【正文】 11年江蘇高考17）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,csin(A+（1）若p6)=2cosA,1cosA=,b=3c3 求A的值；（2）若，求sinC的值.Qsin(A+)=2cosA,\sinA=A,\A=63 解析：（1 ）1QcosA=,b=3c,\a2=b2+c22bccosA=8c2,a=3（2 ） 1c= sinA==\sinC=3。（也可以先推出直角三角形） 3由正弦定理得：sinAsinC，而基本定義定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于一個(gè)常數(shù)(常數(shù)為2a)的軌跡稱為雙曲線。 （平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線）即：│PF1PF2│=2a定義1： pp 平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。定點(diǎn)[1]叫雙曲線的焦點(diǎn)。定義2：平面內(nèi)，到給定一點(diǎn)及一直線的距離之比為大于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線。定義3：一平面截一圓錐面，當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個(gè)圓錐都相交時(shí)，交線稱為雙曲線。 定義4：在平面直角坐標(biāo)系中，二元二次方程F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0滿足以下條件時(shí)，其圖像為雙曲線。、b、c不都是零.^2 4ac 0.注：第2條可以推出第1條。在高中的解析幾何中，學(xué)到的是雙曲線的中心在原點(diǎn)，圖像關(guān)于x，y軸對(duì)稱的情形。這時(shí)雙曲線的方程退化為：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1.上述的四個(gè)定義是等價(jià)的，并且根據(jù)建好的前后位置判斷圖像關(guān)于x，y軸對(duì)稱。[2]編輯本段標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在X軸上時(shí)為：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1焦點(diǎn)在Y 軸上時(shí)為：y^2/a^2 x^2/b^2 = 1編輯本段概念特征以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關(guān)概念和性質(zhì)。分支雙曲線有兩個(gè)分支。焦點(diǎn)在定義1中提到的兩給定點(diǎn)稱為該雙曲線的焦點(diǎn)，定義2中提到的一給定點(diǎn)也是雙曲線的焦點(diǎn)。雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)。 準(zhǔn)線在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準(zhǔn)線離心率在定義2中提到的到給定點(diǎn)與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。離心率e=c/a雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線。（注意：盡管定義2中只提到了一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線。但是給定同側(cè)的一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線以及離心率可以根據(jù)定義2同時(shí)得到雙曲線的兩支，而兩側(cè)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。）頂點(diǎn)雙曲線與兩焦點(diǎn)連線的交點(diǎn)，稱為雙曲線的頂點(diǎn)。漸近線雙曲線有兩條漸近線。漸近線的方程求法是：將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解，例如：X^2/2Y^2/4=1，令1=0，則X^2/2=Y^2/4，則雙曲線的漸近線為Y=177。(√2)X編輯本段幾何性質(zhì) 軌跡上一點(diǎn)的取值范圍[1]│x│≥a（焦點(diǎn)在x軸上）或者│y│≥a（焦點(diǎn)在y軸上）。對(duì)稱性關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱。頂點(diǎn)A(a,0)，A39。(a,0）。同時(shí) AA39。叫做雙曲線的實(shí)軸且│AA39。│=2a.B(0,b），B39。(0,b）。同時(shí) BB39。叫做雙曲線的虛軸且│BB39。│=2b.F1（c,0）F2（c,0）.F1為雙曲線的左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)且│F1F2│=2c對(duì)實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)有：a^2+b^2=c^2漸近線焦點(diǎn)在x軸：y=177。（b/a)x.焦點(diǎn)在y軸：y=177。（a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1ecosθ當(dāng)e1時(shí)，表示雙曲線。其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ 為弦與x軸夾角。令1ecosθ=0可以求出θ，這個(gè)就是漸近線的傾角。θ=arccos（1/e)令θ=0，得出ρ=ep/（1e）,x=ρcosθ=ep/（1e）令θ=PI，得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=ep/（1+e）這兩個(gè)x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo)。求出它們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)）x=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2（注意化簡(jiǎn)一下）直線ρcosθ=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2是雙曲線一條對(duì)稱軸，注意是不與曲線相交的對(duì)稱軸。將這條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)PI/2arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是θ’ 則θ’=θ[PI/2arccos（1/e)]則θ=θ’+[PI/2arccos（1/e)]代入上式：ρcos{θ’+[PI/2arccos（1/e)]}=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2即：ρsin[arccos（1/e)θ’]=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin[arccos（1/e)θ]=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2現(xiàn)證明雙曲線x^2/a^2y^2/b^2=1 上的點(diǎn)在漸近線中設(shè)M(x,y）是雙曲線在第一象限的點(diǎn)，則y=(b/a）√（x^2a^2） (xa)因?yàn)閤^2a^2x^2，所以y=(b/a）√（x^2a^2）b/a√x^2=bx/a即 ybx/a所以，雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)都在直線y=bx/a下方 根據(jù)對(duì)稱性第二、三、四象限亦如此 離心率第一定義：e=c/a 且e∈（1，+∞）.