【正文】 根據(jù)本文的研究重點，這種近似不會影響到本文的研究結(jié)果。在仿真的時候，將傳輸?shù)拇a元設(shè)置為1012個，這樣如果出現(xiàn)了一個錯誤碼元，那么就可以將誤碼率定義到的1012數(shù)量級，這恰好是光傳輸系統(tǒng)中一個重要的指標(biāo)，只要誤碼率在小于1012，這都是可以容忍的。MATLAB通信仿真模塊能夠有效地模擬出各種碼型在光通信系統(tǒng)中的性能表現(xiàn)。實踐證明，這些碼型對光傳輸系統(tǒng)的整體質(zhì)量的提升都起到了很大的作用。近些年來，ITUT對FEC展開了深入的研究，提出與光纖通信相適應(yīng)的一些建議。其中BCH碼和RS碼是當(dāng)今FEC技術(shù)中最常用的碼型，在ITUT ，下章將以本章為理論基礎(chǔ)，通過實踐仿真來說明其實際糾錯性能。 交織級聯(lián)碼的解碼過程也很簡單，這里就不在贅述。這樣每次移出的一列數(shù)據(jù)剛好可以作為編碼器2的組數(shù)，經(jīng)過編碼之后就可生成碼字，該碼字包含組數(shù)據(jù)，每組中有個碼元。編碼器1經(jīng)過次處理之后，交織器中就存放了行碼字，即：這樣就形成了一個，由于RS是按組進(jìn)行處理，所以只考慮組數(shù)的情況下，就是一個矩陣。當(dāng)為數(shù)據(jù)通過編碼器1時，就會生成碼字，該碼字一共有組，每組中包含個碼元。③ RS碼交織級聯(lián)RS碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是RS碼。為了匹配交織級聯(lián)碼的編碼規(guī)則，只需要將經(jīng)過次RS編碼的碼元存入交織器，交織器中的每一列就有個碼元，這樣交織器每送出一列數(shù)據(jù)，BCH編碼器就只需要進(jìn)行次編碼就可以對每列的碼元全部進(jìn)行編碼。② RS碼交織級聯(lián)BCH碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是BCH碼。當(dāng)存放的行數(shù)達(dá)到時，交織器將內(nèi)部的數(shù)據(jù)按列讀出，這樣就會送出列數(shù)據(jù)，每列包含個碼元，這恰好是編碼器2中BCH碼的信息位數(shù)，這樣就可以直接進(jìn)行第二次BCH編碼，因此每列的碼元就增加到了個。這類碼型的交織級聯(lián)很靈活，只要兩個編碼器之間的交織矩陣是一個的矩陣就可以了。這樣更加有利于發(fā)揮糾錯碼的糾錯性能。碼元在傳輸?shù)倪^程中發(fā)生了兩串錯誤，即第二列和第四列全錯（用表示）。例如發(fā)送端將發(fā)送一組信息，在發(fā)送前，將該組信息送入到一個的矩陣交織器。交織級聯(lián)碼的基本結(jié)構(gòu)如下圖所示[2025]：圖48 交織級聯(lián)碼結(jié)構(gòu)圖從圖48中可以看出，交織級聯(lián)碼和串行級聯(lián)碼之間的的差別僅僅是在兩個編碼器之間增加了一個交織器，正因如此可以將記憶信道轉(zhuǎn)換成無記憶信道。為此人們提出一種交織的概念，將這種成串的錯誤分開，提高糾錯碼的性能。在光纖通信系統(tǒng)中，由于光纖的散射以及光源的不穩(wěn)定性等，往往會使錯誤碼元成串的出現(xiàn)，我們認(rèn)為這類信道是有記憶的。串行級聯(lián)碼中所涉及到的兩種碼型的譯碼前面幾節(jié)中已經(jīng)提到，這里只需要按過程逐一解碼就可以了。以上就是常用的串行級聯(lián)碼的碼型搭配。由于兩個編碼器都是采用的RS碼，對信息中的二進(jìn)制碼元都是按組處理，那么同樣需要保證。采用這種方式的編碼必須在兩個編碼器之間增加一個緩沖器，因為從編碼器1出來的數(shù)據(jù)是多組二進(jìn)制碼元，而編碼器2每次又只能處理一組二進(jìn)制碼元，所以需要降低碼率，這樣勢必會帶來一些延遲。