zgtaaa階段知能檢測(二)-資料下載頁
2025-08-04 10:10本頁面
【正文】 產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)；(2)為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？(注：次品率＝100%)．【解】 (1)當(dāng)x＞c時(shí)，p＝，∴y＝(1－)x3－x＝0；當(dāng)0＜x≤c時(shí)，p＝，∴y＝(1－)x3－x＝.∴日盈利額y(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為y＝.(2)由(1)知，當(dāng)x＞c時(shí)，日盈利額為0.當(dāng)0＜x≤c時(shí)，∵y＝，∴y′＝＝，令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)．∴①當(dāng)0＜c＜3時(shí)，∵y′＞0，∴y在區(qū)間(0，c]上單調(diào)遞增，∴y最大值＝f(c)＝，②當(dāng)3≤c＜6時(shí)，在(0,3)上，y′＞0；在(3，c)上y′＜0.∴y在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，c)上單調(diào)遞減．∴y最大值＝f(3)＝.綜上，若0＜c＜3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時(shí)，日盈利額最大；若3≤c＜6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時(shí)，日盈利額最大．20．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.(1)設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)，當(dāng)h(x)存在最小值時(shí)，求最小值φ(a)的解析式；(2)對于(1)中的φ(a)，證明當(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，φ(a)≤1.【解】 (1)由條件知h(x)＝－aln x(x＞0)．∴h′(x)＝－＝.①當(dāng)a＞0時(shí)，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，∴當(dāng)0＜x＜4a2時(shí)，h′(x)＜0，h(x)在(0,4a2)上遞減；當(dāng)x＞4a2時(shí)，h′(x)＞0，h(x)在(4a2，＋∞)上遞增．∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)．∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2＝2a(1－ln 2a)．②當(dāng)a≤0時(shí)，h′(x)＝＞0，h(x)在(0，＋∞)上遞增，無最小值．故h(x)的最小值為φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a＞0)．(2)由(1)知φ(a)＝2a(1－ln 2a)，(a＞0)．則φ′(a)＝－2ln 2a，令φ′(a)＝0，解得a＝.當(dāng)0＜a＜時(shí)，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，)上遞增；當(dāng)a＞時(shí)，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(，＋∞)上遞減．∴φ(a)在a＝處取得極大值φ()＝1，∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以φ()＝1也是φ(a)的最大值．∴當(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，總有φ(a)≤1.
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