【正文】 ( 22222 ?????????????????? ????????lll uddudud此為 階貝塞爾方程 ， 其解為 21)(21 ??J四 .玻恩近似 (續(xù) 21) .Scattering 62 由于 ， ，所以有限解為 0????? )(21 ?J )(21 ?J于是 krkr s in2??0121( ) ( )R r J k rkrr ??21c o s2 2 4krkr?????? ? ?????r ??0s in4 0220 ?? ??kQ比較 （ 1） 和 （ 2） 兩式 ， 并注意取 （ 1） 式中的 等于 0， 則 00 ??l四 .玻恩近似 (續(xù) 22) .Scattering 63 用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能場(chǎng) 中散射的散射截面 220)( raeUrU ??Solve: 根據(jù)微分散射截面公式 20422si n)(4),( ? ?? R rd rrrUKq ????于是將 代入上式，積分 220)( raeUrU ???? ? ?? ? 00 0 s i ns i n)( 22 K r d rreUK r d rrrU ra2 2 2 20022 0 0s in c o s22a r a rU K Ue K r e K r d raa????? ? ? ?224220212aKeaaKU ?? ? 224304aKeaKU ?? ?四 .玻恩近似 (續(xù) 23) .Scattering 64 222462204),( aKeaUq ??????? 2 s in2Kk????????222206 4 22 s in2( , ) e x p4kUqaa??????????? ???????????? ??? )co s1(ex p4 2246220 ???akaU?? ?? dqQ ),( ??四 .玻恩近似 (續(xù) 24) .Scattering 65 222 2 2 204 4 2 20e x p c o s2kaU kea k a????? ???? ????????????????22222224422022akakakeeekaU???2222420222aksheaU ak??????????? ??ddakeaU aksi nc o se x p4 2220046220 22??????? ????四 .玻恩近似 (續(xù) 25) .Scattering 66 用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能場(chǎng) 中散射的微分散射截面，式中 。 ?????????ararbrrzerUs當(dāng)當(dāng)0)(222szeab ?K r d rrrU s in)(0? ? K r d rbrzeas s in022????????? ??220 012 c o s c o saasrz e K r r K r d rK b K b??? ? ? ????? ?Solve: ????????????????? ??? aass K rd rbKKrrbKKabazezeK 0202222 si n2si n2c o s1四 .玻恩近似 (續(xù) 26) .Scattering 67 )c o s1(2si n2c o s1 32222 KabKKabKaKabazezeK ss????????????????? ?????????????????? ????? KaKbaKabKbazebKzeK sssi n2c o s221 2222220422s i n)(4),( ? ?? K r drrrUKq ????222222442s i n2c o s224 KaKbaKabKbazebKzeK ss????????? ???????四 .玻恩近似 (續(xù) 27) .Scattering 68 設(shè) ， 求反射系數(shù) ? ?axeVxV /0 1)( ???)()()()(2 222xExxVdx xd ???? ??? ?Solve: （ 1） 令 axe ????則 ??? ?????????? ???111 00VVV?????????ddaddeadxddddxd ax 11 ??? ????????? ???????????????????????ddddadxddddddxd22222 1（ 2） （ 3） （ 4） 將 （ 2） （ 4） 代入方程 （ 1） ， 則有 四 .玻恩近似 (續(xù) 28) .Scattering 69 )()()1(2 22220222 ????????????? akaVdddd ????? ?22 2?Ek ??其中 （ 5） )(222xkdxd ?? ??i k ai k xex ?? ?? ~)(當(dāng) 時(shí)，方程（ 1）的漸近形式 r ??)()( ????? i k a??令 此方程有平面波解 當(dāng) 時(shí) ， ， 超于常數(shù) ??x0?? )(????????? 1??? ?? i kai ka i k adddd（ 6） 四 .玻恩近似 (續(xù) 29) .Scattering 70 221222 2 ( 1 )i k a i k a i k ad d dik a ik a ik ad d d? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?0)1)(21()1( 22022?????? ???????? akddi k add將 （ 8） 寫成 ? ??? )(22 0122100 EVkKkVk ????? ??（ 7） 利用這些關(guān)系式，方程（ 5）可寫成 （ 8） 其中 0)()1)(21()1( 222122??????? ???????? akkddi k add （ 9） 再令 akkiakkii k ac )(,)(),21(11 ??????? ??四 .玻恩近似 (續(xù) 30) .Scattering 71 c??? 1??22( 1 ) [ ( 1 ) ] ( ) 0dd c??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?顯然 于是，方程（ 9）變?yōu)? （ 10） 方程（ 10）為超幾何方程，其滿足 （即 ）， 有限的解為 0????x )(?????????????!3)2)(1()2)(1()2)(1( 3???????ccc!2)1()1()1(!11)。,()(2????????????????????ccccF（ 11） 四 .玻恩近似 (續(xù) 31) .Scattering 72 ( ) ( ) 1( ) ( ) , 1 , 1 。( ) ( )c cc???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??( ) ( ) 1( ) , 1 , 1 。( ) ( )c cc??? ? ? ? ? ?? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??滿足 即 ， 有限的解為 ???? )( ???x )(??（ 12） 當(dāng) ，即 時(shí) ???x ????? ?xikxikkai ecece 11 212 ?? ??? ? ? ?11( ) ( )12( ) { }i k k a i k k aik ae c c? ? ? ?? ? ?? ? ? ?四 .玻恩近似 (續(xù) 32) .Scattering 73 )()()()(1 ???????????ccc)()()()(2 ???????????ccc反射系數(shù)： 222122)()()()()()(????????????????????ccccR（ 13） 利用 xxxxx ?? s i n)1()(),()( ** ???????akkic )(1 1 ???? ?akkic )(1 1 ???? ?aki 12?? ??四 .玻恩近似 (續(xù) 33) .Scattering 74 可得： 2 **( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]c c c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1[ ( ) ] [ ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]i k k a i k k a i k k a i k k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?])(s i n [])(s i n [ 11 ????akkiakki ?????212])([ ??akksh ???])[()()()()()( **2 ?????? ?????????? ccc1 1 1 1[ ( ) ] [ ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]i k k a i k k a i k k a i k k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四 .玻恩近似 (續(xù) 34)