23三角函數(shù)的概念-資料下載頁(yè)
2025-08-16 00:49本頁(yè)面
【正文】 k? , k?Z, 2 ? 2k???2k?+ , k?Z, 2 ? 2k?+ ?+?2k?+2?, k?Z. 2 3? ?? 是第一象限角 , ?+? 是第四象限角 . 解法 2 ∵ 角 ? 的終邊與角 ? 的終邊關(guān)于 x 軸對(duì)稱 , ∴ 由 ? 是第二象限的角知 ? 是第三象限 的角 。 ∵ 角 ?? 的終邊與角 ? 的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱 , ∴ 由 ? 是第二象限的角知 ?? 是第一象限 的角 。 ∵ 角 ?+? 的終邊是角 ? 終邊的反向延長(zhǎng)線 , ∴ 由 ? 是第二象限的角知 ?+? 是第四象限 的角 . ? 在第二象限 , 試確定 sin(cos?)?cos(sin?) 的符號(hào) . 解 : ∵ ? 在第二象限 , ∴ 1cos?0, 0sin?1. ∵ 1, 1 , 2 ? 2 ? ∴ cos?0, 0sin? . 2 ? 2 ? ∴ sin(cos?)0, cos(sin?)0. ∴ sin(cos?)?cos(sin?)0. 故 sin(cos?)?cos(sin?) 的符號(hào)為“ ”號(hào) . ? 的終邊與函數(shù) y=2|x| 的圖象重合 , 求 ? 的各三角函數(shù)值 . 解 : ∵ ? 的終邊與函數(shù) y=2|x| 的圖象重合 , ∴ ? 是第三或第四象限的角 . 若 ? 是第三象限的角 , 取終邊上一點(diǎn) P(1, 2), 則 r= 5 . 從而 sin?= = 5 , cos?= = , tan?= =2, y r 2 5 x r 5 5 y x cot?= = , sec?= = 5 , csc?= = . x y r x r y 1 2 5 2 若 ? 是第四象限的角 , 取終邊上一點(diǎn) P(1, 2), 則 r= 5 . 從而 sin?= = 5 , cos?= = , tan?= =2, y r 2 5 x r 5 5 y x cot?= = , sec?= = 5 , csc?= = . x y r x r y 1 2 5 2 課后練習(xí) ? 的終邊上一個(gè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (4t, 3t)(t?0), 求 ? 的正弦、余弦和正切值 . 解 : 由已知有 x=4t, y=3t, ∴ |OP|=r=5|t|. 當(dāng) t0 時(shí) , sin?= = = = , y r 3t 5|t| 3t 5t 3 5 cos?= = = = , x r 4t 5|t| 4t 5t 4 5 tan?= = = 。 y x 3t 4t 3 4 當(dāng) t0 時(shí) , sin?= = = = , y r 3t 5|t| 3t 5t 3 5 cos?= = = = , x r 4t 5|t| 4t 5t 4 5 tan?= = = . y x 3t 4t 3 4 x 的集合 : (1)|cosx||sinx|。 (2)|sinx|+ |cosx|1. 解 : 由三角函數(shù)線易得所求集合分別為 : (1) {x | k? xk?+ , k?Z}。 4 ? 4 ? (2) {x?R | x? ?, k?Z}. 2 k O 是坐標(biāo)原點(diǎn) , 角 ? 的終邊上有點(diǎn) M, |OM|=2, 角 ? 的終邊上有點(diǎn) N, |ON|=4, P 為 MN 的中點(diǎn) , 求以 OP 為終邊的角 ? 的正切值 . 解 : 依題意可設(shè) M(2cos?, 2sin?), N(4cos?, 4sin?), 則 P(cos?+2cos?, sin?+2sin?). 當(dāng) cos?+2cos??0 時(shí) , 當(dāng) cos?+2cos?=0 時(shí) , tan? 不存在 . tan?= . sin?+2sin? cos?+2cos? : . tan??sin? tan?+sin? tan??sin? tan?sin? 解 : 設(shè) P(x, y) 是 角 ? 終邊上的任意一點(diǎn) , 令 r = x2+y2 . y x y r 則原式 = ? y x y r y x y r ? y x y r + y2 yryx y2 yr+yx = y2(r2x2) y(rx) = y rx y r+x = x2+y2r2 y(rx) = =0. ∴ ? 在第二或第四象限 . ∵ 1cos?0, 0sin?1. 又 1, 1 , 2 ? 2 ? ∴ cos?0, 0sin? . 2 ? 2 ? ∴ sin(cos?)0, cos(sin?)0. ∴ sin(cos?)?cos(sin?)0. 故 sin(cos?)?cos(sin?) 的符號(hào)為“ ”號(hào) . + =0, 試判斷 sin(cos?)?cos(sin?) 的符號(hào) . |cos?| cos? |sin?| sin? 解 : 由已知得 |sin?cos?|+sin?cos? cos?|sin?| =0, ∴ sin?cos?≤ 0, 且 cos?|sin?|?0, ∴ sin?cos?0. 當(dāng) ? 在第二象限時(shí) , 同理當(dāng) ? 在第四象限時(shí) , sin(cos?)?cos(sin?)的符號(hào)為“ + ”號(hào) .
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