由于編碼器1中的RS碼的處理對象是一組二進(jìn)制位，將這些信息按組進(jìn)行編碼，即將組進(jìn)行編碼之后得到組，即碼字： （463）如式（463），這時每個信息組包含的信息元的數(shù)量仍然是，當(dāng)信息傳送到編碼器2中進(jìn)行BCH編碼時，BCH碼的處理對象則是一個二進(jìn)制位，我們可以將每組中的各信息碼元當(dāng)做是BCH碼中的各信息元，這樣每組都會生成一個碼字： （464）如式（464），這也可以單純的看成每組中的信息元數(shù)量由增加到。我們將發(fā)送端發(fā)出的信息按照位為一個處理周期，那么只需要了解每個處理周期內(nèi)的編碼原理即可。我們知道RS是一種多進(jìn)制的碼型，而BCH是一種二進(jìn)制編碼。例如BCH(7,3)級聯(lián)BCH(15,7)。這兩種碼型在串行級聯(lián)的時候必須遵循，這樣的好處在于信息進(jìn)過編碼器1之后生成的碼字的長度恰好是BCH碼的信息長度，在碼速上面來說就可以很好的匹配，不會帶來延遲。但在串行級聯(lián)碼的碼型搭配中，也必須遵循一些基本的要求。這兩種碼型可以是不同類型的碼型，也可以是同種碼型中采用不同參數(shù)的碼。級聯(lián)碼一般可以分為串行級聯(lián)碼和交織級聯(lián)碼。人們在進(jìn)行編碼研究的同時也發(fā)現(xiàn)很多有著高糾錯性能的碼型往往只是理論上可行，因為這些碼型的編碼和解碼算法大都很復(fù)雜，當(dāng)時的數(shù)字處理器的性能根本達(dá)不到要求。[20]。這就是RS碼的譯碼過程。剩下的就是要解出具體的錯誤值。例如前面的(7,3)RS碼，假設(shè)錯誤碼元出現(xiàn)的位置在第二位和第六位，對應(yīng)的錯誤值分別為，由此可以構(gòu)造出錯誤多項式為：根據(jù)式（459），可以得到4個伴隨式為：然后再根據(jù)錯誤位置多項式的求解方法如式（461）有：對上面的方程組進(jìn)行求解有：將上面解出的錯誤位置多項式的系數(shù)帶入錯誤位置多項式中，然后用域中的元素逐一去試探，得出該錯誤位置多項式構(gòu)成的方程的根為和。這里我們引入一個新的參量，它表示錯誤碼元的位置，而相應(yīng)的錯誤值仍然用來表示，這樣可以將方程組（459）改寫并用矩陣表示為： （462）由于和的值都是已知的，那么對式（462）的求解就相對簡單了。這里我們假設(shè)解出來的值為，那么根據(jù)先前定義的錯誤多項式，就可得到錯誤碼元的位置在第位。同時再根據(jù)回歸建模方法，還可以構(gòu)造出一個矩陣運(yùn)算式，利用該矩陣運(yùn)算式就可以求解方程組（459）中的錯誤位置。這里將用一種新的方法去求解，我們將求解的過程分為兩部，首先求解個錯誤位置，然后求解個錯誤值。這里我們將伴隨式定義如下： （459）該方程組是由個方程組成，包含了個錯誤位置（）和個錯誤值（），那么該方程組一定能夠解出相應(yīng)的值來。對RS碼進(jìn)行譯碼除了要找到錯誤碼元的具體位置，同時還要找到相應(yīng)的錯誤值。例如我們將輸入的信息為，則對應(yīng)的二進(jìn)制可以表示為：，再根據(jù)式（413），便可得到編碼后的碼字為：，其二進(jìn)制表示為：這就是RS碼的編碼過程。這樣便得到： （455）由于該碼的信息位包含3個碼元，所以還需要構(gòu)造另外兩個生成多項式。碼字長度為，能夠糾正兩個錯誤。下面我們用一個例子來詳細(xì)分析RS碼的編碼原理。這樣RS的碼長由原來的增加到。根據(jù)以上的信息，我們可以定義出能夠糾正個錯誤的RS碼的生成多項式為： （453）其中是中的本原元，從本章的第四節(jié)我們知道，任意次數(shù)大于等于的元素都能夠通過其次數(shù)為的本原多項式來分解，用次數(shù)低于的元素唯一的表示。這種碼元取值和生成多項式的根所在的域相同的時，這類BCH碼就叫做RS碼[20]。