高二數(shù)學直線與平面所成的角-資料下載頁
2024-11-12 18:10本頁面
【導讀】溫故夯基1．兩條異面直線所成的角的范圍是(0，量為a，平面α的法向量為n，a與n所成的角為θ1.任意一點O作_______棱l的平面，分別與兩個面α，角α－l－β的平面角．二面角的范圍是0°～180°.2．如何正確認識二面角？求平面的法向量n；∴ax＝0且2ay＝0.如圖，在體積為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，
【正文】 C1D1中 ， 以 AB、AD、 AA1所在直線為 x軸 ， y軸 ， z軸 ， 建立空間直角坐標系如圖 ． 由已知 AB ＝ 2 ， AA1＝ 1 ，可得 A ( 0 , 0 , 0 ) ， B ( 2 , 0 , 0 ) ，F(xiàn) (1 ， 0 , 1 ) ， 又 AD ⊥ 平面 AA1B1B ， 從而 BD 與平面 AA1B1B 所成的角即為 ∠ DB A＝ 3 0 176。 ， 又 AB ＝ 2 ， AE ⊥ BD ， AE ＝ 1 ， AD ＝2 33， 從而易得 E (12，32， 0) ， D (0 ，2 33， 0) ． ( 1 ) ∵ AE→＝ (12，32， 0) ， BF→＝ ( － 1 , 0 , 1 ) ， ∴ c o s 〈 AE→， BF→〉＝AE→ BF→| AE→|| BF→|＝－122＝－24. 即異面直線 AE 、 BF 所成角的余弦值為24. ( 2 ) 易知平面 A1B 的一個法向量 m ＝ ( 0 , 1 , 0 ) ， 設 n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 B DF 的一個法向量． 又 BD→＝ ( － 2 ，2 33， 0) ， 由????? n ⊥ BF→n ⊥ BD→， ?????? n BF→＝ 0n BD→＝ 0， ?????? － x ＋ z ＝ 0－ 2 x ＋2 33y ＝ 0， ???? x ＝ z3 x ＝ y， 取 n ＝ (1 ， 3 ， 1) ， ∴ c o s 〈 m ， n 〉＝m n| m | | n |＝31 5＝155. 即平面 B DF 與平面 A1B 所成二面角 ( 銳角 ) 的余弦值為155. ( 3 ) ∵ A B→＝ ( 2 , 0 , 0 ) ，平面 B DF 的一個法向量為n2＝ (1 ， 3 ， 1) ， ∴ co s A B→， n2 ＝A B→ n2| A B→|| n2|＝2 ＋ 0 ＋ 02 5＝55. 設直線 AB 與平面 B DF 的夾角為 β ， 則 s i n β ＝ | co s A B→， n2 |＝55. 即直線 A B 與平面 B DF 夾角的正弦值為55. 【名師點評】 無論直線與直線的夾角，平面與平面的夾角，還是直線與平面的夾角，夾角的范圍都是 [0 ，π2] ，所以夾角的正弦值或余弦值 都是非負值． 1． 利用空間向量求線線角 、 線面角的關鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量之間 、 直線的方向向量與平面的法向量之間的角 ， 通過數(shù)量積求出 ， 通常方法分為兩種：坐標方法 、 基向量方法 ， 解題時要靈活掌握 ． 2． 利用向量方法求二面角的方法分為二類：一類是找到或作出二面角的平面角 ， 然后利用向量去計算其大??；另一類是利用二面角的兩個平面的法向量所成的角與二面角的平面角的關系去求 ． 后一類需要依據(jù)圖形特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系 ． 方法感悟
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