【導讀】Ａ、Ａ＋ＢＢ、2ABＣ、B-AＤ、22BA?、２ab，則這個直角三角。２、三條線段的長分別為Q、Ｐ、Ｒ，而且有222RPQ??的角為∠Ｑ１，Ｒ對應的角為∠Ｒ１，可以斷定角為直角。為最大角，最大角等于度。固定點距離電線桿底部有米。時該同學距離他出發(fā)的地點有多遠？（其中∠FAC和∠ABC都為直角。年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)在請你嘗試他的證明過程。的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。最短路線的長是_____________。桿的頂端落在離旗桿底部米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？

　　

【正文】 構成 PAC? ， APB? ， PBD? 三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是 0 角．） （ 1）當動點 P 落在第①部分時，求證： APB PAC PBD? ? ? ? ?； （ 2）當動點 P 落在第②部分時， APB PAC PBD? ? ? ? ?是否成立（直接回答成立或不成立）？ （ 3）當動點 P 在第③部分時，全面探究 PAC? ， APB? ， PBD? 之間的關系，并寫出動點 P 的具體位置和相應的結論．選擇其中一種結論加以證明． （圖 1） A B C D E F M N （圖 2） A B C D E F M N （圖 3） A B C D E F M N （圖 2） A B C D E F M N K A B C D ① ② ③ A B C D P ① ② ③ ④ A B C D ① ② ③ ④ ④ 解：（ 1）解法一：如圖 9－ 1 延長 BP 交直線 AC 于點 E ∵ AC∥ BD ， ∴ ∠ PEA ＝ ∠ PBD ． ∵ ∠ APB ＝ ∠ PAE ＋ ∠ PEA ， ∴ ∠ APB ＝ ∠ PAC ＋ ∠ PBD ． 解法二：如圖 9－ 2 過點 P 作 FP∥ AC ， ∴ ∠ PAC ＝ ∠ APF . ∵ AC∥ BD ， ∴ FP∥ BD . ∴ ∠ FPB ＝∠ PBD . ∴ ∠ APB ＝∠ APF ＋∠ FPB ＝∠ PAC ＋ ∠ PBD ． 解法三：如圖 9－ 3， ∵ AC∥ BD ， ∴ ∠ CAB ＋ ∠ ABD ＝ 180176。 即 ∠ PAC ＋ ∠ PAB ＋ ∠ PBA ＋ ∠ PBD ＝ 180176。． 又∠ APB ＋∠ PBA ＋∠ PAB ＝ 180176。， ∴ ∠ APB ＝∠ PAC ＋ ∠ PBD . （ 2）不成立 . （ 3） (a)當動點 P 在射線 BA 的右側時，結論是 ∠ PBD＝∠ PAC＋∠ APB ． (b)當動點 P 在射線 BA 上， 結論是 ∠ PBD ＝ ∠ PAC ＋ ∠ APB ． 或 ∠ PAC ＝∠ PBD ＋ ∠ APB 或 ∠ APB ＝ 0176。， ∠ PAC ＝ ∠ PBD（任寫一個即可）． (c) 當動點 P 在射線 BA 的左側時， 結論是 ∠ PAC ＝ ∠ APB ＋ ∠ PBD ． 選擇 (a) 證明： 如圖 9－ 4，連接 PA， 連接 PB 交 AC 于 M ∵ AC∥ BD ， ∴ ∠ PMC ＝∠ PBD ． 又 ∵ ∠ PMC ＝ ∠ PAM ＋ ∠ APM ， ∴ ∠ PBD ＝ ∠ PAC ＋ ∠ APB ． 選擇 (b) 證 明：如圖 9－ 5 ∵ 點 P 在射線 BA 上， ∴ ∠ APB ＝ 0176。． ∵ AC∥ BD ， ∴ ∠ PBD ＝ ∠ PAC ． ∴ ∠ PBD ＝ ∠ PAC ＋ ∠ APB 或∠ PAC ＝∠ PBD＋∠ APB 或 ∠ APB ＝ 0176。， ∠ PAC ＝ ∠ PBD. 選擇 (c) 證明： 如圖 9－ 6，連接 PA，連接 PB 交 AC 于 F ∵ AC∥ BD ， ∴ ∠ PFA ＝ ∠ PBD ． ∵ ∠ PAC ＝ ∠ APF ＋ ∠ PFA ， ∴ ∠ PAC ＝ ∠ APB ＋ ∠ PBD ． (2020 黑龍江 )在數(shù)學活動課上， 小明做了一梯形紙板，測得一底為 10cm，高為 12cm，兩腰長分別為 15cm 和 20cm，求該梯形紙板另一底的長． 