國家級示范高中、江蘇省四星級高中泗陽中學高二數(shù)學周練四(含答案)-資料下載頁
2025-08-04 15:21本頁面
【正文】 ∵P(4,4), ∴線段PD的中點為M(2,3)又∵橢圓右焦點又,∴線段PD的垂直平分線的斜率為 2………14分∵,∴線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個交點即在橢圓上存在兩個點Q,使△PDQ是以PD為底的等腰三角形. ………16分(或與過點M的橢圓右側(cè)切線斜率比較說明)給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；（2）若點是橢圓C的“準圓”與軸正半軸的交點，是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍；（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點，過點作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．解：（1）由題意知，且，可得，故橢圓C的方程為，其“準圓”方程為． （2）由題意，可設，則有，又A點坐標為，故，故, 又，故， 所以的取值范圍是． （3）設，則．當時，則其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有．當時，設過且與橢圓有一個公共點的直線的斜率為，則的方程為，代入橢圓方程可得，即，由， 可得，其中， 設的斜率分別為，則是上述方程的兩個根，故，即．綜上可知，對于橢圓上的任意點，都有．7
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