【正文】 桁 架 一、桁架的計算簡圖 桁架是由若干直桿在兩端以適當方式連接而成的幾何不變體系，在工程中應用廣泛。例如房屋的屋架就是桁架結構，橋梁、電視塔也常采用桁架結構。 實際桁架的受力情況比較復雜。實踐表明，在節(jié)點荷載作用下，桁架各桿主要承受軸力，而彎矩和剪力都很小。在分析桁架時，必須選取既能反映桁架受力本質又便于計算的簡圖。所以。，在選取桁架的計算簡圖時，對平面桁架通常假設如下： 1．桁架各桿的兩端用無摩擦的理想鉸連接； 2．各桿的軸線都是直線，且通過鉸的中心，都在同一平面內； 3．荷載和支座反力都作用在節(jié)點上并位于桁架平面內。 、 根據(jù)以上假設，可將圖10—37a中的木屋架，簡化為圖10—37b的計算簡圖。 可以看出，桁架計算簡圖中的各桿只在兩端受力(自重忽略不計)，都是二力桿，在各桿的任一截面上，正應力都均勻分布。理想桁架和工程實際中的桁架有一定的差異，主要是連接各桿的并不是理想的鉸，實際桁架在節(jié)點處都具有一定的剛性。但在一般情況下，按桁架計算簡圖計算的結果，即可滿足工程使用要求，只是在較精確的計算中或計算較重要的結構時，才考慮桁架桿端彎矩產(chǎn)生的附加內力。 圖10—37 桁架各桿因所在位置的不同而有不同的名稱。桁架上、下外圍各桿叫做弦桿，上邊的叫做上弦桿：下邊的叫做下弦桿(圖10—37b)。位于上、下弦之間的叫做腹桿，腹桿又分為豎腹桿和斜腹桿。各桿端的連接點叫做節(jié)點。弦桿上相鄰兩節(jié)點間的區(qū)間叫做節(jié)間，其間距d叫做節(jié)間長。桁架的高度h叫做桁高。兩支座間的距離Z叫做跨度。 常用的靜定平面桁架，按其幾何組成，分為簡單桁架和聯(lián)合桁架。 簡單桁架由一個基本鉸接三角形開始，依次增加二元體組成(圖10—38a)。 聯(lián)合桁架由幾個簡單桁架按照兩剛片或三剛片規(guī)則組成(圖10—38b)。簡單桁架和聯(lián)合桁架都是沒有多余約束的幾何不變體系，即靜定結構。二、用數(shù)解法計算桁架的軸力 用數(shù)解法計算桁架的軸力主要有節(jié)點法和截面法。 1．節(jié)點法節(jié)點法就是截取桁架的一個節(jié)點為研究對象，利用節(jié)點的靜力平衡條件求解內力的方法。 桁架的每一根桿都是二力桿，它們的內力只有軸力，每一個節(jié)點上有已知的荷載或支座反力和未知的桿件軸力，這些外力和內力組成了一個平面匯交力系。用平面匯交力系的平衡條件，可求解出兩個未知軸力。因此，在用節(jié)點法求桁架的軸力時，應當從只包含兩個(或一個)未知力的節(jié)點開始，依次進行節(jié)點計算。 在畫節(jié)點脫離體圖時：對已知的力(包括荷載、支座反力和已求出的桿件軸力)要按實際方向畫出；對未知的桿件內力，宜假設受拉，拉力的方向背離節(jié)點。這樣的假設計算出的正負號能表示內力的性質：計算結果為正號是拉力；計算結果為負號是壓力。 例10一8計算圖10—39a中三角形桁架各桿的軸力。 圖 lO一39解因桁架結構及荷載均對稱，故支座反力及軸力也對稱，所以只計算半個桁架的軸力即可。(1)求支座反力。由對稱關系可得 YA=YB=20 kN(十)(2)計算各桿的軸力。由桁架的幾何尺寸(圖b)可得取節(jié)點A為研究對象，脫離體圖如圖c所示。 ∑Y=0，N1sina+20—10=0 N1=一22．36 kN(壓力) ∑X=0，N2+N1cosa=0 N2=一N1COS=一(一22．36)0．8944 =20 kN(拉力)取節(jié)點C為研究對象，脫離體圖如圖d所示。 ∑X=0， N2=20 kN(拉力) ∑Y=0．N3=0最后將桿架各桿軸力的計算結果，標注于桁架受力圖上(圖10—40)。內力為零的桿叫做零桿。