第二講極限word版-資料下載頁
2025-08-17 06:02本頁面
【正文】 lis）公式： 得到∽所以例5可以用定理3去證明。不動點(diǎn)方法若方程有解，稱是函數(shù)的不動點(diǎn)。命題1（不動點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系）：是函數(shù)的不動點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)。命題2（壓縮映象原理）若函數(shù)滿足（1）；（2）則函數(shù)在內(nèi)有唯一不動點(diǎn)。證法一、先利用條件證明函數(shù)連續(xù)，再利用命題（1）及零點(diǎn)存在定理證明不動點(diǎn)存在，再用條件證明唯一性證法二、任取中一點(diǎn)，記為，構(gòu)造數(shù)列，去證明數(shù)列收斂即可注意：（1）壓縮映象原理與Lipschitz條件聯(lián)系在一起的；Lipschitz條件：函數(shù)定義在上，使得都有 （2）函數(shù)在上滿足Lipschitz條件函數(shù)在上一致連續(xù)； （3）證明方法二給出了一中證明數(shù)列極限的方法，只需要由遞推公式構(gòu)造函數(shù)即可。 （4）在構(gòu)造的函數(shù)可導(dǎo)的條件下，還可用拉格朗日中值定理 （5）還可以用這種方法構(gòu)造的函數(shù)判定數(shù)列的單調(diào)性。例1設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求極限。注意：該例前面已經(jīng)給出兩種方法。例2設(shè)，證明數(shù)列收斂于方程的唯一零點(diǎn)。（第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽第1題）例3設(shè)，數(shù)列滿足，證明注意：該例前面用單調(diào)有界原理證明。定積分定義（求和式的極限）定積分的極限定義：，特別：（1）當(dāng)時(shí)，有 （2）情形可以用定積分的換元法變形為例1例2例3例4例5例6提示：∽，作差再計(jì)算。 羅必達(dá)法則與泰勒展式、等價(jià)無窮小羅必達(dá)法則：（回顧）泰勒展式：（回顧）等價(jià)無窮?。海ɑ仡櫍┏Ｓ玫牡葍r(jià)無窮小：（回顧）常用的麥克勞林展式：例7例8提示：將展開 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義（回顧）例9設(shè)，求例10設(shè)在處可導(dǎo)，求作業(yè)： 設(shè)在上有定義，在處可導(dǎo)，且，證明 計(jì)算（1）；（2）；（3）；（4）推廣的羅必達(dá)法則定理 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，若，則證明思路：同Stoltz定理。例1若，則提示：取，用推廣的羅必達(dá)法則。例2設(shè)在上可導(dǎo)，則，提示：取，用推廣的羅必達(dá)法則。例3設(shè)在上連續(xù)，
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