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2025-08-15 20:30本頁(yè)面
【正文】 v0 。 求 子彈細(xì)棒共同的角速度 ? 。 解 ym 0v其中 xNy0vm 2231 myMLJJJ ????子棒 22031 myMLym??? v?討論 水平方向動(dòng)量守恒 子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒 xN 0 ? ?J?z v0 R / 2 R Mz角動(dòng)量守恒 mv0 R mv R / 2 v = 2v0 例 v = ? G 小球 M系于線的一端，此線穿過(guò)一個(gè)鉛直細(xì)管，小球繞管軸沿半徑為 R的圓周運(yùn)動(dòng)，速率為 v0， 今將線慢慢向下拉，使小 球作半徑為 R/2的圓周運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)小球的轉(zhuǎn)速。 解 例 長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量為 M 的均質(zhì)桿，一端懸掛，可繞通過(guò) O點(diǎn)垂直于 紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。今讓桿自水平位置無(wú)初速地落下，在鉛垂位置 與質(zhì)量為 m 的物體 A 作完全非彈性碰撞，如圖所示，碰撞后 物體沿摩擦系數(shù)為 ? 的水平面滑動(dòng)。 求 物體 A 沿水平面滑動(dòng)的距離。 解 2021 2 lMgJ Z ??? 231 MlJZ ?lg32 ??39。ml39。JJ ZZ ??? 2??39。ml39。MllgMl ?? 222 31331 ??mMlgM39。 33???? ? smg39。lm ?? ??? 2210? ? 22323mMlMs?? ?跳過(guò) 裝置： 如圖。 ? ? M d L dt ? d L M dt M ? ? ? ? ∥ ? ? 當(dāng) 時(shí)， M L ? 則 只改變方向 ? L 不改變大小。 167。 旋進(jìn) (Gyroscopes and Precession) θgm?M?L?dL?? // ??O 現(xiàn)象： 演示實(shí)驗(yàn)。 M r m g??r? d L L d ? sin ? Q d dt ? W Q 令 則 M d L dt L d dt ? ? ? sin ? Q L ? sin ? W ? ? ? ? W M L rmg J sin ? ? ? 1 即： ? ? ? W θ?sinLQd L?O WL?d以上只是近似討論，因?yàn)楫?dāng)旋進(jìn)發(fā)生后： ? ? ? ? ? 總 ? ? W 只有高速自轉(zhuǎn) ? ?? W 時(shí) ， 才有 總 ? ? ? ? amp。 ? 這時(shí)才有 ? ? L J amp。 ? ? 剛體動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題 1. 第一類問(wèn)題 2. 第二類問(wèn)題 已知運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）狀態(tài)，求所受力矩。 已知受力（力矩），求運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）狀態(tài)。 解題步驟： 1. 明確研究對(duì)象 2. 受力分析，各力對(duì)固定軸的力矩 （隔離體法） （重力，彈力，摩擦力） 3. 建立坐標(biāo)系，列方程 （ 3）牛頓第二定律，轉(zhuǎn)動(dòng)定律及輔助條件 4. 求解，討論 （ 1）滿足守恒條件時(shí)列守恒方程 （ 2） 動(dòng)能定理或動(dòng)量矩定理 一飛輪如圖， ω M R 某一瞬時(shí)有一質(zhì)量為 m的碎片從飛輪的邊緣 飛出，且速度方向正好豎直向上。忽略重力矩的影響 例 解 求 (1) 碎片能上升的最大高度 (2) 余下部分的角速度，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 碎片離盤時(shí)的初速度為 ?R?0v(1) 所以碎片能上升的最大高度為 gRgh 222220m a x??? v(2) 由碎片和余下部分組成的系統(tǒng) , 在碎片離盤的前后不受 對(duì)轉(zhuǎn)軸的外力矩的作用， 系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒 ??221 MR ? ???? )21( 220 mRMRRm v ?? ??角動(dòng)量為 ?? 222 )2(21)21( RmMmRMR ???轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為 22222 )2(41)21(21 ?? RmMmRMR ???一長(zhǎng)為 l 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過(guò)中心的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)桿靜止于水平位置。一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以速度 v0 垂直落到距點(diǎn) O l/4 處的桿上，昆蟲落下后立即向桿的端點(diǎn)爬行，如圖所示。若要使桿以 勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng) ?))4(121(4 220 lmmllm ??vl0712 v??O 4l? 昆蟲落到桿上的過(guò)程為完全非彈性碰撞 ,對(duì)于昆蟲和桿構(gòu)成的系統(tǒng)，合外力矩近似為零，動(dòng)量矩守恒 例 解 求 昆蟲沿桿爬行的 速度 。 tJM zz dd??)121( 22 mrmlJ z ??trrmm g rdd2c o s ?? ?tggtr c o s22c o sdd ??? ? ???v )712c o s (247 00tllg vv?使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng) ?co sm g rM Z ?代入得 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 tJM zz d )(d ??其中 O 4l? 如圖，兩個(gè)質(zhì)量均為 m的小孩，各抓住跨過(guò)滑輪繩子的兩端。一個(gè)用力向上爬，另一個(gè)則抓住繩子不動(dòng)。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng) (1) 哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪？ (2) 若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等時(shí)情況如何？ 例 解 求 R O (1) 以小孩、滑輪作為系統(tǒng) 則系統(tǒng)對(duì) O點(diǎn)的總角動(dòng)量為 )( 21 vv ?? mRL o+ 1v 2v而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個(gè)小孩的重力矩， 且合力矩為零 所以系統(tǒng)對(duì) O點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒 開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng) 所以 0?? oL 21 vv ??(2) 若兩個(gè)小孩質(zhì)量不等 m1≠m2 系統(tǒng)所受的外力矩為 gRmmM o )( 12 ??系統(tǒng)對(duì) O點(diǎn)的總角動(dòng)量為 )( 2211 vv mmRL o ??開(kāi)始時(shí)兩小孩都不動(dòng) 所以 021 ?? vv 0??oLOo MtL ?dd gRmm )(12 ??若 m1＞ m2 0dd ?tLo 2211 vv mm ? 21 vv ??若 m1＜ m2 0dd ?tLo2211 vv mm ? 21 vv ??總之，在任何情況下總是體輕的小孩上升的快，先到達(dá)滑輪。 隨后 00 21 ?? vv 0?oL總角動(dòng)量不守恒 221 ?JEk ?zzMJ ???dd MA ?22211122A J J????cp m g hE ?總 結(jié) ?? 2ii rmJzM r F ???v??? mrL O ??zzLtM dd ?CJLi iiz?? ? ?Cm g hJ C ??221 ?zLJ ??
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