【正文】 所以查標準正態(tài)分布表知即n至少取1537。第六章 樣本及抽樣分布1.[一] 在總體N（52，）中隨機抽一容量為36的樣本。解：2.[二] 在總體N（12，4）中隨機抽一容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求樣本均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率。（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}.（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}.解：（1） =（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} =（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} =4.[四] 設X1，X2…，X10為N（0，）的一個樣本，求解：7．設X1，X2，…，Xn是來自泊松分布π (λ )的一個樣本，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，∴E ()=E (X )= λ, D ()=[六] 設總體X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是來自X的樣本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E (), D (), E (S 2 ).解：（1）（X1，…，Xn）的分布律為 =（2） (由第三章習題26[二十七]知)（3）E ()=E (X )=P， [八]設總體X~N（μ，σ2），X1，…，X10是來自X的樣本。（1）寫出X1，…，X10的聯(lián)合概率密度（2）寫出的概率密度。解：（1）(X1，…，X10)的聯(lián)合概率密度為 （2）由第六章定理一知～即的概率密度為第七章 參數估計1．[一] 隨機地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為（以mm計） 求總體均值μ及方差σ2的矩估計，并求樣本方差S2。解：μ，σ2的矩估計是 。2．[二]設X1，X1，…，Xn為準總體的一個樣本。求下列各總體的密度函數或分布律中的未知參數的矩估計量。（1） 其中c0為已知，θ1，θ為未知參數。（2） 其中θ0，θ為未知參數。（5）為未知參數。解：（1），得（2）（5）E (X) = mp 令mp = ， 解得3．[三]求上題中各未知參數的極大似然估計值和估計量。解：（1）似然函數 （解唯一故為極大似然估計量）（2）。(解唯一)故為極大似然估計量。（5），解得 ，（解唯一）故為極大似然估計量。4．[四(2)] 設X1，X1，…，Xn是來自參數為λ的泊松分布總體的一個樣本，試求λ的極大似然估計量及矩估計量。解：（1）矩估計 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故=為矩估計量。（2）極大似然估計，為極大似然估計量。（其中5．[六] 一地質學家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，隨機地自該地區(qū)取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數。假設這100次觀察相互獨立，并由過去經驗知，它們都服從參數為n=10，P的二項分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計值，該地質學家所得的數據如下樣品中屬石灰石的石子數012345678910觀察到石灰石的樣品個數016723262112310解：λ的極大似然估計值為==[四(1)] 設總體X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ) 2其中θ(0θ1)為未知參數。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x3=1，試求θ的矩估計值和最大似然估計值。解：（1）求θ的矩估計值 則得到θ的矩估計值為（2）求θ的最大似然估計值似然函數 ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求導 得到唯一解為8．[九(1)] 設總體X ~N（μ，σ 2），X1，X1，…，Xn是來自X的一個樣本。試確定常數c使的無偏估計。解：由于=當。[十] 設X1，X2， X3， X4是來自均值為θ的指數分布總體的樣本，其中θ未知，設有估計量 （1）指出T1，T2， T3哪幾個是θ的無偏估計量；（2）在上述θ的無偏估計中指出哪一個較為有效。解：（1）由于Xi服從均值為θ的指數分布，所以E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4由數學期望的性質2176。，3176。有即T1，T2是θ的無偏估計量（2）由方差的性質2176。，3176。并注意到X1，X2， X3， X4獨立，知D (T1) D (T2)所以T2較為有效。14.[十四] 設某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計） 。設干燥時間總體服從正態(tài)分布N ~（μ，σ2）。（1）若由以往經驗知σ=（小時）（2）若σ為未知。解：（1）（），計算得（2）（），計算得，(8)=.16.[十六] 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮彈口速度的樣本標準差為s=11(m/s)。