高中數(shù)學(xué)數(shù)列練習(xí)題及解析-資料下載頁
2025-08-05 19:24本頁面
【正文】 ，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，則a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{an}的通項公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，及累加法求數(shù)列的通項公式和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 27．（2012?碑林區(qū)校級模擬）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+．（1）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；綜合題．分析：（1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能夠推導(dǎo)出所求的通項公式．（2）由題設(shè)知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），設(shè)Tn=1++++…+，由錯位相減法能求出Tn=4﹣．從而導(dǎo)出數(shù)列{an}的前n項和Sn．解答：解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即bn+1=bn+，從而b2=b1+，b3=b2+，bn=bn﹣1+（n≥2）．于是bn=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通項公式為bn=2﹣．（2）由（1）知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），設(shè)Tn=1++++…+，①Tn=+++…++，②①﹣②得，Tn=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴Tn=4﹣．∴Sn=n（n+1）+﹣4．點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運(yùn)用． 28．（2015?瓊海校級模擬）已知正項數(shù)列滿足4Sn=（an+1）2．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由4Sn=（an+1）2．可知當(dāng)n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2，兩式相減，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求（Ⅱ） 由（1）知 =，利用裂項求和即可求解解答：解：（Ⅰ）∵4Sn=（an+1）2．∴當(dāng)n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2．兩式相減可得，4（sn﹣sn﹣1）=即4an=整理得an﹣an﹣1=2 …（4分）又a1=1∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1 …（6分）（Ⅱ） 由（1）知 =…（8分）所以= …（12分）點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用 29．（2015?揭陽校級三模）已知{an}是等差數(shù)列，公差為d，首項a1=3，前n項和為Sn．令，{}的前20項和T20=330．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范圍．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）利用T20=330，求出公差，即可求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）先求出bn，再根據(jù)bn+1≤bn，n∈N*，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330，則a2+a4+a6+…+a20=330…（3分）則解得d=3所以an=3+3（n﹣1）=3n…（6分）（Ⅱ） 由（Ⅰ）知bn=2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2（a﹣2）3n﹣1+2n﹣[2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1]=4（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1=由bn+1≤bn?…（10分）因為隨著n的增大而增大，所以n=1時，最小值為，所以…（12分）點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題． 30．（2015?惠州模擬）已知數(shù)列{an}中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）﹣1．①求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列②求數(shù)列{an}的通項公式③設(shè)數(shù)列{}的前n項和為Tn，是否存在實數(shù)M，使得Tn≤M對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，試說明理由．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式；等差關(guān)系的確定；數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：①由Sn=（n+1）（an+1）﹣1，得，兩式相減后整理可得nan+1=（n+1）an﹣1（1），則（n+1）an+2=（n+2）an+1﹣1（2），兩式相減整理后利用等差中項公式可判斷；②由①知，nan+1=（n+1）an﹣1，可求得a2=2a1﹣1=5，又a1=3可求公差，從而可得an；③使得Tn≤M對一切正整數(shù)n恒成立，等價于Tn的最大值小于等于M，利用裂項相消法可求得Tn，進(jìn)而可求得其最大值；解答：解：①∵Sn=（n+1）（an+1）﹣1，∴，∴an+1=Sn+1﹣Sn=，整理得，nan+1=（n+1）an﹣1…（1）∴（n+1）an+2=（n+2）an+1﹣1…（2）（2）﹣（1），得（n+1）an+2﹣nan+1=（n+2）an+1﹣（n+1）an，∴2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），∴2an+1=an+2+an，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．②由①知，nan+1=（n+1）an﹣1，得a2=2a1﹣1=5，又a1=3，∴a2﹣a1=2，即公差為2，an=3+（n﹣1）2=2n+1；③∵=（），∴=，又當(dāng)n∈N*時，要使得Tn≤M對一切正整數(shù)n恒成立，只要M≥，∴存在實數(shù)M使得Tn≤M對一切正整數(shù)n都成立，M的最小值為．點(diǎn)評：本題考查等差關(guān)系的確定、等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握． 單純的課本內(nèi)容，并不能滿足學(xué)生的需要，通過補(bǔ)充，達(dá)到內(nèi)容的完善 教育之通病是教用腦的人不用手，不教用手的人用腦，所以一無所能。教育革命的對策是手腦聯(lián)盟，結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議。優(yōu)質(zhì)范文
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