【正文】 所以查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知即n至少取1537。第六章 樣本及抽樣分布1.[一] 在總體N（52，）中隨機(jī)抽一容量為36的樣本。解：2.[二] 在總體N（12，4）中隨機(jī)抽一容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求樣本均值與總體平均值之差的絕對(duì)值大于1的概率。（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}.（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}.解：（1） =（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} =（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} =4.[四] 設(shè)X1，X2…，X10為N（0，）的一個(gè)樣本，求解：7．設(shè)X1，X2，…，Xn是來自泊松分布π (λ )的一個(gè)樣本，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，∴E ()=E (X )= λ, D ()=[六] 設(shè)總體X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是來自X的樣本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E (), D (), E (S 2 ).解：（1）（X1，…，Xn）的分布律為 =（2） (由第三章習(xí)題26[二十七]知)（3）E ()=E (X )=P， [八]設(shè)總體X~N（μ，σ2），X1，…，X10是來自X的樣本。（1）寫出X1，…，X10的聯(lián)合概率密度（2）寫出的概率密度。解：（1）(X1，…，X10)的聯(lián)合概率密度為 （2）由第六章定理一知～即的概率密度為第七章 參數(shù)估計(jì)1．[一] 隨機(jī)地取8只活塞環(huán)，測(cè)得它們的直徑為（以mm計(jì)） 求總體均值μ及方差σ2的矩估計(jì)，并求樣本方差S2。解：μ，σ2的矩估計(jì)是 。2．[二]設(shè)X1，X1，…，Xn為準(zhǔn)總體的一個(gè)樣本。求下列各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量。（1） 其中c0為已知，θ1，θ為未知參數(shù)。（2） 其中θ0，θ為未知參數(shù)。（5）為未知參數(shù)。解：（1），得（2）（5）E (X) = mp 令mp = ， 解得3．[三]求上題中各未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值和估計(jì)量。解：（1）似然函數(shù) （解唯一故為極大似然估計(jì)量）（2）。(解唯一)故為極大似然估計(jì)量。（5），解得 ，（解唯一）故為極大似然估計(jì)量。4．[四(2)] 設(shè)X1，X1，…，Xn是來自參數(shù)為λ的泊松分布總體的一個(gè)樣本，試求λ的極大似然估計(jì)量及矩估計(jì)量。解：（1）矩估計(jì) X ~ π (λ )，E (X )= λ，故=為矩估計(jì)量。（2）極大似然估計(jì)，為極大似然估計(jì)量。（其中5．[六] 一地質(zhì)學(xué)家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，隨機(jī)地自該地區(qū)取100個(gè)樣品，每個(gè)樣品有10塊石子，記錄了每個(gè)樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設(shè)這100次觀察相互獨(dú)立，并由過去經(jīng)驗(yàn)知，它們都服從參數(shù)為n=10，P的二項(xiàng)分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計(jì)值，該地質(zhì)學(xué)家所得的數(shù)據(jù)如下樣品中屬石灰石的石子數(shù)012345678910觀察到石灰石的樣品個(gè)數(shù)016723262112310解：λ的極大似然估計(jì)值為==[四(1)] 設(shè)總體X具有分布律X123Pkθ22θ(1－θ)(1－θ) 2其中θ(0θ1)為未知參數(shù)。已知取得了樣本值x1=1，x2=2，x3=1，試求θ的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。解：（1）求θ的矩估計(jì)值 則得到θ的矩估計(jì)值為（2）求θ的最大似然估計(jì)值似然函數(shù) ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)求導(dǎo) 得到唯一解為8．[九(1)] 設(shè)總體X ~N（μ，σ 2），X1，X1，…，Xn是來自X的一個(gè)樣本。試確定常數(shù)c使的無偏估計(jì)。解：由于=當(dāng)。[十] 設(shè)X1，X2， X3， X4是來自均值為θ的指數(shù)分布總體的樣本，其中θ未知，設(shè)有估計(jì)量 （1）指出T1，T2， T3哪幾個(gè)是θ的無偏估計(jì)量；（2）在上述θ的無偏估計(jì)中指出哪一個(gè)較為有效。解：（1）由于Xi服從均值為θ的指數(shù)分布，所以E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。，3176。有即T1，T2是θ的無偏估計(jì)量（2）由方差的性質(zhì)2176。，3176。并注意到X1，X2， X3， X4獨(dú)立，知D (T1) D (T2)所以T2較為有效。14.[十四] 設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間（以小時(shí)計(jì)） 。設(shè)干燥時(shí)間總體服從正態(tài)分布N ~（μ，σ2）。（1）若由以往經(jīng)驗(yàn)知σ=（小時(shí)）（2）若σ為未知。解：（1）（），計(jì)算得（2）（），計(jì)算得，(8)=.16.[十六] 隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗(yàn)，得炮彈口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=11(m/s)。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布。解：其中α=, n=9查表知 19.[十九] 研究?jī)煞N固體燃料火箭推進(jìn)器的燃燒率。設(shè)兩者都服從正態(tài)分布，取樣本容量為n1=n2=，求兩燃燒率總體均值差μ1－。解：μ1－其中α=，=, n1=n2=20, 20.[二十] 設(shè)兩位化驗(yàn)員A，B獨(dú)立地對(duì)某中聚合物含氯兩用同樣的方法各做10次測(cè)定，其測(cè)定值的樣本方差依次為分別為A，B所測(cè)定的測(cè)定值總體的方差，設(shè)總體均為正態(tài)的。