【正文】 、寬、高求體積和表面積就容易了。練習(xí)5：，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少？、寬、高是三個連續(xù)偶數(shù)，體積是96立方厘米，求它的表面積。，已知長方體長、寬、高分別是6分米、4分米、25分米，求正方體體積。第14講 長方體和正方體（二）一、知識要點在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點：（不計損耗），體積不變；，新物體的體積是原來物體體積的和；，排開的水的體積等于物體的體積。二、精講精練【例題1】 有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲水箱中的體積：403220=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：4032＋3024=2000（平方厘米），就能得到后來水面的高度。練習(xí)1：，甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長6分米、寬和高都是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個水池中水面同樣高。問水面高多少？，從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進一個棱長20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？。，求這根據(jù)鋼筋的長。【例題2】 將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔成一個大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積?！舅悸穼?dǎo)航】因為正方體的六個面都相等，而54=69=6（33），所以這個正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6（44），棱長是4厘米；150=6（55），棱長是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積，這個大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)2：，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體，求這個大正方體的體積。，已知這個長方體的長是13厘米，寬7厘米，求它的高。，這個大正方體的表面積是多少平方分米？【例題3】 有一個長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是222=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個體積除以底面積（54）就能得到水上升的高度了。練習(xí)3：，長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后。這塊假山石的體積是多少立方分米？，邊長是24厘米，里面注滿了水。有一根長50厘米，橫截面是12平方厘米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方厘米的水？，浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵后。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米？【例題4】 有一個長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積：30206=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來以后，水流動了，但體積沒有變，這時水的形狀是一個底面積是2010=200平方厘米的長方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)4：，甲缸長3分米，寬和高都是2分米；乙缸長4分米、寬2分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸，水在甲缸里深幾分米？，現(xiàn)把它煅造成一根長方體，這長方體的截面是一個長4厘米、寬2厘米的長方形，求它的長。，如果讓長30厘米、寬10厘米的面朝下，這時的水深又是多少厘米？【例題5】 長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米？【思路導(dǎo)航】長方體不同的三個面的面積分別是長寬、長高、寬高得來的。因此，15106=（長寬高）（長寬高），而15106=900=3030。所以，這個長方體的體積是30立方厘米。練習(xí)5：，不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？，不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少立方厘米？，并且長、寬、高是三個連續(xù)的偶數(shù)。這個長方體的表面積是多少平方厘米？第15講 長方體和正方體(三)一、知識要點解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。二、精講精練【例題1】 一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？【思路導(dǎo)航】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個66=36平方厘米的面，鋸6次共增加3626=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。練習(xí)1：，這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？，如果把它鋸成體積相等的8個小正方體，表面積增加多少平方米？，然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體，沒有涂顏色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？【例題2】 有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24247。2=12平方厘米，而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是126=72平方厘米。練習(xí)2：，這個長方體的表面積是多少平方厘米？，長4分米、寬3分米、高6分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體，表面積最多增加多少平方分米？，它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成一個大的長方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？【例題3】 有一個正方體，棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過程中，每切一切，就會增加兩個33平方分米的面，你能用這種思路來計算所求問題嗎？練習(xí)3：，至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是6厘米的正方體，需要多少個小正方體？，長10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長是1厘米的小正方體，一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？，這個長方體的表面積至少是多少平方厘米？【例題4】 一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中：（1）三個面涂有紅色的有幾個？（2）二個面涂有紅色的有幾個？（3）一個面涂有紅色的有幾個？（4）六個面都沒有涂色的有幾個？【思路導(dǎo)航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有333=27個。