陜西省漢中市20xx屆高考數(shù)學(xué)一模試卷理科-資料下載頁(yè)
2024-11-11 02:46本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2017年陜西省漢中市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）。1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，則A∩（?2．已知復(fù)數(shù)z滿足z（+3i）=16i，則復(fù)數(shù)z的模為（）。A．B．2C．4D．8. 3．已知兩個(gè)隨機(jī)變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示：。y﹣5﹣3﹣1﹣1. 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為=x+，則大致可以判斷（）。A．＞0，＞0B．＞0，＜0C．＜0，＞0D．＜0，＜0. A．9B．3C．D．3. 5．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若log2a2+log2a8=2，則T9的值為（）。A．±512B．512C．±1024D．1024. 6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為（）。A．5B．6C．7D．8. 7．已知三棱錐A﹣BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別為。三視圖中的俯視圖時(shí)，以xOy平面為投影面，則得到的俯視圖可以為（）。F2關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的。18．（12分）每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學(xué)生。1人被抽中的概率；認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān)．
【正文】 20．（ 12 分）（ 2017?內(nèi)蒙古模擬）已知橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）的離心率為 ，點(diǎn) B 是橢圓 C 的上頂點(diǎn)，點(diǎn) Q 在橢圓 C 上（異于 B 點(diǎn)）． （ Ⅰ ）若橢圓 V 過點(diǎn)（﹣ ， ），求橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ）若直線 l： y=kx+b 與橢圓 C 交于 B、 P 兩點(diǎn)，若以 PQ 為直徑的圓過點(diǎn) B，證明：存在 k∈ R， = ． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ Ⅰ ）由橢圓的離心率公式求得 a 和 b 的關(guān)系，將（﹣ ， ）代入 橢圓方程，即可求得 a 和 b 的值，求得橢圓方程； （ Ⅱ ）將直線方程代入橢圓方程，求得 P 的橫坐標(biāo)，求得丨 BP 丨，利用直線垂直的斜率關(guān)系求得丨 BQ 丨，由 = ，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的 判斷即可存在 k∈ R， = ． 【解答】 解：（ Ⅰ ）橢圓的離心率 e= = = ，則 a2=2b2， 將點(diǎn)（﹣ ， ）代入橢圓方程 ，解得： a2=4， b2=2， ∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ， （ Ⅱ ）由題意的對(duì)稱性可知：設(shè)存在存在 k＞ 0，使得 = ， 由 a2=2b2，橢圓方程為： ， 將直線方程代入橢圓方程，整理得：（ 1+2k2） x2+4kbx=0， 解得： xP=﹣ ，則丨 BP 丨 = ， 由 BP⊥ BQ，則丨 BQ 丨 = 丨 丨 = ? ， 由 = ．，則 2 = ? ， 整理得： 2k3﹣ 2k2+4k﹣ 1=0， 設(shè) f（ x） =2k3﹣ 2k2+4k﹣ 1，由 f（ ） ＜ 0， f（ ） ＞ 0， ∴ 函數(shù) f（ x）存在零點(diǎn)， ∴ 存在 k∈ R， = ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 21．（ 12 分）（ 2017?內(nèi)蒙古模擬）已知函數(shù) f（ x） =lnx﹣ ax+ ，其中 a＞ 0． （ Ⅰ ）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ Ⅱ ）證明：（ 1+ ）（ 1+ ）（ 1+ ） … （ 1+ ） ＜ e （ n∈ N*， n≥ 2）． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的 單調(diào)性． 【分析】 （ Ⅰ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a 的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ Ⅱ ）求出 lnx＜ x﹣ ，令 x=1+ （ n≥ 2），得到 ln（ 1+ ） ＜ （ ﹣），累加即可證明結(jié)論． 