【正文】 數(shù) ，用 p(x)表示 p(x)=dF (x)/dx ?p(x) dx稱“概率元素” p(x) dx= P( x＜ X＜ x+ dx ) 概率密度函數(shù) ?若已知某個隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) p(x),則測量值 x落在 (a,b)區(qū)間內(nèi)的概率 p可用下式計算 ?數(shù)學(xué)上，積分代表了面積。由此可見，概率 p是概率分布曲線下在區(qū)間 (a,b)內(nèi)包含的面積 ?當(dāng) p=，表明測量值有 90%的可能性落在該區(qū)間內(nèi)，該區(qū)間包含了概率分布下總面積的90% ?當(dāng) p=1，表明測量值以 100%的可能性落在該區(qū)間內(nèi)，也就是測量值必定在此區(qū)間內(nèi)。 ? ? ? ?baP a x b p x d x? ? ? ? 概率密度曲線 完好的描述了隨機(jī)誤差的統(tǒng)計規(guī)律。 ()fx? ? 1f x dx??? ??? ? ? ? 1baP a x b f x d x ?? ? ? ? ??概率密度函數(shù)的幾何意義 ? 置信區(qū)間 ? 顯著性水平（又稱顯著度或危險率） ? 置信概率（或置信水平），簡記為符號 概率密度的性質(zhì) 有兩個性質(zhì) a x b??1p ???p?fx ( )p =1_a b x ?盡管概率分布反映了該隨機(jī)變量的全貌，但在實際使用中更關(guān)心代表該該概率分布的若干數(shù)字特征量。 ?期望 ?方差 ?標(biāo)準(zhǔn)偏差 期望 expectation ?期望又稱 (概率分布或隨機(jī)變量的 )均值(mean)或 期望值 (expected value),有時又稱數(shù)學(xué)期望。 ?常用符號 表示，也用 E(X)表示。 ?測量值的期望 ?離散隨機(jī)變量 ?連續(xù)隨機(jī)變量 ?通俗地說：期望值是無窮多次測量的平均值 ? ?1 iiiE X p x? ???? ?( ) ( )E X x p x d x? ?????? ??期望 ?對于單峰、對稱的概率分布來說，期望值在分布曲線峰頂對應(yīng)的橫坐標(biāo) ?正因為實際上不可能進(jìn)行無窮多次測量，因此，測量中期望值是可望而不可得的。 1? 2? 3?? ?? 期望是概率分布曲線與橫坐標(biāo)軸構(gòu)成面積的重心所在的橫坐標(biāo)，因此它是決定隨機(jī)變量分布的位置的量 期望 ?1? 2? 3?? ?? 三條測量值分布曲線的精密度相同，但正確度不同。 ?期望與真值之差即為系統(tǒng)誤差，如果系統(tǒng)誤差可以忽略，則期望 就是被測量的真值 ?期望代表了測量的最佳估計值，或相對真值的系統(tǒng)誤差大小 方差 Variance ?對于一個隨機(jī)變量，僅用數(shù)學(xué)期望還不足以充分描述其特性。 ?比如，兩組測量數(shù)據(jù)： ?28,29,30,31,32…… 數(shù)學(xué)期望 30，各個數(shù)據(jù)在 28和 32之間波動 ?10,20,30,40,50…… 數(shù)學(xué)期望 30，各個數(shù)據(jù)在 10和 50之間波動 ?兩組數(shù)據(jù)具有相同的數(shù)學(xué)期望為 30，但它們具有重要的差別。 ?第 2組數(shù)據(jù)比第一組數(shù)據(jù)分散得多。 方差 ?(隨機(jī)變量或概率分布的 )方差用符號 表示 ?測量值與期望之差是隨機(jī)誤差，方差就是隨機(jī)誤差平方的期望值 ?方差說明了隨機(jī)誤差的大小和測量值的分散程度。但由于方差的量綱是單位的平方，使用不方便，因此引出了標(biāo)準(zhǔn)偏差這個術(shù)語 22 1()l i mniinxn?? ??????? ?? ?222( ) ( ) ( ) ( )V X E X E X x p x d x?? ????? ? ? ? ??標(biāo)準(zhǔn)偏差 ?概率分布或隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差是方差的正平方根值，用符號 ?表示 ?標(biāo)準(zhǔn)偏差是無窮多次測量的隨機(jī)誤差平方的算術(shù)平均值的正平方根值的極限， ()VX? ?nxniin?????? 12)(l i m??標(biāo)準(zhǔn)偏差 ?