（1）三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；（2）二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有112=12個；（3）一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有16=6個；（4）六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27－（8＋12＋6）=1個。練習(xí)4：，然后切成1立方厘米的小正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個，那么，這些小正方體一共有多少個？，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個面都沒有涂色的有多少個？【例題5】 一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相等的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】這個長方體原來的表面積是（65＋64＋54）2=148平方厘米，每切割一刀，增加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切2刀，一共增加22=4個面。要求表面積和最大，應(yīng)該增加4個65=30平方厘米的面。所以，三個小長方體表面積和最大是148＋654=268平方厘米。練習(xí)5：，每塊長8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個大的長方體，這個長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？，已知每個小正方體的表面積是72平方厘米，拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？、寬、高分別為7厘米、6厘米、5厘米的長方體，截成兩個長方體，使這兩個長方體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？第16講 倍數(shù)問題（一）一、知識要點倍數(shù)問題是數(shù)學(xué)競賽中的重要內(nèi)容之一，它是指已知幾個數(shù)的和或差以及這幾個數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這幾個數(shù)的應(yīng)用題。解答倍數(shù)問題，必須先確定一個數(shù)（通常選用較小的數(shù)）作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，即1倍數(shù)，再根據(jù)其它幾個數(shù)與這個1倍數(shù)的關(guān)系，確定“和”或“差”相當(dāng)于這樣的幾倍，最后用除法求出1倍數(shù)。二、精講精練【例題1】 兩根同樣長的鐵絲，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的鐵絲第一根是第二根的3倍。原來兩根鐵絲各長多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的鐵絲第一根就比第二根多（3－1）倍。因此，8247。（3－1）=4（厘米）。就是現(xiàn)在第二根鐵絲的長度，它原來長4＋26=30厘米。練習(xí)1：，如果把這個0去掉，就得到另一個加數(shù)。這兩個加數(shù)各是多少？，，剩下部分第二根是第一根的3倍。兩根繩子原來各長多少米？，賣掉40個蘋果和15個梨后，剩下的梨是蘋果的6倍。原來兩筐水果一共有多少個？【例題2】 甲組有圖書是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書是乙組的5倍。原來甲組有圖書多少本？【思路導(dǎo)航】甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組拿出6本，甲組相應(yīng)的也拿出63=18本，則甲組仍是乙組的3倍。事實上甲組不但沒有拿出18本，反而接受了乙組的6本，18＋6就正好對應(yīng)著后來乙組的（5－3）倍。因此，后來乙組有圖書（18＋6）247。（5－3）=12本，乙組原來有12＋6=18本，甲組原來有183=54本。練習(xí)2：，后來二人各買了3張，這樣小明的畫片就是小紅的2倍。原來二人各有多少張畫片？、下兩層，上層的書的本數(shù)是下層的4倍。從下層拿5本放入上層后，上層的本數(shù)正好是下層的5倍。原來下層有多少本書？，吃掉10個梨和6個蘋果后，剩下的蘋果個數(shù)正好是梨的5倍。原來買來蘋果和梨共多少個？【例題3】 幼兒園買來蘋果的個數(shù)是梨的2倍。大班的同學(xué)每7人一組，每組領(lǐng)3個梨和4個蘋果，結(jié)果梨正好分完，蘋果還剩下16個。大班共有多少個同學(xué)？【思路導(dǎo)航】因為蘋果是梨的2倍，每組分3個梨和32=6個蘋果最后就一起分完?？擅拷M分4個蘋果，少分6－4=2個，所以有8組同學(xué)，全班有78=56人。練習(xí)3：，共有杉樹苗和楊樹苗100棵。如果每個小組分給杉樹苗6棵，楊樹苗8棵，那么，杉樹苗正好分完，楊樹苗還剩2棵。兩種樹苗原來各有多少棵？，已知楊樹的棵數(shù)正好是杉樹的2倍。如果每小組分到杉樹6棵，楊樹8棵，那么，杉樹正好分完，楊樹還剩20棵。兩種樹原來各的多少棵？“敬老院”的老人，帶的蘋果是桔子的3倍。如果每位老人拿2個桔子和4個蘋果，那么，桔子正好分完，蘋果還剩下14個。同學(xué)們把水果分給了幾位老人？【例題4】 有兩筐桔子，如果從甲筐拿出8個放進乙筐，兩筐的桔子就同樣多；如果從乙筐拿出13個放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙兩筐原來各有多少個桔子？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“從甲筐拿出8個放進乙筐，兩筐的橘子就同樣多”可知，原來甲筐比乙筐多82=16個橘子；如果從乙筐拿出13個放到甲筐，這時，甲筐就比乙筐多16＋132=42個。因此，乙筐里還有42247。（2－1）=42個，原來乙筐里有42＋13=55個，甲筐里原來有55＋16=71個。練習(xí)4：、乙兩倉存有貨物，若從甲倉取31噸放入乙倉，則兩倉所存貨物同樣多；若乙倉取14噸放入甲倉，則甲倉的貨物是乙倉的4倍。原來兩倉各存貨物多少噸？，后來哥哥買了5本書，；弟弟買了3支筆，現(xiàn)在弟弟的錢是哥哥的3倍。兄弟兩人原來各有多少元？，如果參加的女生名額給5個男生，則男、女生人數(shù)同樣多；如果參加的男生名額給4個女生，則男生是女生人數(shù)的一半。原定夏令營中男、女生各多少人？【例題5】 甲糧庫的存糧是乙糧庫的2倍，甲糧庫每天運出糧食40噸，乙糧庫每天運出30噸。若干天后，乙糧庫的糧全部運完，而甲糧庫還有80噸。甲、乙糧庫原來各有糧食多少噸？【思路導(dǎo)航】因為甲糧庫的存糧是乙糧庫的2倍，如果每天乙糧庫運30噸，甲糧庫運出302=60噸，兩糧庫的糧食就會同時運完。而實際上甲糧庫每天只運出40噸，所以，每天就少運60－40=20噸。80噸里包含有4個20噸，也就是已經(jīng)運了4天，因此，甲糧庫原有糧食404＋80=240噸，乙糧庫原有240247。2=120噸。練習(xí)5：，某農(nóng)民給這些果樹噴灑農(nóng)藥，已知他每天噴灑24棵桃樹和10棵梨樹，幾天后，梨樹全部噴灑完，而桃樹還剩下24棵。果園里有桃樹和梨樹各多少棵？，每個老人分各3個蘋果和5個桔子，最后蘋果分完，籃子里還剩下7個桔子。如果原來桔子的個數(shù)是蘋果的2倍，那么，分給了幾個老人？原來有多少個蘋果？、乙二人共存錢550元，當(dāng)甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元錢時，兩人余下的錢正好相等。求甲、乙原來各存有多少錢？第17講 倍數(shù)問題（二）一、知識要點解決倍數(shù)問題的關(guān)鍵是，必須確定一個數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，并根據(jù)題中的已知條件，找出其它幾個數(shù)與這個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再用除法求出這個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。由于倍數(shù)應(yīng)用題中