江蘇省南京市屆高考考前綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題(終稿)含答案-資料下載頁(yè)
2025-08-20 19:17本頁(yè)面
【正文】 an}公差大于零，且a2＋a3＝，a22＋a32＝，記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.（1）寫出Si（i＝1，2，3，4，5，6）構(gòu)成的集合A.（2）若q為正整數(shù)，問(wèn)是否存在正整數(shù)k，使得Tk，T3k同時(shí)為（1）中集合A的元素？若存在，求出所有符合條件的{bn}的通項(xiàng)公式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）若將Sn中的整數(shù)項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{}，求{}的一個(gè)通項(xiàng)公式.【解答】（1）由a2＋a3＝，a22＋a32＝，設(shè){an}公差為d，d大于零，得a2＝1，a3＝，d＝ ，a1＝，Sn＝，所以A＝{，3，5，}（2）因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列，bn＞0，q∈N*當(dāng)q＝1時(shí)，Tk＝kb1，T3k＝3kb1，＝3，所以T3k＝，Tk＝，所以kb1＝，b1＝，bn＝.當(dāng)q ≠1時(shí)，Tk＝，T3k＝．因?yàn)?q∈N*，q ≠1，所以q ≥2，則＝1＋qk＋q2k≥1＋2＋4＝7，所以或或或當(dāng)時(shí)，1＋qk＋q2k＝10，解得qk＝N*．當(dāng)時(shí)，1＋qk＋q2k＝15，解得qk＝N*．當(dāng)時(shí)，1＋qk＋q2k＝21，解得qk＝4或－5(舍)．由q＝2，k＝2，代入Tk＝，得b1=，所以bn＝2n－1．由q＝4，k＝1，代入Tk＝，得b1=，所以bn＝4n－1=4n－2．當(dāng)時(shí)，1＋qk＋q2k＝7，解得qk＝2或－3(舍)，所以q＝2，k＝1，代入Tk＝，得b1＝，所以bn＝32n－2．綜上，bn＝(k∈N*)或bn＝2n－1或bn＝4n－2或bn＝32n－2．（3）因?yàn)镾n＝為整數(shù)項(xiàng)，所以n＝4k或4k－1，k∈N*．當(dāng)n＝4k－1，k∈N*時(shí)，Sn＝(4k－1)k；當(dāng)n＝4k，k∈N*時(shí)，Sn＝k(4k＋1)；因?yàn)镾n中的整數(shù)項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{}，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k＝，＝(4－1)＝；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k＝，＝(2n＋1)＝；所以＝【說(shuō)明】，推理論證能力，分類討論思想. 附加題1．如圖，四棱錐S－ABCD的底面是平行四邊形，AD＝BD＝2，AB＝2，SD⊥＝2，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且 ＝λ（0≤λ≤1）.（1）求證：對(duì)任意的0≤λ≤1，都有≥；（2）若二面角C－AE－D的大小為60176。，求λ的值．【解答】（1）因?yàn)锳D＝BD＝2，AB＝2，所以AD⊥DB.故以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，DS所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o－xyz，則D（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），C（－2,2,0），S（0,0,2），E（0,0,2λ）.所以＝（－2,2,－2），＝（2,0,－2λ），＝（－4,2, 0），＝（0,－2,2λ），則有－＝－4＋4λ－(－4＋0)＝4λ≥0，即≥．（2） 設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n＝（x,y,z），所以n＝0，即2x－2λz＝0.同理n＝0，即－4x＋2y＝0．取z＝1，則x＝λ，y＝2λ，所以平面ACE的一個(gè)法向量為n＝（λ,2λ,1）．顯然平面ADE的一個(gè)法向量為m＝（0,1,0），由二面角C－AE－D的大小為60176。知｜c(diǎn)os＜n, m＞|＝，解得λ＝．【說(shuō)明】考查空間向量的基本運(yùn)算以及在立體幾何中的應(yīng)用，本題主要是用空間向量來(lái)研究二面角的大?。貏e注意交待空間直角坐標(biāo)系的建立過(guò)程和法向量的求解過(guò)程.2．已知2件次品和a件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出a件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束，已知前兩次檢測(cè)都沒(méi)有檢測(cè)出次品的概率為． （1）求實(shí)數(shù)a的值； （2）若每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求X的分布列和均值．【解答】(1)記“前兩次檢測(cè)都沒(méi)有檢測(cè)出次品”為事件A，P(A)＝＝得a＝3或－(舍)．（2）X的可能取值為200，300，400．P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝=．所以X的分布列為X200300400PE(X)＝200＋300＋400＝350．【說(shuō)明】本題要注意“檢測(cè)后不放回”與“檢測(cè)后放回”之間的區(qū)別，正確求出相應(yīng)的排列數(shù)組合數(shù)是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)和前提．3．已知數(shù)列T： a1，a2，…，an (n∈N*，n≥4)中的任意一項(xiàng)均在集合{－1，0，1}中，且對(duì)i∈N*，1≤i≤n－1，有|ai＋1－ai |＝1．（1）當(dāng)n＝4時(shí)，求數(shù)列T的個(gè)數(shù)；（2）若a1＝0，且a1＋a2＋…＋an≥0，求數(shù)列T的個(gè)數(shù)．【解答】（1）當(dāng)n＝4時(shí)，符合條件的數(shù)列為：0，1 ，0，－1； 0，1，0，1； 0，－1，0，－1；0，－1，0，1；1，0，－1，0；1，0，1，0；－1，0，1，0；－1，0，－1，0．共8個(gè)． （2）①當(dāng)n＝4k(k∈N*)時(shí)，由a1＝0，得a3＝a5＝…＝a4k－1＝0，所以a2，a4，…，a4k中的每一個(gè)任取177。1．又a1＋a2＋…＋an≥0，所以a2，a4，…，a4k中1的個(gè)數(shù)不小于－1的個(gè)數(shù)．所以數(shù)列T的個(gè)數(shù)為：C＋C＋…＋C＝( C＋C＋…＋C＋C＋C＋…＋C)＋C＝(22k＋C)．②當(dāng)n＝4k＋1(k∈N*)時(shí)，則a1＝a3＝a5＝…＝a4k＋1＝0，同①，可知數(shù)列T的個(gè)數(shù)為 (22k＋C)．③當(dāng)n＝4k＋2(k∈N*)時(shí)，則a1＝a3＝a5＝…＝a4k＋1＝0，則數(shù)列T的個(gè)數(shù)為 C＋C＋…＋C＝22k．④當(dāng)n＝4k＋3(k∈N*)時(shí)，則a1＝a3＝a5＝…＝a4k＋3＝0，同③，可知數(shù)列T的個(gè)數(shù)為 22k． 綜上，當(dāng)n＝4k或n＝4k＋1，k∈N*時(shí)，數(shù)列T的個(gè)數(shù)為(22k＋C)．當(dāng)n＝4k＋2或n＝4k＋3，k∈N*時(shí)，數(shù)列T的個(gè)數(shù)為 22k．【說(shuō)明】本題考查組合計(jì)數(shù)．要能從已知條件中發(fā)現(xiàn)數(shù)列T所滿足的特性，再利用相關(guān)的特性求出數(shù)列的個(gè)數(shù)．15
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