第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離│PF│ 與 點(diǎn)P到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.d點(diǎn)│PF│/d線（點(diǎn)P到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離）=e 雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y）到焦點(diǎn)距離） 左焦半徑：r=│ex+a│ 右焦半徑：r=│exa│ 等軸雙曲線一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等 即：2a=2b 且 e=√2 這時(shí)漸近線方程為：y=177。x（無(wú)論焦點(diǎn)在x軸還是y軸） 共軛雙曲線雙曲線S39。的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S39。的虛軸是雙曲線S的實(shí)軸時(shí)，稱雙曲線S39。與雙曲線S為共軛雙曲線。幾何表達(dá)：S：（x^2/a^2）(y^2/b^2）=1 S39。：（y^2/b^2）(x^2/a^2）=1 特點(diǎn)：（1）共漸近線；與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn) （2）焦距相等（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1 準(zhǔn)線焦點(diǎn)在x軸上：x=177。a^2/c 焦點(diǎn)在y軸上：y=177。a^2/c 通徑長(zhǎng)（圓錐曲線中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦） d=2b^2/a1過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式： d=2pe/（1e^2cos^2θ） 弦長(zhǎng)公式d = √（1+k^2）|x1x2| = √[（1+k^2）(x1x2）^2] = √（1+1/k^2）|y1y2| = √[（1+1/k^2）(y1y2）^2 ] 推導(dǎo)如下：由 直線的斜率公式：k = (y1 y2） / (x1 x2） 得 y1 y2 = k(x1 x2） 或 x1 x2 = (y1 y2）/k分別代入兩點(diǎn)間的距離公式：|AB| = √[(x1 x2）^2。 + (y1 y2）^2。 ] 稍加整理即得：|AB| = |x1 x2|√（1 + k^2。) 或 |AB| = |y1 y2|√（1 + 1/k^2。) 178。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù) X^2/a^2 Y^2/b^2 = 1(a0,b0) 而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c ≠ 0)但是反比例函數(shù)圖象確實(shí)是雙曲線軌跡經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的因?yàn)?xy = c的對(duì)稱軸是 y=x, y=x 而X^2/a^2 Y^2/b^2 = 1的對(duì)稱軸是x軸，y軸 所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a（a≠0，順時(shí)針） （a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角） 則有X = xcosa + ysina Y = xsina + ycosa取 a = π/4 則X^2 Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 (xsin（π/4） ycos（π/4）)^2 = （√2/2 x + √2/2 y)^2 （√2/2 x √2/2 y)^2 = 4 （√2/2 x) （√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以X^2/（2c) Y^2/（2c) = 1 (c0) Y^2/(2c) X^2/(2c) = 1 (c0)由此證得，反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線的一種形式，.只不過(guò)是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式. 雙曲線內(nèi)、上、外在雙曲線的兩側(cè)的區(qū)域稱為雙曲線內(nèi)，則有x^2/a^2y^2/b^21； 在雙曲線的線上稱為雙曲線上，則有x^2/a^2y^2/b^2=1； 在雙曲線所夾的區(qū)域稱為雙曲線外，則有x^2/a^2y^2/b^21。編輯本段面積公式若 ∠F1PF2=θ，則 S△F1PF2=b^2179。cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2/tan（θ/2）178。例：已知FF2為雙曲線C：x2y2=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2=60176。，則P到x軸的距離為多 少？解：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式 得S△F1PF2=b^2179。cot（θ/2）=√3設(shè)P到x軸的距離為h，則 S△F1PF2 =1/2179。h179。2√2。 h =√6/2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的方程）如果雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為（a0,b0）如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為（a0,b0）.22雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a0，b0，但a不一定大于b．如果x的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上，如果y的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)的位置．要學(xué)會(huì)利用題設(shè)條件求a、b并判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸求雙曲線方程，或用待定系數(shù)法確定雙曲線方程；另外，在方程Ax＋By=C中，只要AB0，且C≠0，方程表示雙曲線方程． 雙曲線的幾何性質(zhì)（1）雙曲線的幾何性質(zhì)包括：范圍、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心及其實(shí)軸與虛軸的概念、焦距與焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線方程等．22關(guān)于雙曲線漸近線方程的記憶，只須將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的1改為0即可．如雙曲線的漸近線方程為，即，這兩條直線恰是邊長(zhǎng)2a、2b的矩形的兩條對(duì)角線所在的直線．當(dāng)雙曲線的兩支向外延伸時(shí)，與這兩條直線無(wú)限接近，但永不相交．漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，理解漸近線的漸近性，可以理解為：，當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于0，所以y無(wú)限趨近于222．．（2）等軸雙曲線x－y=177。a的漸近線方程是y=177。x，離心率（3）離心率的求解注意運(yùn)用幾何性質(zhì)，將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為a、b、c的齊次等式．（4）與雙曲線要掌握雙曲線的第二定義：有相同漸近線的方程是．在平面上到一定點(diǎn)F的距離與到一定直線距離之比為一個(gè)大于1的常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡．即是應(yīng)用雙曲線的第二定義 幾何性質(zhì)見(jiàn)下表：．教材例5即