【正文】 到BCH (15,7,2)碼的一個碼字：將該碼字與式（446）作用可得： （451）根據(jù)(15,7,2)BCH碼的生成多項式： （452）我們對式（451）中的兩個分別做模和模運算，這樣便得到：將這兩個值帶入式（450）里，經(jīng)過試探可以得到：這樣我們就找到了錯誤碼元的具體位置，經(jīng)過糾正后發(fā)送的正確碼字應該是：這就是BCH碼的譯碼過程。第六節(jié) RS碼RS碼是BCH碼的一個重要分類，它是在BCH碼原有的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化得來的，有著比BCH碼更優(yōu)越的性能，被廣泛應用于通信領(lǐng)域中。RS碼是一種進制的BCH碼，該碼中的每個碼元都是取自域中的元素，然而該碼的生成多項式的根也是在域中。這種碼元取值和生成多項式的根所在的域相同的時，這類BCH碼就叫做RS碼[20]。一、 RS碼的編碼RS碼的性能參數(shù)可以由下面幾個式子來表示：一般來說，表達式中的一般可以定義為，那么RS碼的碼元符號也就來自域中的元素，同時該碼字的長度也可以表示為。根據(jù)以上的信息，我們可以定義出能夠糾正個錯誤的RS碼的生成多項式為： （453）其中是中的本原元，從本章的第四節(jié)我們知道，任意次數(shù)大于等于的元素都能夠通過其次數(shù)為的本原多項式來分解，用次數(shù)低于的元素唯一的表示。如果我們低階元素的次數(shù)用二進制的位置來表示，就可以用位二進制來表示RS碼中的每個元素。這樣RS的碼長由原來的增加到。同時能夠糾正個錯誤。下面我們用一個例子來詳細分析RS碼的編碼原理。例如一個RS(7,3)碼，其符號是由域中的元素所構(gòu)成的。碼字長度為，能夠糾正兩個錯誤。那么該RS碼的生成多項式可以由下式表示： （454）很明顯，該域使用的本原多項式為，這樣我們來對式（454）展開的時候就可以通過本原多項式對其符號為進行降階。這樣便得到： （455）由于該碼的信息位包含3個碼元，所以還需要構(gòu)造另外兩個生成多項式。根據(jù)循環(huán)碼生成多項式的構(gòu)造方法，如式（424），我們可以將式（455）循環(huán)移位得到另外兩個生成多項式：我們將這三個生成多項式用一個矩陣來表示，這樣就得到了該RS碼的生成矩陣：如果用二進制來表示RS碼，那么該碼的碼字長度為21個比特，信息長度為9個比特。例如我們將輸入的信息為，則對應的二進制可以表示為：，再根據(jù)式（413），便可得到編碼后的碼字為：，其二進制表示為：這就是RS碼的編碼過程。二、 RS碼的譯碼由于RS碼的特殊性質(zhì)，通用的譯碼步驟不再適用。對RS碼進行譯碼除了要找到錯誤碼元的具體位置，同時還要找到相應的錯誤值。這里我們將發(fā)送端發(fā)送的碼字轉(zhuǎn)化為碼字多項式有： （456）假設(shè)碼字在傳輸?shù)倪^程中發(fā)生了個錯誤，并且錯誤的位置用來表示，而與之對應的錯誤值用表示，同時構(gòu)造出錯誤多項式為： （457）所以我們可以將接收碼元定義為： （458）由于是生成多項式的根，那么也是碼字多項式的根，因此可以將此作為判斷標準。這里我們將伴隨式定義如下： （459）該方程組是由個方程組成，包含了個錯誤位置（）和個錯誤值（），那么該方程組一定能夠解出相應的值來。由于這個方程組并非線性方程組，那么就不能常規(guī)的方法去求解。這里將用一種新的方法去求解，我們將求解的過程分為兩部，首先求解個錯誤位置，然后求解個錯誤值。同時，還需要構(gòu)造一個方程，該方程的定義如下： （460）很明顯該方程的解為，這些根的負指數(shù)恰好表示錯誤碼元的位置，所以該方程被稱為錯誤位置多項式。同時再根據(jù)回歸建模方法，還可以構(gòu)造出一個矩陣運算式，利用該矩陣運算式就可以求解方程組（459）中的錯誤位置。