國(guó)家級(jí)示范高中、江蘇省四星級(jí)高中泗陽(yáng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)周練四(含答案)-資料下載頁(yè)
2025-08-04 15:21本頁(yè)面
【正文】 ∵P(4,4), ∴線段PD的中點(diǎn)為M(2,3)又∵橢圓右焦點(diǎn)又,∴線段PD的垂直平分線的斜率為 2………14分∵,∴線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)即在橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)Q,使△PDQ是以PD為底的等腰三角形. ………16分(或與過(guò)點(diǎn)M的橢圓右側(cè)切線斜率比較說(shuō)明)給定橢圓C：，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；（2）若點(diǎn)是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)，是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍；（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說(shuō)明理由．解：（1）由題意知，且，可得，故橢圓C的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為． （2）由題意，可設(shè)，則有，又A點(diǎn)坐標(biāo)為，故，故, 又，故， 所以的取值范圍是． （3）設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，則其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有．當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率為，則的方程為，代入橢圓方程可得，即，由， 可得，其中， 設(shè)的斜率分別為，則是上述方程的兩個(gè)根，故，即．綜上可知，對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)，都有．7
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