以下兩種情況的零桿可直接判斷而不必計算： 11 7節(jié)點僅有兩根不共線的桿件，在無外力作用時，這兩桿均為零桿(圖三桿節(jié)安上，無外力作用時，葶其中兩桿在同一直線上，則此兩桿內力相等，素，三桿必為零桿(圖10—41 6)。 分析桁架時，宜先用上述結論判斷出零桿．即可簡化計算。 例10—9試判斷圖10—42口中桁架的零桿。 解 節(jié)點C、D屬于圖10—41口中的情況，所以桿AC、CG、HD、DB均為零桿。節(jié)點E、F、l，屬于圖10—41 b中的情況，所以桿GE、HF、JK均為零桿。 桁架中的零桿在施工時切不可“精減”，各零桿仍起著 圖10—42重要的構造作用，更何況按計算簡圖算出的零桿，其真實內力未必為零。是截取部分桁架(截取部分包括兩個或兩個以上節(jié)點)為研究對象，利用部分桁架的平衡條件求解內力的方法。在截取的部分桁架的受力圖上，有荷載、支座反力和未知的桿件內力，這些力組成了平面一般力系，應用平面一般力系的平衡條件，即可求解三個未知力。在計算桁架指定桿件的內力時，常采用截面法。例10—10試求圖10—43a桁架中J、3桿的軸力。解(1)求支座反力。由桁架結構及荷載的對稱性可得 yA=yB=30 kN(十) (2)計算桿3的軸力。用截面假想地將桁架截成兩部分，并取左邊部分為研究對象，其脫離體圖如圖10—43b所示。由平衡條件有 ∑Y=0 YA20N1X2/13=0 N2=(30—20)=18 kN(拉力) ∑mD=0，N32一yA3=0 N3=30X3/2=45 kN(拉力) ∑X=0 N1=一60 kN(壓力) 圖 10一43江都職教集團教案建筑力學重點內容教案（六）超靜定結構圖形相乘法計算位移結構在荷載作用下產(chǎn)生內力和變形，由于結構的變形，結構上任一截面的位置將有移動，稱為位移。截面的位移用線位移和角位移來度量。例如圖121所式的梁，在荷載P作用下變形如圖中虛線所示。此時，截面C變形后位移到C’,距離CC’稱為截面C的線位移。同時，截面C還轉動了一個角度，稱為截面C的角位移或轉角。一、 圖形相乘法（簡稱圖乘法）計算位移的步驟（1）繪出結構在荷載作用下的彎矩圖，這個彎矩圖叫做荷載彎矩圖，記作Mp。（2）在求位移的位置處（B點）沿所求位移的方向（豎向）施加一個單位荷載P=1,并繪出單位荷載作用下的彎矩圖。這個彎矩圖叫單位彎矩圖，記作M.(3)計算荷載彎矩圖Mp的面積，并確定荷載彎矩圖的形心位置。（4）荷載彎矩圖Mp的性心所對應的帶為彎矩圖M上的豎標與Mp圖的面積相乘，再除以梁的抗彎剛度EI，就得到所求的位移。二、圖乘法的應用條件和規(guī)則（1） 桿件的軸線為直線；（2） 桿件的抗彎剛度EI為常數(shù)，當桿件剛度變化時，要分段計算；（3） 單位彎矩圖應當是直線，當M圖是折線時，應將折線分成幾段直線，分別圖乘后，取其代數(shù)和。（4） 當Mp與y0在彎矩圖基線的同一側時，乘積取正號；反之取負號。用力法計算超靜定梁一、超靜定次數(shù)：未知力個數(shù)與靜力平衡方程數(shù)的差值。超靜定次數(shù)就等于多余與約束的數(shù)目。多余約束對結構的作用叫多余未知力。 二、力法的概念 圖12—12a示一單跨超靜定梁，梁的抗彎剛度為EI。前面已經(jīng)講到，這種梁是一次超靜定結構。選擇B端的鏈桿為多余約束，其支座反力x，為多余未知力。如果把多余約束去掉，以多余未知力x1代替去掉的多余約束。于是，原來的一次超靜定結構就轉變?yōu)殪o定結構，如圖1212b所示。這個靜定結構稱為原結構的基本體系。在這個基本體系上作用有已知的荷載q和未知的X1，是一個懸臂梁。顯然，只要設法求出多余未知力x1，那么超靜定結構的計算問題就轉化為靜定的基本體系的計算問題。為了求出多余未知力x1，要考慮多余約束對原結構所起作用。原結構(圖1212a)在B點不可能產(chǎn)生豎向位基本體系(圖12—12b)中，多余約束雖然被去掉了，但未知力X1作用。