標(biāo)準(zhǔn)偏差是表明測得值分散性的參數(shù)，?小表明測得值比較集中， ?大表明測得值比較分散。通常，測量的重復(fù)性或復(fù)現(xiàn)性是用標(biāo)準(zhǔn)偏差 ?來表示的。 1 2 3? ? ???1?2?3?三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同 標(biāo)準(zhǔn)偏差 由于標(biāo)準(zhǔn)偏差 ?是無窮多次測量時的極限值，所以又稱 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差 。 可見：期望和方差 (或標(biāo)準(zhǔn)偏差 )是表征概率分布的兩個特征參數(shù)。理想情況下，應(yīng)該以 期望為被測量的測量結(jié)果 ，以標(biāo)準(zhǔn)偏差表示測得值的分散性 1 2 3? ? ???1?2?3?三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同 標(biāo)準(zhǔn)偏差 由于期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差都是以無窮多次測量的理想情況定義的，因此都是概念性的術(shù)語，無法由測量得到 ? ，?2和 ?。 1 2 3? ? ???1?2?3?三條誤差分布曲線的正確度相同，但精密度不同 偏態(tài)系數(shù) 1 20xfx ( )Ⅰ Ⅱ? ?3 0? ? ? ?3 0? ?定義 33 ( ) ( )x f x d x?????????33 3?????三階中心矩， 將 無量綱化，稱為偏態(tài)系數(shù)， 描述了測量總體及其誤差分布的非對稱程度 3?3?曲線 Ⅱ 具有正 (右 )偏態(tài)，曲線 Ⅰ 具有負(fù) (左 )偏態(tài) 3?峰態(tài)系數(shù) fx ( )ⅠⅡⅢ0x444 3?????44 ( ) ( )x f x d x?????????定義 ? 表征了測量總體及其誤差分布的峰凸程度。 是將 無量綱化，也稱峰度，而 是按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?xì)w零，即對于正態(tài)分布超越系數(shù) 視為零 44 4 4,? ? ? ?44?? 4?4?4?? ?4 3? ?? ?4 0? ?? ?4 ? ??較尖峭的分布有 ，較平坦的分布有 4 0? ?4 0? ?協(xié)方差 定義 ( , ) ( ) ( ) ( , )xyC o v x y x y f x y d x d y??? ? ? ?? ? ? ?? ? ???( , )x x f x y d x d y? ? ? ? ?? ? ? ?? ??( , )y y f x y d x d y? ? ? ? ?? ? ? ?? ??式中 ?協(xié)方差 表示了兩變量間的相關(guān)程度 ( , )C ov x y相關(guān)系數(shù) = 1 0 . 5=0 . 5=_= 0( , )xyCo v x y????定義 ?表示了兩個變量間線性相關(guān)的程度 ? 越小， X， Y之間線性相關(guān)程度越小， 取值越大，X， Y之間線性相關(guān)程度越大 ||?||?11?? ? ??當(dāng) ， X與 Y正相關(guān)，當(dāng) ， X與 Y負(fù)相關(guān) 01???10?? ? ?線性相關(guān) 正相關(guān) 負(fù)相關(guān) 線性不相關(guān) 數(shù)學(xué)期望 名稱 定義 方差 幾何意義 誤差意義 偏態(tài)系數(shù) 峰態(tài)系數(shù) 協(xié)方差 ( ) ( )E X x f x d x? ?????? ? 位置特征 實際值正確度 22( ) ( ) ( )D X x f x d x?? ????? ? ?? 彌散 分散性，精密度 33 ( ) ( )x f x d x?????????33 3?? ?? 不對稱 誤差分布不對稱性 44 4 3?? ??? 44 ( ) ( )x f x d x????????? 尖峭 誤差分布尖峭程度 ( , ) ( ) ( ) ( , )xyC o v x y x y f x y d x d y??? ? ? ?? ? ? ?? ? ???兩誤差關(guān)聯(lián)程度 統(tǒng)計分布常用的特征值