【正文】 ???1n＝ f ( 1 ) ＋ ( n － 1 ) ， ∴ f ( 2022 ) ＋ f ( 2 0 1 1 ) ＋ ? ＋ f ( 2 ) ＋ f ( 1 ) ＋ f????????12＋ ? ＋ f????????12022＝ f ( 1 ) ＋ ( 2022 － 1 ) ＝12＋ 2022 ＝ 2 0 1 1 . 5 . 此類問題一般是通過觀察計(jì)算結(jié)果變化規(guī)律 ， 猜想一般性的結(jié)論 ， 再利用分式的性質(zhì)及運(yùn)算予以證明 ． 第 4講 ┃ 歸類示例 第 4講 ┃ 回歸教材 分式化簡有高招 回歸教材 教材母題 人教版八下 P23T6 計(jì)算 第 4講 ┃ 回歸教材 第 4講 ┃ 回歸教材 [點(diǎn)析 ] 在進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算法則與運(yùn)算順序．此類問題是中考的熱點(diǎn)考題． [2022南京 ] 計(jì)算： 第 4講 ┃ 回歸教材 中考變式 第 5講 ┃ 數(shù)的開方及二次根式 第 5講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 1平方根、算術(shù)平方根與立方根 數(shù)的開方 平方根 一個(gè)數(shù) x的 ______等于 a，那么 x叫做 a的平方根，記作 177。 √2 算術(shù)平方根 一個(gè)正數(shù) x的 ________等于 a，則 x叫做 a 的算術(shù)平方根，記作 √ 2， 0的算術(shù)平方根是 0 立方根 一個(gè)數(shù) x的 ________等于 a，那么 x 叫做 a的立方根 立方 平方 平方 第 5講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 二次根式的有關(guān)概念 二次根式 定義 形如 √ a(________)的式子叫做二次根式 防錯提醒 √ a中的 a可以是數(shù)或式，但 a一定要大于或等于 0 最簡二次根式 同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡二次根式： (1)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式； (2)被開方數(shù)不含分母 a≥0 考點(diǎn) 3 二次根式的性質(zhì) 第 5講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 二次根式的性質(zhì) 兩個(gè)重要的性質(zhì) ( )2 =a(a________) 積的算術(shù)平方根 √ ab＝ √ a178。 √ b (a________， b________) 商的算術(shù)平方根 (a________， b________） a a 2 ＝ | |a ＝ ??? （ a ≥ 0 ） （ a 0 ） ba ＝ba ≥0 a － a －≥0 ≥0 ≥0 0 考點(diǎn) 4 二次根式的運(yùn)算 第 5講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 ≥0 ≥0 ≥0 0 二次根式的加減 先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并 二次根式的乘法 a 178。 b ＝ ab ( a _ _ _ _ _ _ _ _ ，b _ _ _ _ _ _ _ _ ) 二次根式的除法 ba＝ba( a _ _ _ _ _ _ _ _ ， b _ _ _ _ _ _ _ _ ) 考點(diǎn) 5 把分母中的根號化去 第 5講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 常用形式及方法 ( 1 ) 1a＝1 178。 aa 178。 a＝ aa ； ( 2 ) 1a ＋ b＝a ＋ ba ＋ b 第 5講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 求平方根、算術(shù)平方根與立方根 命題角度： 1. 平方根、算術(shù)平方根與立方根的概念； 2. 求一個(gè)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根與立方根 ． 例 1 (1) [2022178。 雅安 ] 9的平方根是 ( ) A． 3 B．－ 3 C． 177。 3 D． 6 (2)[2022178。 日照 ] (－ 2)2的算術(shù)平方根是 ( ) A． 2 B. 177。 2 C．－ 2 D.√2 C A [解析 ] 9的平方根是 177。 3， (－ 2)2的算術(shù)平方根是 2. 第 5講 ┃ 歸類示例 (1)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)； (2)平方根等于本身的數(shù)是 0，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是 1和 0，立方根等于本身的數(shù)是 － 1和0； (3)一個(gè)數(shù)的立方根與它同號； (4)對一個(gè)式子進(jìn)行開方運(yùn)算時(shí)，要先將式子化簡再進(jìn)行開方運(yùn)算． ? 