研究生矩陣?yán)碚?資料下載頁(yè)
2025-08-05 10:44本頁(yè)面
【正文】 A??和 都是冪等矩陣返回 5 M P廣義逆矩陣 A+ 1定義,A G A A G A G G??mn nmA C G C? ???設(shè) ，如果有 ，使得.MPG A G A ?? ?廣義逆則稱(chēng) 是 的 矩陣，記為( ) , ( )HHA G A G GA GA??1定理11( ) ( )H H H HG D DD B B B???.A M P A ??就是 的 廣義逆矩陣設(shè) 是 A的最大秩分解則 ,mnA C A B D???2定理 .mnA C A???設(shè) ，則 是唯一的返回 3定理 mnAC ??設(shè) ，則有( 1 ) ( ) 。AA?? ?( 2 ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 。T T H HA A A A? ? ? ???( 3 ) ( ) ( ) 。H H H HA A A A A A A? ? ???( 4 ) ( ) ( ) 。HR A R A? ?() ()( 5 ) , 。HRA RAA A P A A P????( 6 ) ( ) ( ) .HR A R A A A A A???返回 ( 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 。H H H HA A A A A A A A? ? ? ? ? ???4定 理 mnAC ??設(shè) ，則有( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。H H H H HA A A A A A A A A A? ? ? ? ???( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。H H H HA A A A A A A A A A? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) .H H H HA A A A A A A A A A? ? ???返回 一 、 最 大 秩 分 解 法6 A+的計(jì)算方法 1引理。)(,)1 1?? ? HH AAAAA 則是行滿(mǎn)秩矩陣如果，則設(shè) nmCA ??.)(,)2 1 HH AAAAA ?? ?則是列滿(mǎn)秩矩陣如果??? ? BDA1定理 的最大秩是設(shè) ABDACA nmr ?? ? ,則分解 ,返回 為設(shè)矩陣 A1例1 3 2 1 42 6 1 0 73 9 3 1 11A?????????.?? APMA 廣義逆矩陣的求:解 :)1( BDAA ?的最大秩分解求121 3 0 1 / 3 1 0 / 32 1 ,0 0 1 2 / 3 1 / 333BD????????? ??????????返回 :)2( ?? DB 和計(jì)算1()HHD D D D???HH BBBB 1)( ?? ? 4 5 115 1 19???? ?????10309012901 / 3 2 / 310 / 3 1 / 3??????????????????返回 :)3( ??? ? BDA計(jì)算32 34 296 102 63329 268 61290230 190 403 24 27A???????????? ??????????返回 ( 1 ) : ( )AB B A? ? ??舉例說(shuō)明下列結(jié)論不成立： ( ) ( ) ,???kkAA(2) 其中 k是正整數(shù) . 11( 3 ) , , ( )P Q PAQ Q A P? ? ? ??若 為可逆矩陣返回 二 、 奇 異 值 分 解 法1定理 的奇異值分解為設(shè) nmrCA ??U D VVDUA r ??????????000則有。)1( HH UDVA ?? ?。1||||)2(1 22 ???? ri iFA?}{min1||||)3(12iriA???? ?返回 3定理 的是設(shè) Hinm AAriCA ),2,1(, ??? ? ?iHi AArir ?? 對(duì)應(yīng)于是個(gè)非零特征值 ),2,1(, ??),(, 1 rr d i a g ??? ??記的特征向量單位正交則有),( 211 rU ??? ??HrH UUAA 111 ?? ? ?返回 7 廣義逆矩陣的應(yīng)用 1定理DAXB ?m n p q m qA C B C D C? ? ?? ? ?設(shè) ， ， ，使得和有解的充要條件是存在 ?? BAA A D B B D?? ?則矩陣方程一、矩陣方程的通解 返回 的通解為方程在有解的條件下，矩陣成立 DAXB ?..pnCYA Y B BAYDBAX ????? ?????1推論 DAXCDCA pmnm ??? ?? 則，設(shè)的通解為此時(shí)成立 DAX ?.DDAA ??.pnCYYAAYDAX ??? ?????，使得有解的充要條件是存在 ?A返回 2推論 DXBCDCB npnm ??? ?? 則，設(shè).mpCYY B BYDBX ??? ?????bAxCbCA nmnm ??? ?? 則方程組，設(shè) ,bbAA ??，使得有解的充要條件是存在 ?BDBDB ??的通解為此時(shí)成立 DXB ?.3推論，使得有解的充要條件是存在 ?A.)( nn CuuAAEbAx ????? ??的通解為此時(shí)成立 bAx ?.返回 { 1 , 3 } { | , ( ) }HA G AGA A GA GA? ? ?. 方程組 Ax=b有解 ,則稱(chēng)此方程組為 相容方程組。 定義 二 . 相容方程的最小范數(shù)解 定義 1 設(shè)方程組 Ax=b有解時(shí)，將所有的解中 范數(shù)最小的解稱(chēng)為最小范數(shù)解。 返回 定理 ,則 Db是相容方程組 Ax=b的最小范數(shù)解，并且方程組的最小 范數(shù)解唯一 . { 1 , 3 }DA?,?? ? ?n m mD C b C Db令理 定 是 相 容 方組 Ax=b的最小范數(shù)解 ， { 1 , 3 } .DA?返回 . 三 不相容方程組的解22000, ( ) | | | | ,( ) , ,.Ax b f x Ax b xf x x? ? ?如果 不相容 令 存在使得 最小 稱(chēng) 為方程組的最小二乘解這種問(wèn)題稱(chēng)為最小二乘問(wèn)題定理： 設(shè) G∈ A{1,4}, 則 Gb是不相容 方程組 Ax=b的最小二乘解。 返回 引理 x是不相容方程組 Ax=b的最小 二乘解的充要條件為 Ax=AGb. 定理 不相容方程組 Ax=b的最小二乘解的 通解 ( ) , .nx G b E A A u u C?? ? ? ? ?:, A x b x A b A x b?? ? ?定 理 不 相 容 方 程 是的 最 佳 逼 近 解 。返回 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4:2 4 32 2 02 2 3? , 。x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ??例 用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組是否有解 如果有解 求通解和最小范數(shù)解如果無(wú)解,求最 小二乘解和最佳逼進(jìn)解. 2 4 31 2 , 01 2 3Ab? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?11解 1 22 1返回 1 : :211 2 0 11 1 ,0 0 1 112s t ep A A BDBD???????? ? ? ????????????求 的最大秩分解112:( ) ( )?????H H H Hst e p AAD DD B B B求 2 1 14 2 211 5 6331 6 5?????????????????返回 3 : .s t e p AA b b? ?檢驗(yàn) 是否成立121??????? ? ???????AA b A Ab b.A x b?故 是不相容的方程返回 4 : .s t e p 求最小二乘解的通解及最佳逼進(jìn)解 121( ) ( )5116x A b E A A u E A A u? ? ???????? ? ? ? ? ??????????:最佳逼進(jìn)解:通解1215116x A b????????????????
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