第六節(jié) RS碼RS碼是BCH碼的一個重要分類，它是在BCH碼原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化得來的，有著比BCH碼更優(yōu)越的性能，被廣泛應(yīng)用于通信領(lǐng)域中。根據(jù)校正子的定義有： （447）由于碼字中存在兩個錯誤，再將式（446）帶入（447）有： （448）對式（448）變形有： （449）我們將式（449）中的和用一個未知量來代替，這樣對和的求解就變成了對下面這個方程的求解： （450）這就是BCH(15,7,2)碼的錯誤多項式，我們可以同時試探的方法去求解該方程的根。換句話說，我們只需要將碼字去作用校驗矩陣中的前兩行元素就可以了。例如一個(15,7,2)BCH碼，該碼能夠糾正2個錯誤。如果接收端收到錯誤的碼字，因此我們可以用來判斷接收碼字的正確性，同時通過的值來確定錯誤碼元的位置。三、 BCH碼的譯碼由于BCH碼是屬于循環(huán)碼，那么在對BCH碼進(jìn)行譯碼的時候大部分可以按照一般循環(huán)碼的譯碼步驟，但在特殊的地方還需用特別的方法。至于用該式再構(gòu)造出另外的11個生成多項式以及后面的生成矩陣的方法跟前面的循環(huán)碼完全一樣，這里就不在贅述。根據(jù)前面尋找域上的最小多項式的方法，我們同樣可以確定域上元素（由于，要確定的最小多項式實際上就是確定的最小多項式）的最小多項式。根據(jù)以上條件，我們再來構(gòu)造一個的非本原BCH碼。下面我們同樣用一個實例來說明非本原BCH碼的生成多項式的構(gòu)造過程。令是域內(nèi)的某一次元素但不是本原元，即，同時是以為根上的最低次多項式。當(dāng)我們得到所需要的生成多項式時，不難發(fā)現(xiàn)該生成多項式的最高次冪正好等于（為碼字長度，為信息長度），根據(jù)循環(huán)碼生成矩陣的構(gòu)造規(guī)則，我們還需要另外個線性無關(guān)的生成多項式，而另外的個線性無關(guān)的生成多項式恰好可以通過前面所得到的生成多項式經(jīng)過次移位得到，最后將這個生成多項式變換成矩陣形式就得到了我們所需要的生成矩陣，至于后面碼字的構(gòu)造就是信息矩陣與生成矩陣的作用，可以參考前面循環(huán)碼的碼字構(gòu)造過程。另外當(dāng)?shù)玫骄哂胁煌m錯性能的生成多項式時，我們還必須找到它們各自的生成矩陣。該生成多項式的根必須由、以及的最小多項式構(gòu)成：這樣我們就構(gòu)造出了BCH(15,5,3)碼的生成多項式。該生成多項式的根必須由以及的最小多項式構(gòu)成： 這樣我們就構(gòu)造出了BCH(15,7,2)碼的生成多項式。該生成多項式的根必須由的最小多項式構(gòu)成，由于這幾個元素具有相同的最小多項式，即，那么在根據(jù)式（437）的定義有： 這樣我們就構(gòu)造出了BCH(15,11,1)碼的生成多項式。根據(jù)本原多項式可以構(gòu)造出所有元素的最小多項式，構(gòu)造的方法主要是根據(jù)的方程，然后結(jié)合高次冪元素的需求再進(jìn)行升冪的配置，由于篇幅原因，具體的構(gòu)造過程就不在贅述。下面我們用一個實例來說明本原BCH碼的生成多項式的構(gòu)造過程。令是的最小多項式，即，那么有： （436）其中LCM代表由若干個最小多項式組成的最小公倍式，同時我們令（其中為奇數(shù)且），那么可以得到，那么恰好是的共軛元，所以我們可以對式（436）進(jìn)行化簡得： （437）這樣組成生成多項式的最小多項式的個數(shù)為個，同時由于每個最小多項式的次數(shù)最多為，那么生成多項式的次數(shù)最多為，那么校驗位的位數(shù)最多也就等于。令，根據(jù)定義有。對于BCH碼的生成多項式有幾種方法，這里我們將講述一種相對簡單的方法。這句話可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表達(dá)：下面我們對本原BCH碼的編碼以及上面的關(guān)系式進(jìn)行深入的分析。