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國(guó)家級(jí)示范高中、江蘇省四星級(jí)高中泗陽(yáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)周練四(含答案)-資料下載頁(yè)

2025-08-04 15:21本頁(yè)面
  

【正文】 ∵P(4,4), ∴線段PD的中點(diǎn)為M(2,3)又∵橢圓右焦點(diǎn)又,∴線段PD的垂直平分線的斜率為 2………14分∵,∴線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)即在橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)Q,使△PDQ是以PD為底的等腰三角形. ………16分(或與過(guò)點(diǎn)M的橢圓右側(cè)切線斜率比較說(shuō)明)給定橢圓C:,稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;(2)若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且軸,求的取值范圍;(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線,使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷是否垂直?并說(shuō)明理由.解:(1)由題意知,且,可得,故橢圓C的方程為,其“準(zhǔn)圓”方程為. (2)由題意,可設(shè),則有,又A點(diǎn)坐標(biāo)為,故,故, 又,故, 所以的取值范圍是. (3)設(shè),則.當(dāng)時(shí),則其中之一斜率不存在,另一斜率為0,顯然有.當(dāng)時(shí),設(shè)過(guò)且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率為,則的方程為,代入橢圓方程可得,即,由, 可得,其中, 設(shè)的斜率分別為,則是上述方程的兩個(gè)根,故,即.綜上可知,對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn),都有.7
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