該運算式如下： （461）通過矩陣運算式（461）就可以解出錯誤多項式中的系數(shù)，將得到的系數(shù)帶入到式（460）中，最后用窮舉的方法把域中的元素逐一帶入到方程（460）中，這樣就可以解出來了。這里我們假設(shè)解出來的值為，那么根據(jù)先前定義的錯誤多項式，就可得到錯誤碼元的位置在第位。接下來還需要將剩余的個錯誤值求解出來。這里我們引入一個新的參量，它表示錯誤碼元的位置，而相應的錯誤值仍然用來表示，這樣可以將方程組（459）改寫并用矩陣表示為： （462）由于和的值都是已知的，那么對式（462）的求解就相對簡單了。下面用一個例子來詳細說明下。例如前面的(7,3)RS碼，假設(shè)錯誤碼元出現(xiàn)的位置在第二位和第六位，對應的錯誤值分別為，由此可以構(gòu)造出錯誤多項式為：根據(jù)式（459），可以得到4個伴隨式為：然后再根據(jù)錯誤位置多項式的求解方法如式（461）有：對上面的方程組進行求解有：將上面解出的錯誤位置多項式的系數(shù)帶入錯誤位置多項式中，然后用域中的元素逐一去試探，得出該錯誤位置多項式構(gòu)成的方程的根為和。最后根據(jù)錯誤位置的定義可以求出具體的錯誤位置為：這正是我們事先假設(shè)的錯誤位置。剩下的就是要解出具體的錯誤值。同樣根據(jù)前面的定義，令，那么錯誤值方程組可以表示為：對上面的方程組進行求解有：由此可以看出，位置2的錯誤值為，位置6的錯誤值為，這恰好就是我們先前設(shè)定的值。這就是RS碼的譯碼過程。第七節(jié) 級聯(lián)碼級聯(lián)碼是在其它單一碼型的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的組合碼。[20]。級聯(lián)碼的基本思想就是對信息進行連續(xù)兩次或者更多次的編碼來大幅提高信息的抗干擾能力。人們在進行編碼研究的同時也發(fā)現(xiàn)很多有著高糾錯性能的碼型往往只是理論上可行，因為這些碼型的編碼和解碼算法大都很復雜，當時的數(shù)字處理器的性能根本達不到要求。但隨著數(shù)字電路的高速發(fā)展也使得高糾錯性能的碼型成為了可能，因此人們也試著將幾種碼型組合，得到更高的凈編碼增益。級聯(lián)碼一般可以分為串行級聯(lián)碼和交織級聯(lián)碼。一、 串行級聯(lián)碼串行級聯(lián)碼是級聯(lián)碼中最簡單的一類，它僅僅是兩種碼型直接連接，其結(jié)構(gòu)圖如下所示[2025]：圖47 串行級聯(lián)碼結(jié)構(gòu)圖從圖47可以看出，該串行級聯(lián)碼對原始信息進行了連續(xù)兩次編碼和解碼，整個過程使用了2種碼型。這兩種碼型可以是不同類型的碼型，也可以是同種碼型中采用不同參數(shù)的碼。級聯(lián)碼對其構(gòu)造所需的碼型沒有明確規(guī)定，相反它的自由度很高，人們可以根據(jù)自己的需求進行碼型間的搭配。但在串行級聯(lián)碼的碼型搭配中，也必須遵循一些基本的要求。① BCH碼串行級聯(lián)BCH碼：編碼器1采用的是BCH碼，編碼器2采用的是BCH碼。這兩種碼型在串行級聯(lián)的時候必須遵循，這樣的好處在于信息進過編碼器1之后生成的碼字的長度恰好是BCH碼的信息長度，在碼速上面來說就可以很好的匹配，不會帶來延遲。如果，這時就必須在編碼器1和編碼器2之間加入一個緩沖器，這樣就會增加系統(tǒng)傳輸?shù)难舆t。例如BCH(7,3)級聯(lián)BCH(15,7)。② RS碼串行級聯(lián)BCH碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是BCH碼。我們知道RS是一種多進制的碼型，而BCH是一種二進制編碼。換句話說RS碼的處理對象是一組二進制位，而BCH碼的處理對象則是一個二進制位。我們將發(fā)送端發(fā)出的信息按照位為一個處理周期，那么只需要了解每個處理周期內(nèi)的編碼原理即可。 （463）如式（463）所示位信息包含個組，每個組內(nèi)有個信息元，這樣恰好構(gòu)成位信息。由于編碼器1中的RS碼的處理對象是一組二進制位，將這些信息按組進行編碼，即將組進行編碼之后得到組，即碼字： （463）如式（463），這時每個信息組包含的信息元的數(shù)量仍然是，當信息傳送到編碼器2中進行BCH編碼時，BCH碼的處理對象則是一個二進制位，我們可以將每組中的各信息碼元當做是BCH碼中的各信息元，這樣每組都會生成一個碼字： （464）如式（464），這也可以單純的看成每組中的信息元數(shù)量由增加到。進過兩次編碼后一共需要傳送的數(shù)據(jù)位就增加到了，如果將這整個過程用一個編碼和解碼來表示，則可以看成是碼，其碼速為，最小碼距（為碼的最小碼距，為碼的最小碼距）。采用這種方式的編碼必須在兩個編碼器之間增加一個緩沖器，因為從編碼器1出來的數(shù)據(jù)是多組二進制碼元，而編碼器2每次又只能處理一組二進制碼元，所以需要降低碼率，這樣勢必會帶來一些延遲。③ RS碼串行級聯(lián)RS碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是RS碼。由于兩個編碼器都是采用的RS碼，對信息中的二進制碼元都是按組處理，那么同樣需要保證。組信息進過RS編碼之后組數(shù)增加到，而組信息恰好是后面RS碼的信息組，這樣經(jīng)過兩次編碼，組數(shù)就增加到了。以上就是常用的串行級聯(lián)碼的碼型搭配。串行級聯(lián)碼的解碼過程完全就是編碼的逆過程，它不需要什么特別的算法。串行級聯(lián)碼中所涉及到的兩種碼型的譯碼前面幾節(jié)中已經(jīng)提到，這里只需要按過程逐一解碼就可以了。二、 交織級聯(lián)碼交織級聯(lián)碼是在串行級聯(lián)碼的基礎(chǔ)上改進而來的。在光纖通信系統(tǒng)中，由于光纖的散射以及光源的不穩(wěn)定性等，往往會使錯誤碼元成串的出現(xiàn)，我們認為這類信道是有記憶的。對于這種成串出現(xiàn)的錯誤會使糾錯碼的性能大幅降低。為此人們提出一種交織的概念，將這種成串的錯誤分開，提高糾錯碼的性能。交織的方式有很多種，這里我們僅將介紹一種簡單而又常用的交織方法——行列交織器。交織級聯(lián)碼的基本結(jié)構(gòu)如下圖所示[2025]：圖48 交織級聯(lián)碼結(jié)構(gòu)圖從圖48中可以看出，交織級聯(lián)碼和串行級聯(lián)碼之間的的差別僅僅是在兩個編碼器之間增加了一個交織器，正因如此可以將記憶信道轉(zhuǎn)換成無記憶信道。我們可以用一個最簡單的例子來描述交織器的工作原理。例如發(fā)送端將發(fā)送一組信息，在發(fā)送前，將該組信息送入到一個的矩陣交織器。這時信息被分成5段，每段包含5個信息元，并且按行存入交織器，如：當?shù)慕豢椘鞅?5個信息元裝滿之后，交織器則將這些碼元按列取出并發(fā)送出去。碼元在傳輸?shù)倪^程中發(fā)生了兩串錯誤，即第二列和第四列全錯（用表示）。接收端在每收到5個信息碼元時按列存入交織器，即：根據(jù)交織器的原理，最后取出信息的時候是按行取出，這樣一來就使得成串的錯誤變成了離散的錯誤。這樣更加有利于發(fā)揮糾錯碼的糾錯性能。下面介紹常用的兩種交織級聯(lián)碼：① BCH碼交織級聯(lián)BCH碼：編碼器1采用的是BCH碼，編碼器2采用的是BCH碼。這類碼型的交織級聯(lián)很靈活，只要兩個編碼器之間的交織矩陣是一個的矩陣就可以了。當位信息碼元進過編碼器1編碼之后就生成位碼字，這些碼字暫時被存放在交織器中，并且是按行存放。當存放的行數(shù)達到時，交織器將內(nèi)部的數(shù)據(jù)按列讀出，這樣就會送出列數(shù)據(jù)，每列包含個碼元，這恰好是編碼器2中BCH碼的信息位數(shù)，這樣就可以直接進行第二次BCH編碼，因此每列的碼元就增加到了個。