20xx年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(word版-含答案)-資料下載頁(yè)
2025-08-04 23:32本頁(yè)面
【正文】 （1）同理可得 ，………………（2）……………………5分由（1）（2）可知，為方程的兩根，又，即有，即 因?yàn)樗詾檎麛?shù).……………………………………………………10分（Ⅱ）不存在，使得.…………………………………………………15分假設(shè)存在，使得，則.一方面，所以,即，所以.由費(fèi)馬小定理知，所以…………………………20分另一方面，.事實(shí)上，假設(shè)，則，即，所以，而，. 所以，由費(fèi)馬小定理得.，使得.………………25分附加2 設(shè)k為正整數(shù)，稱(chēng)數(shù)字的排列為“N型”的，如果這些數(shù)滿(mǎn)足（1）； （2）；（3）．記為所有“N型”排列的個(gè)數(shù)．(I)求，的值； (II)證明：對(duì)任意正整數(shù)k，均為奇數(shù)．參考答案：首先注意到的值只能取這些數(shù)字，因?yàn)楸仨氂?k個(gè)值比它小，而的值只能取這些數(shù)字，因?yàn)楸仨氂?k個(gè)值比它大。 記（）時(shí)的N型排列個(gè)數(shù)為，則，.化簡(jiǎn)得.………………………………………………………10分(1) 計(jì)算可得 ………………………………………………………………15分(2) 易知 ， （），.當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有，是偶數(shù)。事實(shí)上對(duì)于，（）時(shí)的任何一個(gè)N型排列，此時(shí)數(shù)字只能放在的位置，數(shù)字只能放在上（字母N的兩頭），和的數(shù)字可以互換得到一個(gè)新的N型排列，于是是偶數(shù)（）.……25分（也可以從表達(dá)式說(shuō)明是偶數(shù)（），它的組合意義就是將m個(gè)白球，n個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球排成一行的排列數(shù)。于是任何一種排列，交換紅藍(lán)球可對(duì)應(yīng)另一種排列。于是 為奇數(shù)！………………………25分）
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