設炮口速度服從正態(tài)分布。解：其中α=, n=9查表知 19.[十九] 研究兩種固體燃料火箭推進器的燃燒率。設兩者都服從正態(tài)分布，取樣本容量為n1=n2=，求兩燃燒率總體均值差μ1－。解：μ1－其中α=，=, n1=n2=20, 20.[二十] 設兩位化驗員A，B獨立地對某中聚合物含氯兩用同樣的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差依次為分別為A，B所測定的測定值總體的方差，設總體均為正態(tài)的。設兩樣本獨立。解：= (, ).其中n1=n2=10，α=，(9,9)=, 。第八章 假設檢驗1.[一]某批礦砂的5個樣品中的鎳含量，經測定為（%） 。設測定值總體服從正態(tài)分布，問在α = ：.解：設測定值總體X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知步驟：（1）提出假設檢驗H：μ=。 H1：μ≠（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H的拒絕域為| t |≥（4）n=5, α = ，由計算知(4)=, （5）故在α = ，接受假設H02．[二] 如果一個矩形的寬度ω與長度l的比，這樣的矩形稱為黃金矩形。這種尺寸的矩形使人們看上去有良好的感覺?，F(xiàn)代建筑構件（如窗架）、工藝品（如圖片鏡框）、甚至司機的執(zhí)照、商業(yè)的信用卡等常常都是采用黃金矩型。下面列出某工藝品工廠隨機取的20個矩形的寬度與長度的比值。設這一工廠生產的矩形的寬度與長短的比值總體服從正態(tài)分布，其均值為μ，試檢驗假設（取α = ）H0：μ = H1：μ≠ .解：步驟：（1）H0：μ = ； H1：μ≠（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H0的拒絕域為| t |≥（4）n=20 α = ，計算知，（5）故在α = ，接受H0，3.[三] 要求一種元件使用壽命不得低于1000小時，今從一批這種元件中隨機抽取25件，測得其壽命的平均值為950小時，已知這種元件壽命服從標準差為σ =100小時的正態(tài)分布。試在顯著水平α = ？設總體均值為μ。即需檢驗假設H0：μ≥1000，H1：μ1000。解：步驟：（1）μ≥1000；H1：μ1000；（σ =100已知）（2）H0的拒絕域為（3）n=25，α = ，計算知（4）故在α = ，拒絕H0，即認為這批元件不合格。12.[十一] 一個小學校長在報紙上看到這樣的報導：“這一城市的初中學生平均每周看8小時電視”。她認為她所領導的學校，學生看電視的時間明顯小于該數字。為此她向100個學生作了調查，得知平均每周看電視的時間小時，樣本標準差為s=2小時。問是否可以認為這位校長的看法是對的？取α = 。（注：這是大樣本檢驗問題。由中心極限定理和斯魯茨基定理知道不管總體服從什么分布，只要方差存在，當n充分大時近似地服從正態(tài)分布。）解：（1）提出假設H0：μ≤8；H1：μ8（2）當n充分大時，近似地服從N（0，1）分布（3）H0的拒絕域近似為≥zα（4）n=100，α = ，S=2，由計算知（5）故在α = ，拒絕H0，即認為校長的看法是不對的。14.[十三] 某種導線，(歐姆)。今在生產的一批導線中取樣品9根，測得s=(歐姆)，設總體為正態(tài)分布。問在水平α = ？解：（1）提出H0：σ ≤；H1：σ （2）H0的拒絕域為（3）n=9，α = ，S=，由計算知查表（4）故在α = ，拒絕H0，認為這批導線的標準差顯著地偏大。15.[十四] 在題2中記總體的標準差為σ。試檢驗假設（取α = ）H0：σ 2 =， H1：σ 2 ≠。解：步驟（1）H0：σ 2 =； H1：σ 2 ≠（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H0的拒絕域為（4）n=20，α = ，由計算知S 2= 2，查表知（5）故在α = ，接受H0，.16.[十五] 測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出s=%，設測定值總體為正態(tài)分布，σ 2為總體方差。試在水平α = ：σ ≥%；H1：σ %。解：（1）H0：σ 2 ≥(%)2；H1：σ 2 (%)2（2）H0的拒絕域為（3）n=10，α = ，S=%，查表知由計算知（4）故在α = ，接受H0，%17.[十六] 在第6[五]題中分別記兩個總體的方差為。試檢驗假設（取α = ）H0：以說在第6[五]題中我們假設是合理的。解：（1）H0：（2）選取檢驗統(tǒng)計量為 （3）H0的拒絕域為（4）n1=8，n2=10，α = ，(7,9)= (7,9)F (7,9)（5）故在α = ，接受H0，認為18.[十七] 在第8題[七]中分別記兩個總體的方差為。試檢驗假設（取α = ）H0：以說明在第8[七]題中我們假設是合理的。解：（1）H0：（2）選取檢驗統(tǒng)計量 （3）n1=n2=12，α = ，查表知(11,11)= ，由計算知（4）故在α = ，接受H0，認為24.[二十三] 檢查了一本書的100頁，記錄各頁中印刷錯誤的個數，其結果為錯誤個數fi0123456≥7含fi個錯誤的頁數36401920210問能否認為一頁的印刷錯誤個數服從泊松分布（取α = ）。解：（1）H0：總體X~π(λ )；H1：X不服從泊松布；（λ未知）（2）當H0成立時，λ的最大似然估計為（3）H0的拒絕域為（4）n=100對于j3，將其合并得合并后，K=4，Y=1查表知由計算知（5）故在α = ，接受H0，認為一頁的印刷錯誤個數服從泊松分布。72