專題12-三大變換之旋轉(zhuǎn)-教師版--資料下載頁
2025-08-04 13:03本頁面
【正文】 四川南充8分）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與⊿POQ的兩直角邊分別交于點A、B，(1)求證：MA=MB(2)連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：連接OM 。 ∵ Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，∴PQ=4，OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=450 。 ∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB。∴△PMA≌△OMB（ASA）?！?MA=MB。(2) △AOB的周長存在最小值。理由如下:∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB。 ∴OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，則y2=x2+(4x)2=2x28x+16=2(x2)2+8≥8?！喈攛=2時y2有最小值8，從而 y的最小值為2?！唷鰽OB的周長存在最小值，其最小值是4+2。18. （2012遼寧本溪14分）如圖，已知拋物線y=ax178。+bx+3經(jīng)過點B（－1，0）、C（3，0），交y軸于點A，將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90176。，點B的對應(yīng)點為點M，過點A的直線與x軸交于點D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90176。，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設(shè)運動時間為t秒。（1）求此拋物線的解析式；（2）當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；（3）作點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點A′，直線HG與對稱軸交于點K，當t為何值時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形。請直接寫出符合條件的t值。 【答案】解：（1）∵拋物線y=ax178。+bx+3經(jīng)過點B（－1,0）、C（3,0）,∴，解得?！鄴佄锞€的解析式為y=－x178。+2x+3。（2）當直角梯形EFGH運動到E′F′G′H′時，過點F′作F′N⊥x軸于點N，延長E′ H’交x軸于點P。∵點M是點B繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90176。得到的，∴點M的坐標為（0，1）。∵點A是拋物線與y軸的交點，∴點A的坐標為（3，0）?！逴A=3，OD=4，∴AD=5。∵E′ H′∥OM，E′ H′=OM=1，∴四邊形E′H′ OM是平行四邊形（當E′ H′不與y軸重合時）?！逨′N∥y軸，N G′∥x軸，∴△F′N D∽△AOD?！??！咧苯翘菪蜤′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射線DA方向平移得到的，∴F′D=t，∴。∴。 ∵E′F′=PN=1，∴OP=OD－PN－ND=4－1－=3－?！逧′P=，E′H′=1，∴H′P=－1。若平行四邊形E′H′ OM是矩形，則∠MO H′=900，此時H′G′與x軸重合。∵F′D=t，∴，即。即當秒時，平行四邊形EHOM是矩形。若平行四邊形E′H′ OM是菱形，則O H′=1。在Rt△H′OP中，即，得，解得。即當秒時，平行四邊形EHOM是菱形。綜上所述，當秒時，平行四邊形EHOM是矩形，當秒時，平行四邊形EHOM是菱形。（3）秒或秒?！痉治觥浚?）用待定系數(shù)法，將B（－1,0）、C（3,0）代入y=ax178。+bx+3即可求得拋物線的解析式。（2）當直角梯形EFGH運動到E′F′G′H′時，過點F′作F′N⊥x軸于點N，延長E′ H’交x軸于點P。根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可用t表示出OP=3－，H′P=－1。分平行四邊形E′H′ OM是矩形和菱形兩種情況討論即可。（3）∵y=－x178。+2x+3的對稱軸為x=1，A（0，3），∴點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點A′（2，3）?！郃 A′=2。設(shè)直線AD解析式為，則由A（0，3），D（4，0）得，解得。∴直線AD解析式為。由（2）知，點G的縱坐標為－1，代入得橫坐標為。由HG=2得，即或。解得或?！喈斆牖蛎霑r，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形。
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