【正文】 角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做多邊形的外角。 注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點(diǎn)的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角。 n邊形的對(duì)角線共有條。 說明：利用上述公式，可以由一個(gè)多邊形的邊數(shù)計(jì)算出它的對(duì)角線的條數(shù)，也可以由一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)求出它的邊數(shù)。 多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于（n－2）180176。 1多邊形內(nèi)角和定理的推論：n邊形的外角和等于360176。 說明：多邊形的外角和是一個(gè)常數(shù)（與邊數(shù)無關(guān)），利用它解決有關(guān)計(jì)算題比利用多邊形內(nèi)角和公式及對(duì)角線求法公式簡(jiǎn)單。無論用哪個(gè)公式解決有關(guān)計(jì)算，都要與解方程聯(lián)系起來，掌握計(jì)算方法。 二、平行四邊形 平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對(duì)角相等。 平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對(duì)邊相等。 平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。 平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。 平行四邊形判定定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 平行四邊形判定定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 平行四邊形判定定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 平行四邊形判定定理4：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。 說明：（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行四邊形的基礎(chǔ)。同時(shí)又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。 （2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定方法。 三、矩形 矩形是特殊的平行四邊形，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)?0176。時(shí)，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充的。 矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長(zhǎng)方形） 矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角。 3．矩形性質(zhì)定理2：矩形的對(duì)角線相等。 矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。 說明：因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和等于360度，已知有三個(gè)角都是直角，那么第四個(gè)角必定是直角。 矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 說明：要判定四邊形是矩形的方法是： 法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個(gè)直角（這是用定義證明） 法二：先證明出是平行四邊形，再證出對(duì)角線相等（這是判定定理1） 法三：只需證出三個(gè)角都是直角。（這是判定定理2） 四、菱形 菱形也是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的兩個(gè)鄰邊發(fā)生變化時(shí)，即當(dāng)兩個(gè)鄰邊相等時(shí)，平行四邊形變成了菱形。 菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊相等。 菱形的性質(zhì)2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。 菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 說明：要判定四邊形是菱形的方法是： 法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。 法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對(duì)角線互相垂直。（這是判定定理2） 法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1） （五）正方形 正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，又能使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。 正方形：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。 正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。 正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 正方形判定定理互：兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形判定定理2：兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形。 注意：要判定四邊形是正方形的方法有 方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個(gè)角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明） 方法二：第一步證出對(duì)角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1） 方法三：第一步證出對(duì)角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2） 六、梯形 梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。 梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的邊叫做下底） 梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。 梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 等腰梯形性質(zhì)定理1：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等。 等腰梯形性質(zhì)定理2：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 等腰梯形的判定定理l。：在同一個(gè)底上鉤兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。 等腰梯形的判定定理2：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。 研究等腰梯形常用的方法有：化為一個(gè)等腰三角形和一個(gè)平行四邊形；或兩個(gè)全等的直角三角形和一矩形；或作對(duì)角線的平行線交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)；或延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)。 七、中位線 三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。 梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形中位線。 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。八、多邊形的面積說明：多邊形的面積常用的求法有：（1）將任意一個(gè)平面圖形劃分為若干部分再通過求部分的面積的和，求出原來圖形的面積這種方法叫做分割法。如圖3－l，作六邊形的最長(zhǎng)的一條對(duì)角線，從其它各頂點(diǎn)向這條對(duì)角線引垂線，把六邊形分成四個(gè)直角三角形和兩個(gè)直角梯形，計(jì)算它們的面積再相加。 （2）將一個(gè)平面圖形的某一部分割下來移放在另一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，從而改變?cè)瓉韴D形的形狀。利用計(jì)算變形后的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。叫做割補(bǔ)法?！? （3）將一個(gè)平面圖形通過拼補(bǔ)某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，利用新的圖形減去所補(bǔ)充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。 注意：兩個(gè)圖形全等，它們的面積相等。等底等高的三角面積相等。一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和。例題： 例如圖412，求∠B+∠C+∠D的度數(shù)和?！　? 例一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于45176。，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少度。 分析：用多邊形外角和公式就可以求解。例已知：如圖431，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60176。，BE=2cm，DF=3cm。求□ABCD內(nèi)角的度數(shù)與邊長(zhǎng)?！　? 例如圖454，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，EF過O分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，且AE⊥BC，求證：四邊形AECF是矩形。　　例如圖483，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別為CD、AB的中點(diǎn)，且MN⊥AB。求證：梯形ABCD是等腰梯形?！　　　　D483 例已知：如圖492，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求證：AE=EB?！　〉谒恼拢合嗨菩沃R(shí)點(diǎn)：一、比例線段比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或） 比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 說明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。 比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 比例外項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。 比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。 第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。 比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。 比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。 比例的基本性質(zhì)：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d 比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。 1合比性質(zhì)：如果，那么 12．等比性質(zhì)：如果，（），那么 說明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。 1黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長(zhǎng)的線段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。 說明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。 二、平行線分線段成比例 平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。 格式：如果直線L1∥L2∥L3， AB＝ BC， 那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l說明：由此定理可知推論1和推論2 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰。 格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC 推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。 格式，如果△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—3平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 說明1：平行線分線段成比例定理可用形象的語言來表達(dá)。如圖4—4 說明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線段的位置關(guān)系依然存在。 三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。 三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。 線段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線段上的一個(gè)點(diǎn)，將線段分成兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。 線段的外分點(diǎn)：在一條線段的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做這條線段的外分點(diǎn)。 說明：外分點(diǎn)分線段所得的兩條線段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線段。三、相似三角形 相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。 說明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。 相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。 相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 說明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。 三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似?？珊?jiǎn)單說成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 （3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 說明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來判定兩個(gè)三角形的相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形．相似。 相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 （2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 說明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 說明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。 6