解：不妨設 10cmAD? ， 15cmAB? ， 20cmCD? ，分別過點 AD， 作 AE BC? 于點 E ，DF BC? 于點 F ． 12 cmAE DF??， 10 cmEF AD??． 在 Rt ABE△ 中， 22 9 ( c m )B E A B A E? ? ? 同理可求 16cmCF? ． 分三種情況： （ 1）如圖 1， 35 ( c m )BC BE EF C F? ? ? ? （ 2）如圖 2， 17 ( c m )BC EF BE C F? ? ? ? （ 3）如圖 3， 3 ( c m )BC BE EF C F? ? ? ? 綜 上所述，該梯形紙板另一底的長為 35cm 或 17cm 或 3cm 等腰三角形的底邊長是 a，頂角是底角的 4 倍，則腰上的高是（ ）。 A． a23 B． a33 C． a21 D． a41 一個直角三角形的兩邊長分別為 5CM和 12CM，則第三邊長等于（ ）。 A． 17 B． 21 C． 13 D． 13或 119 等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為 45176。，則這個三角形是 （ ） A、銳角三角形 B、鈍角三角形 C、等邊三角形 D、等腰直角三角形 A D C F E B 圖１ A D C F E B 圖 2 A D C F E B 圖 3 如圖 5，在等腰 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 ，正方形 DEFG 的頂點 D在邊 AC上，點 E、 F在邊 AB 上，點 G 在邊 BC 上 . （ 1）求證 AE=BF； （ 2）若 BC= 2 cm，求正方形 DEFG 的邊長 . 在下圖中，直線 l 所對應的函數(shù)關系式為 551 ??? xy ， l 與 y 軸交于點 C， O 為坐標原點。 （ 1）請直接寫出線段 OC 的長； （ 2）已知圖中 A點在 x 軸的正半軸上，四邊形 OABC 為矩形，邊 AB 與直線 l 相交于點 D，沿直線 l 把 △ CBD 折疊，點 B 恰好落在 AC 上一點 E 處，并且 EA=1. ① 試求點 D 的坐標； ② 若 ⊙ P 的圓心在線段 CD 上，且 ⊙ P 既與直線 AC 相切，又與直線 DE 相交，設圓心 P 的橫坐標為 m，試求 m 的取值范圍。 lECO xyABD 如圖，點 G 是 ABC△ 的重心， CG 的延長線交 AB 于 D ， 5cmGA? ， 4cmGC? ，3cmGB? ，將 ADG△ 繞點 D 旋轉 180 得到 BDE△ ，則 DE? cm， ABC△ 的面積 ? cm2． 已知：如圖所示的一張矩形紙片 ABCD （ AD AB? ），將紙片折疊一次，使點 A 與 C 重合，再展開，折痕 EF 交 AD 邊于 E ，交 BC 邊于 F ，分別連結 AF 和 CE ． （ 1）求證：四邊形 AFCE 是菱形； （ 2）若 10cmAE? ， ABF△ 的面積為 224cm ，求 ABF△ 的周長； （ 3）在線段 AC 上是否存在一點 P ，使得 22 AE AC AP? ？ 若存在，請說明點 P 的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由． 26．（本題滿分 12 分） 如圖，在直角梯形 OABD 中， DB OA∥ ， 90OAB??，點 O 為坐標原點，點 A 在 x 軸的正半軸上，對角線 OB AD， 相交于點 M ． 2 2 3O A AB??， ， : 1: 2BM MO ? ． （ 1）求 OB 和 OM 的值； （ 2）求直線 OD 所對應的函數(shù)關系式； （ 3）已知點 P 在線段 OB 上（ P 不與點 OB， 重合），經過點 A 和點 P 的直線交梯形 OABD的邊于點 E （ E 異于點 A ），設 OP t? ，梯形 OABD 被夾在 OAE? 