+19(100)=20所以，原方程的一個(gè)特解為 =160，=100（全部解為x=160+19t，y=10012t， t＝0,177。1,177。2,…）【例6】求方程 36x28y＝100的特解。（解）(36,28)＝4，4│100，所以方程有解。做帶余除法由下往上反推36=281+84=28(3628)3 =363+28428=83+44=28838=42+0即363+284=4兩邊同時(shí)乘以25得 36(325)+28(425)= 425 36(75)28(100)=100所以，原方程的一個(gè)特解為 =75，=100(四) 求特解的方法Ⅳ——再用輾轉(zhuǎn)相除法同時(shí)判斷方程是否有解并求出全部解?！纠?】求方程 907＋731＝2107的解。（解）化原方程為x2＝(－907x1＋2107)/731＝－x1＋3＋(－176x1－86)/731令 x3＝(－176x1－86)/731∈Z，則 x1＝(－731x3－86)/176 ＝－4x3＋(－27x3－86)/176即 176 x1＋731x3＝－86 （*）則方程(*)與原方程同時(shí)有解或無(wú)解，且二者的解一一對(duì)應(yīng)。（例如原方程有解(x1, x2)＝(－258, 323)，則對(duì)應(yīng)（*）式的解(x1, x3)＝ (－258, 62)。又如(473, －584)←→(473, －114)）特點(diǎn)：方程（*）的系數(shù)的絕對(duì)值比原方程小。思路：以此類推，將方程不斷化小。化簡(jiǎn)過程回代過程x2＝(－907x1＋2107) /731＝－x1＋3＋(－176x1－86)/731x2＝－x1＋3＋x3＝－(－258＋731x6)＋3＋(62－176x6)＝323－907x6令x3＝(－176x1－86)/731∈Z則x1＝(－731x3－86)/176＝－4x3＋(－27x3－86)/176x1＝－4x3＋x4＝－4(62－176x6)＋( －10＋27x6)＝－258＋731x6令x4＝(－27x3－86)/176∈Z則x3＝(－176x4－86)/27＝－7x4－3＋(13x4－5)/27x3＝－7x4 －3＋ x5＝－7(－10＋27x6) －3＋(13x6－5)＝62－176x6令x5＝(13x4－5)/27∈Z則x4＝(27x5＋5)/13＝2x5＋(x5＋5)/13x4＝2x5＋x6＝2(－5＋13x6)＋x6＝－10＋27x6令x6＝(x5＋5)/13∈Z則x5＝13x6－5方程x5＝13x6－5顯然有解，且有，x6＝0,177。1,177。2,…例如 (x5, x6)＝(－5, 0)＝(8,1)＝…因xx6可以同時(shí)為整數(shù)，故原方程有解，且其解為 x6＝0,177。1,177。2,…【例8】求方程 21＋117＝38的解。（解）x1＝(－117x2＋38)/21＝(－6x2＋2)＋(9x2－4)/21令 x3＝(9x2－4)/21∈Z，則 x2＝(21x3＋4)/9 ＝2x3＋(3x3＋4)/9（把原方程化為 9x2－21 x3＝4）令 x4＝(3x3＋4)/9∈Z，則 x3＝(9x4－4)/3 ＝(3x4－1)－1/3（把新方程化為 3x3－9x4＝－4）最后一式表明xx4不能同時(shí)為整數(shù)，故方程3x3 －9x4＝－4無(wú)解，從而原方程無(wú)解。【例9】求方程 6＋10＝22的解。（解）x1＝(－10x2＋22)/6＝(－2x2＋4)＋(2x2－2)/6令 x3＝(2x2－2)/6，則 x2＝(6x3＋2)/2 ＝3x3＋1 （解出了x2）反推：x1＝－2x2＋4＋ x3＝－2(3x3＋1) ＋4＋ x3 ＝2－5 x3 （解出x1）∴ 解為 ，t＝0,177。1,177。2,…2. 6. 3 n元一次不定方程(一) 定義【】設(shè)整數(shù)s≥0，a1,a2,…,as,n是整數(shù)且ai≠0(i＝1,2,…,s)，整數(shù)x1,x2,…,xs是變數(shù)，方程x1＋a2x2＋…＋asxs＝n （6）稱為n元一次不定方程，a1,a2,…,as稱為它的系數(shù)。(二) 有解的條件【】n元一次（不定）方程（6）有解的充分必要條件為(,…, as)│n且有解時(shí)，它的解與不定方程＋…＋＝ （7）的解相同。其中d＝(,…, as)。（證）。(三) 求解算法——輾轉(zhuǎn)相除法【例7】求方程 15＋10＋6 x3＝61的全部解。（解）由于 ＝min，故選x3將原方程化為＝(－15x1－10x2＋61)＝(－2x1－2x2＋10)＋(－3x1＋2x2＋1)令 x4＝(－3x1＋2x2＋1) ∈Z，則有＝(3x1＋6x4－1)＝ (x1＋3x4)＋(x1－1)又令 x5＝(x1－1) ∈Z，則有＝2x5＋1＝1＋2x5， x5＝0,177。1,177。2,… 反推有＝(x1＋3x4)＋ x5＝(1＋2x5)＋3x4＋ x5＝1＋3x4＋3x5＝(－x1－2x2＋10)＋x4＝－(1＋2x5) －2(1＋3x4＋3x5)＋10＋3x4＝6－5x4－10x5 ， x4,x5＝0,177。1,177。2,…所以，原方程的全部解為， u,v＝0,177。1,177。2,…2. 6. 4 （n元）一次不定方程組思路：用消元法，化為多元單個(gè)不定方程?！纠?】解方程組 。（解）方程①－②得（消去x3）14x1＋8x2＝200即 7x1＋4x2＝100 ③觀察得特解 x1＝0，x2＝25，代入方程②得x3＝75。所以，方程③的通解為，t＝0,177。1,177。2,…代入方程②得x3＝100－( x1＋x2)＝100－( 4t＋25－7t)＝75＋3t所以，原方程組的通解為，t＝0,177。1,177。2,…【例9】解方程組 。（解）方程②－①得 x2＋2x3＋3x4＝5 ④③－②2得 －x2－2x3－7x4＝－6 ⑤再④＋⑤得 －4x4＝－1上方程中x4不可能為整數(shù)（即該方程無(wú)解），故原方程組無(wú)解。【例10】將例8中方程②的常數(shù)項(xiàng)改為8，解方程組 。（解）方程②－①得 x2＋2x3＋3x4＝8 ④③－2②得 －x2－2x3－7x4＝－12 ⑤再④＋⑤得 －4x4＝－4∴ x4＝1代入④得 x2＋2x3＝5 （注：此時(shí)方程④與⑤等價(jià)）所以，方程④與⑤聯(lián)立的解為，t＝0,177。1,177。2,…代入方程①得x1＝－(x2＋x3＋x4) ＝－[(1＋2t)＋(2－t)＋1] ＝－4－t故原方程的解為，t＝0,177。1,177。2,…【例11】解方程組 。（解）方程②－①得 2x2＋4x3＋6x4＝12 ③而(2,4,6)=2│12，所以方程③有整數(shù)解（且含有兩個(gè)參數(shù)），解得x2＝6－2x3－3x4 ④再令②－①3 －2x2＋2x3＋4x4＝2 ⑤即 x1＝－1＋x3＋2x4 ⑥聯(lián)立④、⑥得原方程的解，x3, x4＝0,177。1,177。2,…或 ，u,v＝0,177。1,177。2,…55/5