高中數(shù)學(xué)核動(dòng)力(1)-資料下載頁
2025-08-18 17:17本頁面
【正文】 y2－(m＋n)y＋mn－16≤0，由題意解得當(dāng)m＝y(tǒng)時(shí)，②式可化為8x＋n－m＝0，這時(shí)m＝n＝5滿足條件．∴m＝5，n＝5.12．已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的最小值；(2)若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解】 (1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2，設(shè)1≤x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，則Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－)．∵1≤x1＜x2，∴1－＞0，∴Δy＞0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)的最小值為f(1)＝.(2)在區(qū)間[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立，即x2＋2x＋a＞0恒成立，設(shè)g(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，則g(x)＝(x＋1)2＋a－1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)min＝3＋a，故當(dāng)3＋a＞0即a＞－3時(shí)，f(x)＞0恒成立．故a的取值范圍為a＞－3.四、選做題13．已知函數(shù)f(x)＝a2x＋b3x，其中常數(shù)a，b滿足ab＞0.(1)若ab＞0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)時(shí)的x的取值范圍．【解】 (1)當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，任意x1，x2∈R，x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)∵2x1＜2x2，a＞0?a(2x1－2x2)＜0，3x1＜3x2，b＞0?b(3x1－3x2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，同理函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．(2)f(x＋1)－f(x)＝a2x＋2b3x＞0，當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，x＞－，則x＞；當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，x＜－，則x＜.
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