令為中的本原元（即中的元素可以通過增加的次數(shù)來構(gòu)成）。一、 本原BCH碼如果BCH碼的碼長，那么該碼就是本原BCH碼。BCH碼一般分為兩種：本原BCH碼和非本原BCH碼[20]。BCH碼其實是循環(huán)碼的一種，有著很強(qiáng)的糾錯性能。正是有了本原多項式，才使得有限域內(nèi)的加法運(yùn)算更加簡單。我們可以令為該式中的一個根，這樣使得該式的根屬于擴(kuò)展域中的元素。例如一個擴(kuò)展域，從該域的表達(dá)式可以看出：，并且該式中最高次冪元素為。根據(jù)原本多項式的定義：如果一個階不可約多項式可以整除，且，那么該多項式就是本原的。即：為了從中得到有限個元素，我們必須對該域增加一個限制條件：這樣次數(shù)超過元素就可以降階為低于該次數(shù)的元素，這樣就得到了一個新的有限域：三、 有限域的本原多項式將有限域用于BCH碼和RS碼還需要另一個重要的理論——原本多項式。二、 擴(kuò)展域?qū)⑸厦娴挠邢抻蜻M(jìn)行推廣，令，其中是一個質(zhì)數(shù)，為非負(fù)整數(shù)，這樣就可以構(gòu)造出，我們把稱為的擴(kuò)展域，而擴(kuò)展域正是后面BCH碼和RS所涉及到的理論知識。我們可以用這樣的式子來表示：例如就是一個最簡單的二元域，因為該域由兩個元素組成：“0”，“1”。同時這兩種運(yùn)算完全符合交換律、結(jié)合律和分配律，只是經(jīng)過這些運(yùn)算之后所得到的值仍然屬于這個域中的元素。其實域這個概念我們很早就接觸到了，在初中的時候我們把這個概念稱為集合。這一組余數(shù)為{0，1，2,…，q1}，我們稱這一組數(shù)為模的個剩余類[20]。第四節(jié) 有限域在進(jìn)一步了解后面的BCH碼和RS碼之前，我們先補(bǔ)充下這兩種碼型所涉及到得數(shù)學(xué)工具——有限域。當(dāng)時：說明該碼字有錯誤，并且錯在碼元位置為3的地方，經(jīng)過糾正后，正確的碼字為。這就是循環(huán)碼的編碼過程。表42 循環(huán)碼的生成多項式循環(huán)碼(7,6)(7,4)或(7,3)或(7,1)下面我們用(7,4)循環(huán)碼來詳細(xì)說明循環(huán)碼的編碼過程。將式（427）代入式（426）有： （428）式（428）正是用來確定循環(huán)碼的生成多項式的一種方法。四、 循環(huán)碼的編碼根據(jù)性質(zhì)（4）我們還可以找到確定任意循環(huán)碼生成多項式的方法。（4） 是的一個次因式。（1） 是一個常數(shù)項不為0的次多項式。這個線性無關(guān)的多項式用下式一個矩陣表示為： （424）式（424）就是循環(huán)碼的生成矩陣，當(dāng)生成矩陣確定以后，整個循環(huán)碼字也就確定了。一個循環(huán)碼包含有個碼字，這里我們假定一個循環(huán)多項式，該多項式里的前項的系數(shù)均為0，即多項式里最高次項次數(shù)為，為了得到個碼字多項式，將多項式循環(huán)左移次，每移動一次將得到一個新的碼字，再第次移動時，中的最高次項的次數(shù)恰好為。我們用下面一個式子來表述上面這個結(jié)論： （423）式（423）還同時說明了任何一個維數(shù)為的循環(huán)碼多項式都是模運(yùn)算的一個余式。我們對式（421）再做一個變換，將式子兩邊同時乘以，再同時除以便得到下面一個式子： （422a）即： （422b）從式（422b）中可以清楚地看到，最后的運(yùn)算結(jié)果恰好就是原來的碼字多項式經(jīng)過了一次循環(huán)左移而得到的一個新的碼字多項式。二、 循環(huán)碼的多項式人們對循環(huán)碼的研究有很多方法，這里我們將用多項式法去研究循環(huán)碼，這也是最常用的方法。我們用一個例子來說明，一個由4個碼字構(gòu)成的循環(huán)碼如下所示：在這個碼組中，