設(shè)兩樣本獨(dú)立。解：= (, ).其中n1=n2=10，α=，(9,9)=, 。第八章 假設(shè)檢驗(yàn)1.[一]某批礦砂的5個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測(cè)定為（%） 。設(shè)測(cè)定值總體服從正態(tài)分布，問在α = ：.解：設(shè)測(cè)定值總體X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知步驟：（1）提出假設(shè)檢驗(yàn)H：μ=。 H1：μ≠（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（3）H的拒絕域?yàn)閨 t |≥（4）n=5, α = ，由計(jì)算知(4)=, （5）故在α = ，接受假設(shè)H02．[二] 如果一個(gè)矩形的寬度ω與長度l的比，這樣的矩形稱為黃金矩形。這種尺寸的矩形使人們看上去有良好的感覺?，F(xiàn)代建筑構(gòu)件（如窗架）、工藝品（如圖片鏡框）、甚至司機(jī)的執(zhí)照、商業(yè)的信用卡等常常都是采用黃金矩型。下面列出某工藝品工廠隨機(jī)取的20個(gè)矩形的寬度與長度的比值。設(shè)這一工廠生產(chǎn)的矩形的寬度與長短的比值總體服從正態(tài)分布，其均值為μ，試檢驗(yàn)假設(shè)（取α = ）H0：μ = H1：μ≠ .解：步驟：（1）H0：μ = ； H1：μ≠（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（3）H0的拒絕域?yàn)閨 t |≥（4）n=20 α = ，計(jì)算知，（5）故在α = ，接受H0，3.[三] 要求一種元件使用壽命不得低于1000小時(shí)，今從一批這種元件中隨機(jī)抽取25件，測(cè)得其壽命的平均值為950小時(shí)，已知這種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為σ =100小時(shí)的正態(tài)分布。試在顯著水平α = ？設(shè)總體均值為μ。即需檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ≥1000，H1：μ1000。解：步驟：（1）μ≥1000；H1：μ1000；（σ =100已知）（2）H0的拒絕域?yàn)椋?）n=25，α = ，計(jì)算知（4）故在α = ，拒絕H0，即認(rèn)為這批元件不合格。12.[十一] 一個(gè)小學(xué)校長在報(bào)紙上看到這樣的報(bào)導(dǎo)：“這一城市的初中學(xué)生平均每周看8小時(shí)電視”。她認(rèn)為她所領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)校，學(xué)生看電視的時(shí)間明顯小于該數(shù)字。為此她向100個(gè)學(xué)生作了調(diào)查，得知平均每周看電視的時(shí)間小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=2小時(shí)。問是否可以認(rèn)為這位校長的看法是對(duì)的？取α = 。（注：這是大樣本檢驗(yàn)問題。由中心極限定理和斯魯茨基定理知道不管總體服從什么分布，只要方差存在，當(dāng)n充分大時(shí)近似地服從正態(tài)分布。）解：（1）提出假設(shè)H0：μ≤8；H1：μ8（2）當(dāng)n充分大時(shí)，近似地服從N（0，1）分布（3）H0的拒絕域近似為≥zα（4）n=100，α = ，S=2，由計(jì)算知（5）故在α = ，拒絕H0，即認(rèn)為校長的看法是不對(duì)的。14.[十三] 某種導(dǎo)線，(歐姆)。今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品9根，測(cè)得s=(歐姆)，設(shè)總體為正態(tài)分布。問在水平α = ？解：（1）提出H0：σ ≤；H1：σ （2）H0的拒絕域?yàn)椋?）n=9，α = ，S=，由計(jì)算知查表（4）故在α = ，拒絕H0，認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。15.[十四] 在題2中記總體的標(biāo)準(zhǔn)差為σ。試檢驗(yàn)假設(shè)（取α = ）H0：σ 2 =， H1：σ 2 ≠。解：步驟（1）H0：σ 2 =； H1：σ 2 ≠（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（3）H0的拒絕域?yàn)椋?）n=20，α = ，由計(jì)算知S 2= 2，查表知（5）故在α = ，接受H0，.16.[十五] 測(cè)定某種溶液中的水份，它的10個(gè)測(cè)定值給出s=%，設(shè)測(cè)定值總體為正態(tài)分布，σ 2為總體方差。試在水平α = ：σ ≥%；H1：σ %。解：（1）H0：σ 2 ≥(%)2；H1：σ 2 (%)2（2）H0的拒絕域?yàn)椋?）n=10，α = ，S=%，查表知由計(jì)算知（4）故在α = ，接受H0，%17.[十六] 在第6[五]題中分別記兩個(gè)總體的方差為。試檢驗(yàn)假設(shè)（取α = ）H0：以說在第6[五]題中我們假設(shè)是合理的。解：（1）H0：（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 （3）H0的拒絕域?yàn)椋?）n1=8，n2=10，α = ，(7,9)= (7,9)F (7,9)（5）故在α = ，接受H0，認(rèn)為18.[十七] 在第8題[七]中分別記兩個(gè)總體的方差為。試檢驗(yàn)假設(shè)（取α = ）H0：以說明在第8[七]題中我們假設(shè)是合理的。解：（1）H0：（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 （3）n1=n2=12，α = ，查表知(11,11)= ，由計(jì)算知（4）故在α = ，接受H0，認(rèn)為24.[二十三] 檢查了一本書的100頁，記錄各頁中印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)，其結(jié)果為錯(cuò)誤個(gè)數(shù)fi0123456≥7含fi個(gè)錯(cuò)誤的頁數(shù)36401920210問能否認(rèn)為一頁的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布（取α = ）。解：（1）H0：總體X~π(λ )；H1：X不服從泊松布；（λ未知）（2）當(dāng)H0成立時(shí)，λ的最大似然估計(jì)為（3）H0的拒絕域?yàn)椋?）n=100對(duì)于j3，將其合并得合并后，K=4，Y=1查表知由計(jì)算知（5）故在α = ，接受H0，認(rèn)為一頁的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布。72