這樣就實現(xiàn)了BCH碼交織級聯(lián)BCH碼的編碼過程。② RS碼交織級聯(lián)BCH碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是BCH碼。一般來說，都將RS碼作為外碼，BCH碼作為內(nèi)碼。為了匹配交織級聯(lián)碼的編碼規(guī)則，只需要將經(jīng)過次RS編碼的碼元存入交織器，交織器中的每一列就有個碼元，這樣交織器每送出一列數(shù)據(jù)，BCH編碼器就只需要進行次編碼就可以對每列的碼元全部進行編碼。這樣就實現(xiàn)的了RS碼交織級聯(lián)BCH碼的編碼過程。③ RS碼交織級聯(lián)RS碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是RS碼。將發(fā)送端發(fā)送的數(shù)據(jù)按照位為一個處理周期，與前面相同表示組數(shù)，表示每組中的碼元數(shù)目。當為數(shù)據(jù)通過編碼器1時，就會生成碼字，該碼字一共有組，每組中包含個碼元。經(jīng)過編碼器1處理后的數(shù)據(jù)被傳送到交織器按行存放。編碼器1經(jīng)過次處理之后，交織器中就存放了行碼字，即：這樣就形成了一個，由于RS是按組進行處理，所以只考慮組數(shù)的情況下，就是一個矩陣。交織器將存好的數(shù)據(jù)按列移出，由于第一列一共有組，每組有個碼元，這里令。這樣每次移出的一列數(shù)據(jù)剛好可以作為編碼器2的組數(shù)，經(jīng)過編碼之后就可生成碼字，該碼字包含組數(shù)據(jù)，每組中有個碼元。這樣就實現(xiàn)了RS碼交織級聯(lián)RS碼的編碼過程。 交織級聯(lián)碼的解碼過程也很簡單，這里就不在贅述。第八節(jié) 本章小結(jié)本章主要對光通信中所以用到的糾錯碼型做了詳細介紹，包括其編碼和解碼原理以及糾錯性能等。其中BCH碼和RS碼是當今FEC技術(shù)中最常用的碼型，在ITUT ，下章將以本章為理論基礎(chǔ)，通過實踐仿真來說明其實際糾錯性能。第五章 光傳輸系統(tǒng)中交織型級聯(lián)碼性能分析光纖通信之所以能夠迅速發(fā)展，一方面還是要依靠FEC技術(shù)的支持。近些年來，ITUT對FEC展開了深入的研究，提出與光纖通信相適應的一些建議。在這些建議中，一般都是采用的線性循環(huán)碼：BCH碼和RS碼。實踐證明，這些碼型對光傳輸系統(tǒng)的整體質(zhì)量的提升都起到了很大的作用。本章將通過對ITUT中提到的相關(guān)碼型以及作者構(gòu)造出的碼型進行仿真分析。MATLAB通信仿真模塊能夠有效地模擬出各種碼型在光通信系統(tǒng)中的性能表現(xiàn)。因此本章將對RS(255,239)，RS(127,119)串行級聯(lián)BCH(15,7)，RS(239,223)串行級聯(lián)BCH(255,239)，RS(239,223)交織級聯(lián)BCH(255,239)以及RS(255,239)交織級聯(lián)RS(255,223)等碼型進行仿真，并且得出它們的性能曲線圖，進而對比分析找到最適合光傳輸系統(tǒng)的碼型。在仿真的時候，將傳輸?shù)拇a元設(shè)置為1012個，這樣如果出現(xiàn)了一個錯誤碼元，那么就可以將誤碼率定義到的1012數(shù)量級，這恰好是光傳輸系統(tǒng)中一個重要的指標，只要誤碼率在小于1012，這都是可以容忍的?？紤]到MATLAB仿真中存在的誤差以及精度，誤碼率會相差2個數(shù)量級，這個時候可以將誤碼率為0的結(jié)果認為是誤碼率為1012。根據(jù)本文的研究重點，這種近似不會影響到本文的研究結(jié)果。第一節(jié) 光傳輸系統(tǒng)中單一碼型性能仿真F