初中數(shù)學(xué)代數(shù)、幾何解題技巧-資料下載頁(yè)
2025-08-05 03:11本頁(yè)面
【正文】 的和或差來(lái)求解。解：當(dāng)AB位于OO2異側(cè)時(shí)，如圖2。連結(jié)OO2，交AB于C，則。分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可求得故當(dāng)AB位于OO2同側(cè)時(shí)，如圖3圖3則綜上可知或3. 兩圓相切，作過(guò)切點(diǎn)的公切線利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系例3. 如圖4，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P，A是⊙O1上的一點(diǎn)，直線AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直線AP交⊙O2于D。求證PC平分。圖4分析：要證PC平分，即證而的邊分布在兩個(gè)圓中，難以直接證明。若過(guò)P作兩圓的公切線PT，與AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一個(gè)外角所以又從而有即PC平分4. 兩圓相切，作連心線利用連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的性質(zhì)，解決有關(guān)計(jì)算問(wèn)題。例4. 如圖5，⊙O1與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O1經(jīng)過(guò)圓心O2，作⊙O2的直徑BC，交⊙O1于點(diǎn)D，EF為過(guò)點(diǎn)A的公切線，若，求的度數(shù)。圖5分析：是弦切角，要求其度數(shù)，需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O1OO1A，則O1O2必過(guò)點(diǎn)A，且O2A為⊙O1的直徑，易知。連結(jié)DA，則于是又為銳角所以從而有5. 過(guò)小圓圓心作大圓半徑的垂線有關(guān)公切線問(wèn)題常過(guò)小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。例5. 如圖6，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線PCD和PBA切⊙O⊙O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角為，求兩圓的半徑。圖6分析：如圖6，連結(jié)O1OO1A、O2B，過(guò)點(diǎn)O2作，構(gòu)造，下面很容易求出結(jié)果。請(qǐng)同學(xué)們自己給出解答。（答案：兩圓的半徑分別為3和1）幾何證明的幾種特殊方法一、分解法即把一個(gè)圖形分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形或分成具有某種特殊關(guān)系的圖形，然后借助于分解后的圖形的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出所要證明的問(wèn)題的一種方法。例1. 如圖1，ABCD是任意四邊形，E、F將AB分成三等分，G、H將CD分成三等分。求證：四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的三分之一。分析：四邊形問(wèn)題我們常分割成三角形問(wèn)題來(lái)解決。于是考慮連結(jié)AC、AH、HF、FC，由題意和“等底等高的三角形面積相等”知：所以所以又所以故二、特殊化法即先考察命題的某些特殊情形，從特例中探索一般規(guī)律，或從特例中得到啟發(fā)，從而解決一般問(wèn)題的一種方法。例2. 如圖2，設(shè)P為∠AOB的平分線上一定點(diǎn)，以O(shè)P為弦作一圓，分別交OA、OB于C、D。求證：OC與OD的和為定值。分析：學(xué)生往往找不到定值是什么，若將“弦OP”特殊化為“直徑OP”，則△OPC和△OPD是全等直角三角形，因而，OC＝OD＝，于是判斷OC與OD的和為定值。故過(guò)P作PE⊥OA，PF⊥OB，連PC、PD，可證△PCE≌△PDF，所以CE＝DF，OE＝OF。所以即OC＋OD為定值。三、擴(kuò)充法即把圖形擴(kuò)充為另一個(gè)圖形，借助于擴(kuò)充后圖形的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出所要證明的問(wèn)題的一種方法。例3. 如圖3，已知AD為△ABC的邊BC上的中線，O為AD一點(diǎn)，BO、CO與AC、AB分別交于E、F。求證：EF∥BC分析：要證兩線平行，考慮到平行線的判定，而這里只有BD＝DC，故考慮延長(zhǎng)OD至G，使DG＝OD，擴(kuò)充得到平行四邊形BGCO，則，OF∥BG，所以，故EF∥BC。四、類比轉(zhuǎn)換法即將所要論證的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換并與其類似的問(wèn)題對(duì)比，從而得到啟發(fā)，使問(wèn)題得以解決的一種方法。例4. 如圖4，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝108176。，AH⊥BC于H，∠DAC＝。求證：分析：這類問(wèn)題常轉(zhuǎn)換為：，而在直角三角形ADH和AEH中，和分別為∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由題意可計(jì)算知∠DAH＝∠AEH＝18176。，聯(lián)想到，該問(wèn)題得證。五、面積法即利用面積定理，結(jié)合圖形中的面積關(guān)系，找到與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題得到解決的一種方法。例5. 如圖5，平行四邊形ABCD中，E在AD上，F(xiàn)在AB上，且DF＝BE，DF與BE交于G。求證：CG平分∠BGD。分析：證明角平分線有兩種常用方法：這條射線分得的兩個(gè)角相等或這條射線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。連CE、CF，作高CH、CP，此題圖中有，而DF＝BE，故高CP＝CH，于是CG平分∠BGD。六、代數(shù)法即根據(jù)圖形的有關(guān)性質(zhì)布列方程、不等式或函數(shù)式等，再利用相關(guān)代數(shù)知識(shí)來(lái)解題的一種方法。例6. 如圖6，在凸四邊形ABCD中，AB＝2，P是AB邊的中點(diǎn)，如果∠DAB＝∠ABC＝∠PDC＝90176。，求證：四邊形ABCD的面積的最小可能值是4。分析：顯然，四邊形ABCD的面積的大小與AD、BC的大小有關(guān)。故令A(yù)D＝x，BC＝a，四邊形ABCD的面積＝y(tǒng)，DF⊥CB于F，由題意：AP＝PB＝1，BF＝AD＝x，DF＝AB＝2。所以所以因x、y均為正實(shí)數(shù)，故由一元二次方程的根的判別式得
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