通項公式的求法-資料下載頁
2025-11-02 06:16本頁面
【導(dǎo)讀】數(shù)等,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列.先計算數(shù)列的前若干項,通過觀察規(guī)律,猜想通項公式,進而用數(shù)學(xué)歸納法證之.Sn∴{}是以==1為首項,公差為2的等差數(shù)列.{an}的前n項和Sn=n2-7n-8,求{an}的通項公式;解:當(dāng)n=1時,a1=S1=-14;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-8,由知,當(dāng)n≤4時,an≤0;當(dāng)n≥5時,an>0;n≥4時,恒有an+1>an,試求b的取值范圍.解:由已知得lgSnbn-1=lg,∴Snbn-1=bn+1+n-2(b>1).即(n-3)b2-2(n-2)b+(n-1)>0對n≥4恒成立.經(jīng)驗證知an=1時,Sn=5;另一種情況時,Sn=-4,均合題意.在等差數(shù)列中,n≥2時,an=Sn-Sn-1,a1亦適合公式.
【正文】 . 1 5 1 3 1 4 1 3 1 4 an+1=2+ an(n∈ N+), 且 a1=a, 求 an. 1 2 解 : a1=a a2=2+ a 1 2 =421+21a, 故猜想 : an=423n+21na, 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下 : a5=2+ a4 1 2 a3=2+ a2=3+ a 1 2 1 4 =420+22a, a4=2+ a3= + a 1 2 7 2 1 8 =421+23a, =422+24a, =422+20a, 證明從略 . 故 an=423n+21na. 解法二 : 構(gòu)造等比數(shù)列求解 (略 ). 數(shù)列 {an} 是公差不為 0 的等差數(shù)列 , Sn 是數(shù)列 {an} 的前 n 項和 , 且 S32=9S2, S4=4S2, 求數(shù)列 {an} 的通項公式 . 解 : 設(shè)等差數(shù)列 {an} 的公差為 d, 由 Sn=na1+ 及已知條件得 : n(n1)d 2 (3a1+3d)2=9(2a1+d), ① 4a1+6d=4(2a1+d), ② 由 ② 得 : d=2a1, 代入 ① 有 : 9a12=4a1. 解得 : a1=0 或 a1= . 4 9 當(dāng) a1=0 時 , d=0, 與已知條件矛盾 , 舍去 。 當(dāng) a1= 時 , d= . 4 9 8 9 ∴ an= + (n1)= n . 4 9 8 9 4 9 8 9 故數(shù)列 {an} 的通項公式為 an= n . 4 9 8 9 {an} 是等差數(shù)列 , 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求數(shù)列 {an} 的通項公式 。 (2)令 bn=an?3n, 求數(shù)列 {bn} 前 n 項和的公式 . 解 : (1)設(shè)數(shù)列 {an} 的公差為 d, 則由已知得 3a1+3d=12, ∴ d=2. ∴ an=2+(n1)?2=2n. 故數(shù)列 {an} 的通項公式 為 an=2n. (2)由 bn=an?3n=2n?3n 得數(shù)列 {bn} 前 n 項和 Sn=2?3+4?32+… +(2n2)?3n1+2n?3n ① ∴ 3Sn=2?32+4?33+… +(2n2)?3n+2n?3n+1 ② 將 ① 式減 ② 式得 : 2Sn=2(3+32+… +3n)2n?3n+1=3(3n1)2n?3n+1. ∴ Sn= +n?3n+1. 3(13n) 2 又 a1=2,
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