類型之二 二次根式的有關(guān)概念 命題角度： 1．二次根式的概念； 2．最簡二次根式的概念． 第 5講 ┃ 歸類示例 例 2 [2022德陽 ]使代數(shù)式 有意義的 x的取值范圍是 ( ) A． x≥ 0 B． x≠ C． x≥0且 x≠ D．一切實(shí)數(shù) C x2 x － 1 12 12 第 5講 ┃ 歸類示例 此類有意義的條件問題主要是根據(jù)： ① 二次根式的被開方數(shù)大于或等于零； ② 分式的分母不為零等列不等式組 ， 轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集 ． ? 類型之三 二次根式的化簡與計(jì)算 第 5講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 二次根式的性質(zhì)：兩個(gè)重要公式，積的算術(shù)平方根，商的算術(shù)平方根； 2. 二次根式的加減乘除運(yùn)算． 例 3 計(jì)算 解： 原式＝ 12179。 ( 3 － 1) 2 ＋12 － 1＋ 3 －??????22－ 1 4 － 2 32＋ 2 ＋ 1 ＋ 3 － 2 ＝ 2 － 3 ＋ 2 ＋ 1 ＋ 3 － 2 ＝ 3. 利用二次根式的性質(zhì) ， 先把每個(gè)二次根式化簡 ， 然后進(jìn)行運(yùn)算；在中考中二次根式常與零指數(shù) 、 負(fù)指數(shù)結(jié)合在一起考查 ． 第 5講 ┃ 歸類示例 第 5講 ┃ 歸類示例 例 4 [2022178。 巴中 ] 先化簡，再求值： ， 其中 x＝ . ??? ???1x － 1x ＋ 1 178。 x x2 ＋ 2 x ＋ 1( )x ＋ 1 2 － ( )x － 1 2 12 解： 原式＝1x??????x ＋ 1178。x??????x ＋ 14x＝??????x ＋ 14x??????x ＋ 1. ① 當(dāng) x ＋ 1 ＞ 0 時(shí)，原式＝14x； ② 當(dāng) x ＋ 1 ＜ 0 時(shí)，原式＝－14x. ∵ 當(dāng) x ＝12時(shí)， x ＋ 1 ＞ 0 ， ∴ 原式＝12. 此類分式與二次根式綜合計(jì)算與化簡問題 ， 一般先化簡再代入求值；最后的結(jié)果要化為分母沒有根號的數(shù)或者是最簡二次根式 ． 第 5講 ┃ 歸類示例 ? 類型之四 二次根式的大小比較 命題角度： 1. 二次根式的大小比較方法； 2. 利用計(jì)算器進(jìn)行二次根式的大小比較． 第 5講 ┃ 歸類示例 例 5 [2022臺灣 ] 已知甲、乙、丙三數(shù)，甲＝ 5＋ √15，乙＝ 3＋ √17，丙＝ 1＋ √19，則甲、乙、丙的大小關(guān)系，下列何者正確 ( ) A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙 A 第 5講 ┃ 歸類示例 [解析 ] 本題可先估算無理數(shù) √ 15， √ 17， √ 19的整數(shù)部分的最大值和最小值，再求出甲、乙、丙的取值范圍，進(jìn)而可以比較其大小． ∵ 3＝ √ 9√15√16 ＝ 4， ∴ 8＜ 5＋ √ 15＜ 9， ∴ 8＜甲＜ 9. ∵4 ＝ √ 16＜ √ 17＜ √ 25＝ 5， ∴ 7＜ 3＋ √ 17 ＜ 8， ∴ 7＜乙＜ 8. ∵4 ＝ √ 16＜ √ 19＜ √ 25＝ 5， ∴ 5＜ 1＋ √ 19＜ 6， ∴ 丙＜乙＜甲． 故選 A項(xiàng)． 比較兩個(gè)二次根式大小時(shí)要注意： (1)負(fù)號不能移到根號內(nèi)； (2)根號外的正因數(shù)要平方后才能從根號外移到根號內(nèi) ． 第 5講 ┃ 歸類示例 ? 類型之五 二次根式的非負(fù)性 命題角度： 1. 二次根式 √ a的非負(fù)性的意義； 2. 利用二次根式 √ a的非負(fù)性進(jìn)行化簡． 第 5講 ┃ 歸類示例 例 6 [2022攀枝花 ] 已知實(shí)數(shù) x， y滿 ，則以 x， y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是 ( ) A. 20或 16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不對 B ?? ??x － 4 ＋ y － 8 ＝ 0 第 5講 ┃ 歸類示例 (1)常見的非負(fù)數(shù)有三種形式： |a|， √ a ， a2. (2)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個(gè)數(shù)都為零． 第 5講 ┃ 歸類示例 第 5講 ┃ 回歸教材 二次根式化簡中的整體思想 回歸教材 教材母題 人教版九上 P18T6 第 5講 ┃ 回歸教材 [點(diǎn)析 ] 在進(jìn)行二次根式化簡求值時(shí)，常常用到整體思想．把x＋ y、 x－ y、 xy當(dāng)作整體進(jìn)行代入． [2022蘇州 ] 先化簡 ， 再求值： 第 5講 ┃ 回歸教材 中考變式