[經(jīng)濟學(xué)]宏觀經(jīng)濟學(xué)：原理與模型5乘數(shù)與比較靜態(tài)分析方法-資料下載頁
2025-08-17 03:08本頁面
【正文】 到。而一階條件是由一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成，可見優(yōu)化問題的比較靜態(tài)與二階導(dǎo)數(shù)和海賽行列式有密切關(guān)系。例5 一個價格接受的公司有嚴格凹的生產(chǎn)函數(shù)．給定=產(chǎn)品價格，=資本的租用率，=工資，它的利潤函數(shù)是 為了得到一階優(yōu)化條件，如果我們求導(dǎo)數(shù)和，并把它們表示為隱函數(shù)，有這里，把一階導(dǎo)數(shù)和賦值為利潤函數(shù)的最優(yōu)值．通過這些一階條件，我們可以利用如下的比較靜態(tài)，決定外生變量的變化對內(nèi)生變量的最優(yōu)值的影響：(a)求出一階條件關(guān)于任意一個外生變量的全導(dǎo)數(shù)，并寫成大家所熟悉的矩陣形式。首先研究資本的租用率對內(nèi)生變量的影響，并注意到一階導(dǎo)數(shù)和都是和的函數(shù)，有或特殊地，設(shè)二階充分條件滿足，即，那么．這里我們注意到，當(dāng)從一階優(yōu)化條件的一階微分求比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)時，有，為了優(yōu)化一個(22)系統(tǒng)，我們也要求．(b) 因為，且假定一階和二階微分連續(xù)，則隱函數(shù)原理的條件成立，于是我們可以利用克萊姆法則來求得所有的導(dǎo)數(shù)．這里，因為我們假定生產(chǎn)函數(shù)是嚴格凹的，意味著在整個定義域都有，我們也從微觀經(jīng)濟學(xué)原理知道，追求利潤最大化的公司僅在成本的邊際投入生產(chǎn)率下降處進行生產(chǎn)．因此在生產(chǎn)的最優(yōu)水平點，．同樣地，我們有 為了確定這個比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)的符號，需要知道交叉偏微分的符號，它表示資本變化對勞動力的邊際生產(chǎn)率的影響．如果假定它是正的，則分子的符號是負的．所以，利率的增加將導(dǎo)致勞動力使用的下降，至于工資變化對，的影響，見下題。例6 返回到例5的模型，這里的一階條件是 (a)用矩陣形式表示函數(shù)關(guān)于工資的全微分．然后求出下列偏導(dǎo)數(shù)并注明其符號。(b) (c) ．解：（a）(b)對于，的符號取決于的符號．假定資本的邊際生產(chǎn)率因勞動力的增加而增加，則，意味著資本的最優(yōu)水平可能隨著工資的增長而下降．(c)對于，因為，隨著工資的增長勞動力的最優(yōu)水平將下降．六、比較靜態(tài)在約束最優(yōu)化中的應(yīng)用 比較靜態(tài)分析方法，一樣可以應(yīng)用于約束最優(yōu)化問題．在約束最優(yōu)化中，拉格朗日乘子視作是一個內(nèi)生變量，而且在比較靜態(tài)分析中，它被賦值為它的最優(yōu)值()．如果二階充分條件滿足，加邊海賽行列式可以是正的或負的，它取決于優(yōu)化的類型，但是，它不會等于零．因為，如果，則雅可比矩陣不等于零，見例6．當(dāng)，并假定一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，我們從隱函數(shù)定理可知，內(nèi)生變量的最優(yōu)值可表示為外生變量的隱函數(shù)，而且所要求的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)可通過克萊姆法則得到．例6提供了例證．例6 假設(shè)一個公司處于完全競爭的要素市場和產(chǎn)品市場，追求產(chǎn)出最大化．產(chǎn)出滿足給定的預(yù)算約束條件的拉格朗日函數(shù)是且代表一階條件的三個一階微分可表示為如下隱函數(shù)形式：并假定微分連續(xù)且滿足二階充分條件，從這些約束最優(yōu)化的一階條件中，我們可以用比較靜態(tài)分析方法確定任何外生變量的變化對三個內(nèi)生變量最優(yōu)值的影響． 為了找到預(yù)算對內(nèi)生變量最優(yōu)值的影響，我們需求出三個函數(shù)關(guān)于的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)：或特殊地，因為，如果滿足二階充分條件，那么對約束最優(yōu)化來說，．因為處于完全競爭環(huán)境中，利潤最大化公司僅在投入的邊際生產(chǎn)率下降的范圍進行生產(chǎn)．所以，只要和是互補的，則二階條件滿足，如果和是替代的，則二階條件是否滿足，取決于直接偏導(dǎo)數(shù)和交叉偏導(dǎo)數(shù)的相對強度。 由于，并假設(shè)一階和二階微分連續(xù)，則我們可以使用克萊姆法則來求出所要找的導(dǎo)數(shù)：1．當(dāng)和互補時，當(dāng)和可替代時，它的符號不確定．2．當(dāng)和互補時，當(dāng)和可替代時，它的符號不確定．3．的符號不確定．32
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