內的部分的面積為 S ，求 S 關于 t 的函數(shù)關系式． （ 1）如圖 1，圖 2，圖 3，在 ABC△ 中，分別以 AB AC， 為邊，向 ABC△ 外作正三角形，正四邊形，正五邊形， BE CD， 相交于點 O ． ① 如圖 1，求證： AB E ADC△ ≌ △ ； ② 探究：如圖 1， BOC?? ； 如圖 2， BOC?? ； 如圖 3， BOC?? ． （ 2） 如圖 4，已知： AB AD， 是以 AB 為邊 向 ABC△ 外所作正 n 邊形的一組鄰邊；AC AE， 是以 AC 為邊向 ABC△ 外所作正 n 邊形的一組鄰邊． BE CD， 的延長相交于點O ． ① 猜想：如圖 4， BOC?? （ 用含 n 的式子表示 ）； A E D C F B （第 25 題） y x A B D M O （第 26 題） ② 根據圖 4 證明你的猜想． 已知：如圖，直線 3 4 3yx?? ? 與 x 軸相交于點 A，與直線 3yx? 相交于點 P． （ 1）求點 P 的坐標 ． （ 2）請判斷 OPA? 的形狀并說明理由 ． （ 3）動點 E 從原點 O 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿著 O→ P→ A的 路線向點 A勻速運動（ E 不與點 O、 A重合），過點 E 分別作 EF⊥ x 軸于 F， EB⊥ y 軸于 B．設運動 t 秒時，矩形 EBOF 與 △ OPA 重疊部分的面積為 S． 求： ① S 與 t 之間的函數(shù)關系式 ． ② 當 t 為何值時， S 最大，并求 S 的最大值 ． 解：（ 1） 3 4 33yxyx? ?? ?????? ................................................................................. 1 分 解得： 223xy???? ??? ....................................................................................... 2 分 ∴ 點 P 的坐標為 (2， 23) ............................................................................ 3 分 （ 2）將 0y? 代入 3 4 3yx?? ? 3 4 3 0x? ? ? ∴ 4x? ，即 OA=4........................................................................................ 4 分 做 PD⊥ OA 于 D，則 OD=2， PD=2 3 ∵ tan∠ POA= 2332 ? ∴ ∠ POA=60176。 ........................................................................................... 5 分 ∵ OP= 222 (2 3) 4?? ∴△ POA 是等邊三角形． .................... 6 分 F 第 23 題圖 y O A x P E B y P E （ 3） ① 當 0t≤ 4 時，如圖 1 在 Rt△ EOF 中， ∵∠ EOF=60176。， OE=t ∴ EF= 23 t， OF=21t ∴ S=21OFEF= 283t .......................... 7 分 當 4t8 時，如圖 2 設 EB 與 OP 相交于點 C 易知： CE=PE=t－ 4， AE=8－ t ∴ AF=4－ t21 ， EF= 23 (8－ t) ∴ OF=OA－ AF=4－（ 4－ 21 t） =21 t ∴ S=21 (CE+OF)EF =12 (t－ 4+12 t)32 (8－ t） =－ 383 2t +4 3 t－ 8 3 .............................. 8 分 ② 當 0t≤ 4 時， S= 38 2t ， t=4 時， S 最大 =2 3 當 4t8 時， S=－ 383 2t +4 3 t－ 8 3 =－ 383 (t－ 316 )2 + 338 t= 316 時， S 最大 = 3