全國自考0020高等數(shù)學(xué)一微積分串講講義-資料下載頁
2025-08-22 10:11本頁面
【正文】 積；無窮限反常積分二重積分微分方程一、 不定積分例45 ．設(shè)，則f (x)= 知識點：不定積分的概念與性質(zhì)如果或 ，函數(shù)就稱為一個原函數(shù)，得全體原函數(shù)為解：例46知識點：不定積分的計算：運算性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 ( 為非零常數(shù) )基本積分表為前提1 2 (為常數(shù))， 3 ()， 4 5 6 7， 8 ，9， 10，11， 12 ，13 ， 14 ，解： 注意：計算不定積分一定不要漏掉常數(shù)C。例47 (1) (2) (3) （4）知識點：不定積分的第一換元積分法（湊微分法）解：(1) 。(2) 。(3) (4)+C注意：常見的湊微分公式 ； ； ； ； ； ； 例48. （1）求不定積分. （2） 知識點：不定積分第二換元法解：（1） 注意：若被積函數(shù)中含有的式子，取換元．（2）則 所以 +C=注意：當(dāng)分母次數(shù)比分子次數(shù)高于1時，可以采用倒代換。例49 求不定積分（1） （2）知識點：分部積分法解：（1） （2） 注意：不定積分的幾種計算方法有時需要結(jié)合使用，而且也可以移植到定積分的計算。二 定積分牛頓(Newton)－萊布尼茨(Leibniz)公式 例50 正弦曲線的一段y=sin xπ)與x軸所圍平面圖形的面積為（ ） 知識點：定積分的幾何意義解： 例51 知識點： 被積函數(shù)含有絕對值的定積分解： 由定積分的區(qū)間可加性，原積分． 在區(qū)間上，從而； 在區(qū)間上，從而． 原積分．注： 對于含有絕對值的定積分，應(yīng)利用積分的區(qū)間可加性脫掉絕對值號。例52 計算定積分 （1）。 （2） 知識點：定積分的換元計算換元必?fù)Q限， 下限對下限， 上限對上限解： （1） 取代換，則， 原積分 。（2）令， 則 例53 計算定積分 知識點： 對稱區(qū)間上定積分偶倍奇零設(shè)在上連續(xù)，證明：(1) 若為奇函數(shù)，則；(2) 若為偶函數(shù)，則．解：例54 設(shè) 求 2006年1月知識點：變上限函數(shù)。 當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時，變限函數(shù)可導(dǎo)，且 解：三 反常積分例5下列反常積分中發(fā)散的是A． B. C. D. 知識點:無窮限反常積分 解：應(yīng)選 C例 56 求曲線及直線所圍圖形的面積AxyO例57 .求由拋物線所圍成圖形的面積，知識點：旋轉(zhuǎn)體體積：由連續(xù)曲線，直線 與軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。由連續(xù)曲線，直線與軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體的體積xyO 。解 如圖， 所圍圖形位于[1，1]之間。11所圍成圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積．xbaOyD四 二重積分的計算二重積分通常都是化為二次積分來計算：1）先對后對積分 X—型區(qū)域OxydcD積分區(qū)域的上邊界與下邊界在x軸上的投影區(qū)間為（右圖）．則2）先對后對積分，y—型區(qū)域積分區(qū)域的左邊界與右邊界， 在y軸上的投影為區(qū)間（右圖）．則．例58 計算二重積分 其中是直線及 所圍的閉區(qū)域.解法1 將D看作X–型區(qū)域, 如圖(a) 所示, 則區(qū)域可以表示為, 所以.(b) （1） (a) 解法2 將D看作Y–型區(qū)域, 如圖(b), 則,所以. xyy= x22O1y2=x2例59 計算積分, 其中D是由拋物線和直線所圍成的閉區(qū)域．解 積分區(qū)域如圖所示．D看作Y–型區(qū)域, 則區(qū)域D可表示為D：, ．因此 ．五 微分方程例60初值問題的隱式特解為（ ?。〢．x2+y2=13 B．x2+y2=6 C．x2y2=5 D．x2y2=10知識點：可分離變量微分方程。解：分離變量得，兩邊積分得 即， 帶入初始條件，得C=13。故答案 A例61 求方程的通解。知識點：一階線性微分方程。的通解為解： 注： 應(yīng)會鑒別這兩種類型的微分方程．34
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