微積分課件5-1定積分的概念-資料下載頁
2025-04-22 10:10本頁面
【導讀】上各點處的高在區(qū)間上是變化的，曲邊梯形的面積.分割在區(qū)間中任意插入個??動時，各時刻運動速度是變化的，即，其路程速度×時間.相應地各小區(qū)間的路程依次為.線運動路程的精確值.個小區(qū)間上任取一點，成立，稱是函數(shù)在上的定積分，定義中是要求取極限時保證各小區(qū)。間均縮成一點；雖然當時，，定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間。既有正值又有負值時，兩定理中的條件均為定積分存在的充分條件.間斷點，則在上可積.
【正文】 dxxfdxxfdxxf bababa ??? ???則 推論 1，推論 2僅限于積分下限小于積分上限 . ? ? ? ?dxxfdxxf baba ?? ?Mm, ? ?xf性質 6 設 分別是函數(shù) 在區(qū)間上的最 小值和最大值，則 ? ?ab?由定積分的幾何意義可知， 表示為以 為底，以 為高的矩形面積 . dxkba?k? ?abkdxkba ???? ?ba, ? ? kxf ?? ?為常數(shù)k性質 5 在 上， ，則 . ? ? ? ? ? ?abMdxxfabm ba ???? ?? ba ? 由性質 4的推論 1和性質 5可得上不等式 . 性質 6的不等式稱為積分估值公式 . 證 ? ? ? ? ? ? ?abMdxxfabm ba ???? ?? ?xf ? ?ba,?? ? ? ?? ?abfdxxfba ??? ?? ?ba ?? ?? ?ba,性質 7 若 在區(qū)間 上連續(xù)，則在積 分區(qū)間 上至少存在一點 ，使下式成立： ? ? ? Mdxxfabm ba ??? ?1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知， （ ）， ? ? Mfm ?? ? ba ?? ?? ? ? ?dxxfabf ba??? 1??? ? ? ?? ?abfdxxfba ??? ?即 性質 7又稱為定積分中值定理 .此定理的幾何意 義是，在閉區(qū)間 上至少存在一點 ，使得 ? ?ba, ?以 為底， 為高的矩形面積，等于由 直線 及曲線 所圍 曲邊梯形的面積 . ? ?ab? ? ??f0, ??? ybxax ? ?xfy ?? ?55－如圖)(?fxyo a b?圖 5－ 5 例 2 證明 . ? ? 5116 412 ??? ? dxx 由性質 6得 ? ?? ? ? ? ? ?? ?1441141 41 2 ????? ? fdxxf即 ? ? 5116 41 2 ??? ? dxx證 設 ，則 在 上連 續(xù)， ， 在 上單增， 則 ? ? 12 ?? xxf ? ?xf ? ?4,? ? 02 ??? xxf ? ? ?xf ? ?4,1? ? ? ? Mfxfm ????? 411 201lim 210 ????? dxxx nn例 3 證明 . ? ?? ? ?????? ??????02111210 nndxxxnn??? ? xxxfn?? 1證 設 ， 在 上連續(xù)， ? ?xf ??????210，上都至少存在一點 ，使得 ? ?n???????210，根據(jù)定積分中值定理，對于每一個 在 n? 02 1lim 1 ???? nn ， 由夾逼準則 有 01lim 210 ????? dxxx nn而 ? ?? ?? ? 1212110 ????? nnnn??? 1210 2110 ???? ? nndx
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