在基本體系中，可以把荷載q和多余力X1單獨地作用，當僅有荷載g作用時，梁在B端將下的豎向位移△1p，(圖1212c)，當僅有x1作用時，B端將產(chǎn)生向上的位移△11?；倔w系B端的總位移；是△1p和△11的疊加。如果未知力x。過大，梁的B上翹；如果未知力x1過小，梁的B端將會下垂。只有的豎向位移正好等于零時，基本體素釉原結構完全相時，基本體系的內力也和原結構完全相同?？梢?，基本原結構完全相符合條件是：基本體系沿多余未知力方向的位移為零。這個變形條件就是計算多余未知力的補充條個變形條件用計算公式表達為 Al=△lP十△ll=0這里△1是基本體系沿X1。方向的總位移。即圖12—12b的豎向位移，Alp是荷載作用下基本體系沿X1方向的位移。（圖12—12c），△I1是基本體系在xI作用下沿X1方向的位移。位移的方向與X1作用的方向相同時位移取正號，反之取負號。再以11表示單位多余力X1=1時，基本體系沿X1方向產(chǎn)生的位移，則由外力與位移成正比的關系可得△11=δ11X1 因此，變形條件可寫為 δllXl+△1P=0這個方程叫做力法方程，是根據(jù)基本體系的位移條件建立的，用這個方程可以求出多余未知力X1。式中，11稱為方程的系數(shù)，△1p，稱為自由項，它們可用圖乘法求得。為了計算11和△1p，要繪制基本體系在單位多余力X1=l作用下的彎矩圖M1(圖1213a)和荷載作用下的彎矩圖Mp(圖1213b)。 因為δ11表示X=1時8點沿X1方向的位移，顯然δ11就等于單位彎矩圖M的面積乘以它自己形心的豎標在處以剛度EI。 δ11=1/EI(1/2LLL)=L3/3EI 計算△1p時，則用荷載彎矩圖M，(圖12—13b)面積與其形心所對應的單位彎矩圖M(圖12—13a)豎標相乘再除以EI。所以 △Ip=1EI(1/3Lq/2L23/4L) 將δ11和△1p，代入力法方程(12．1)中，得L3/3EIX1qL4/8EI=0 X1=3/8qL所得結果為正，表明多余未知力的實際方向與假設方向相同。 多余未知力x求得后，完全可用靜力平衡方程計算圖12—12a所示的單跨粱的反力和內力。這個超靜定梁，實際上可視為在已知荷載q和X1作用下的懸臂梁。考慮梁AB的平衡(圖12—14a)，可算出梁4端的彎矩MAB和剪力VAB。∑mA=0 MAB+X1Lq/2L2=0 MAB=q/2L23/8LL=1/8qL2∑Y=0 VAB +X1qL=0 VAB ==3/8qL=5/8 qL梁B端的彎矩MBA=o，剪力VBA=一3/8qL。 根據(jù)梁端彎矩和剪力，將梁的彎矩圖和剪力圖繪于圖1214b、c。 以上討論的分析超靜定結構的方法叫力法。在力法中，通過位移條件建立求解多余未知力的方程!叫力法方程。因此，建立力法方程，求解多余未知力是用力法計算超靜定結構的關鍵。 例12—5 試繪制圖12—15a所示單跨梁的彎矩圖和剪力圖。梁的抗彎剛度為EI。 解 將支座B視為多余約束，去掉支座B，代以多余未知力Xl，原結構的基本體系示于圖12—15b。 在多余未知力xt的方向施加單位多余力衛(wèi)。，并繪制單位彎矩圖刀t于圖c；繪制荷載彎矩圖Mp于圖d。 建立力法方程： δllXl+△1P=0 用圖乘法計算系數(shù)δll，和自由項△1p， δll=1/EI(L2/22L/3)=L3/3EI△1P=1/EI(L/2M3l/4)=3L2M/8EIL3/3EIX13L2M/8EI=0X1=9/8M/L 以梁船為研究對象(圖12—16a)，用靜力平衡方程求出梁端的彎矩和剪力。 ∑mA=0 X1LMMAB=0 MAB=9M/8LLM=1/8M ∑Y=0 VAB=X1=9M/8L負號表示剪力VAB是負剪力。 梁的彎矩圖及剪力圖繪于圖1216b、c?？偨Y作業(yè)：12—4試繪制圖示超靜定梁的彎矩圖和剪力圖。梁的剛度為EI。題124圖58