【解答】 解：（ Ⅰ ）函數(shù) f（ x）的定義域是（ 0， +∞ ）， f′（ x） = ，令 h（ x） =﹣ ax2+x﹣ a， 記 △ =1﹣ 4a2，當(dāng) △≤ 0 時(shí)，得 a≥ ， 若 a≥ ，則﹣ ax2+x﹣ a≤ 0， f′（ x） ≤ 0， 此時(shí)函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞ ）遞減， 當(dāng) 0＜ a＜ 時(shí)，由﹣ ax2+x﹣ a=0，解得： x1= ， x2= ， 顯然 x1＞ x2＞ 0，故此時(shí)函數(shù) f（ x）在（ ， ）遞增， 在（ 0， ）和（ ， +∞ ）遞減； 綜上， 0＜ a＜ 時(shí)，函數(shù) f（ x）在（ ， ）遞增， 在（ 0， ）和（ ， +∞ ）遞減， a≥ 時(shí)，函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞ ）遞減； （ Ⅱ ）證明：令 a= ，由（ Ⅰ ）中討論可得函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， +∞ ）遞減， 又 f（ 1） =0，從而當(dāng) x∈ （ 1， +∞ ）時(shí)，有 f（ x） ＜ 0，即 lnx＜ x﹣ ， 令 x=1+ （ n≥ 2）， 則 ln（ 1+ ） ＜ （ 1+ ）﹣ = = （ + ） ＜ = （ ﹣ ）， 從而： ln（ 1+ ） +ln（ 1+ ） +ln（ 1+ ） +… +ln（ 1+ ） ＜ （ 1﹣ + ﹣ + ﹣ +… + ﹣ + ﹣ + ﹣ ） = （ 1+ ﹣ ﹣ ） ＜ （ 1+ ） = ， 則有 ln（ 1+ ） +ln（ 1+ ） +ln（ 1+ ） +… +ln（ 1+ ） ＜ ， 可得（ 1+ ）（ 1+ ）（ 1+ ） … （ 1+ ） ＜ e （ n∈ N*， n≥ 2）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查不等式的證明以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題． 四、選修 44：極坐標(biāo)與參數(shù)方程 22．（ 10 分）（ 2017?內(nèi)蒙古模擬）已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線 C1的參數(shù)方程為 （ φ 為參數(shù)），以原點(diǎn)為 極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cosθ． （ Ⅰ ）求曲線 C1的極坐標(biāo)方程與曲線 C2的直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）若直線 θ= （ ρ∈ R）與曲線 C1交于 P， Q 兩點(diǎn)，求 |PQ|的長(zhǎng)度． 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】 （ I）曲線 C1 的參數(shù)方程為 （ φ 為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去 φ 可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cosθ，即 ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程． （ II）把直線 θ= （ ρ∈ R）代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣ 5=0，整理可得： ρ2﹣ 2ρ﹣ 5=0，利用 |PQ|=|ρ1﹣ ρ2|= 即可得出． 【解答】 解：（ I）曲線 C1 的參數(shù)方程為 （ φ 為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去 φ 可得： +（ y+1） 2=9，展開為： x2+y2﹣ 2 x+2y﹣ 5=0， 可得極坐標(biāo)方程： ρcosθ+2ρsinθ﹣ 5=0． 曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cosθ，即 ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程： x2+y2=2x． （ II）把直線 θ= （ ρ∈ R）代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣ 5=0， 整理可得： ρ2﹣ 2ρ﹣ 5=0， ∴ ρ1+ρ2=2， ρ1?ρ2=﹣ 5， ∴ |PQ|=|ρ1﹣ ρ2|= = =2 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 選修 45：不等式選講 23．（ 10 分）（ 2017?內(nèi)蒙古模擬）已知函數(shù) f（ x） =|3x﹣ 4|． （ Ⅰ ）記函數(shù) g（ x） =f（ x） +|x+2|﹣ 4，在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù) g（ x）的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù) g（ x）的最小值； （ Ⅱ ）記不等式 f（ x） ＜ 5 的解集為 M，若 p， q∈ M，且 |p+q+pq|＜ λ，求實(shí)數(shù)λ 的取值 范圍． 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù) g（ x）的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù) g（ x）的最小值； （ Ⅱ ）記不等式 f（ x） ＜ 5 的解集為 M，可得 p， q∈ （﹣ ， 3），若 p， q∈ M，且 |p+q+pq|＜ λ，利用絕對(duì)值不等式，即可求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍． 【解答】 解：（ Ⅰ ）函數(shù) g（ x） =f（ x） +|x+2|﹣ 4=|3x﹣ 4|+|x+2|﹣ 4， 圖象如圖所示， 由圖象可得， x= ， g（ x）有最小值﹣ ； （ Ⅱ ）由題意， |3x﹣ 4|＜ 5，可得﹣ ＜ x＜ 3， ∴ p， q∈ （﹣ ， 3）， ∴ |p+q+pq|≤ |p|+|q|+|pq|＜ 3+3+3 3=15， ∴ λ≥ 15． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的圖象，考查絕對(duì)值不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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