【正文】 ADE中， AE2＋ AD2＝ DE2， ∴ . 36 34DEADCDAF ?DE34834 ?6)3612 2222 ????? (ADDEAE 返回目錄 第四單元 三角形 77 第６課時 解直角三角形的應(yīng)用 中考考點清單 考點 1 銳角三角形 考點 2 解直角三角形的邊角關(guān)系 考點 3 解直角三角形的實際應(yīng)用 常考類型剖析 類型一 解直角三角形的邊角關(guān)系 類型二 解直角三角形的實際應(yīng)用 第四單元 三角形 78 1． 三角函數(shù)的概念 如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ Ｃ ＝ 90176。， ∠ Ａ 、 ∠ Ｂ 、 ∠ Ｃ 的對邊分別為 a、ｂ、ｃ ， 正弦 sinＡ ＝ 。余弦 cosA=① ______。 正切 tanA=② ______. 考點 1 銳角三角函數(shù) cabcab返回目錄 第四單元 三角形 79 角度 三角函數(shù) 30176。 45176。 60176。 sinα cosα tanα 1 212133232223223返回目錄 第四單元 三角形 80 考點 2 解直角三角形的邊角關(guān)系 已知條件 圖形 解法 一直角邊和一銳角（ a， ∠ A） ∠ B=90176。 － ∠ A,c= ， （或 b= ） 斜邊和一銳角（ c，∠ A） ∠ B＝ 90176。 － ∠ A，a=csinA， b=ccosA（或 b= ） t a nabA?Aasin22 ac ?22 ac ?返回目錄 第四單元 三角形 81 返回目錄 兩直角邊（ a， b） 由 求 ∠ A,∠ B=90176。 － ∠ A 一直角邊和一銳角(a， ∠ A) 由 求 ∠ A,∠ B=90176。 － ∠ A ,22 bac ?? ,ta nbaA ?,22 acb ?? ,s in caA ?返回目錄第四單元 三角形 82 ?？碱愋? 仰角、俯角 在視線與水平線所成 的銳角中，視線在水 平線上方的角叫做仰 角，視線在水平線下 方的角叫做俯角 坡度（坡比）、坡角 坡面的鉛直高度 h和水平 寬度 l的比叫做坡度 (坡比 ), 用字母 i表示；坡面與水平 線的夾角 α 叫做坡角． i=tanɑ= lh考點 3 解直角三角形的實際應(yīng)用 （高頻考點） 返回目錄 第四單元 三角形 83 ?？碱愋? 方向角 一般指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角 (一般指銳角 )通常表達成北 (南 )偏東 (西 )＋度，如圖， A點位于 O點的北偏東 30176。方向， B點 位于 O點的南偏東 60176。方向， C點位于 O點的北偏西 45176。方向（或西北方向） 解題方法 １ .解直角三角形時 ,當(dāng)所求元素不在直角三角形中時 ,應(yīng)作輔助線構(gòu)造直角三角形 ,或?qū)ふ乙阎苯侨切沃械倪吔翘娲蟮脑? ２．解實際問題的關(guān)鍵是構(gòu)造幾何模型 ,大多數(shù)問題都需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線 ,將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角計算問題 .如 :作等腰三角形底邊上的高、梯形中過上底的兩個頂點作梯形的高等 ３．注意題設(shè)中對精確度的要求 ,一般解直角三角形問題都要求最后結(jié)果取精確數(shù) 返回目錄 第四單元 三角形 84 類型一 直角三角形的邊角關(guān)系 例 1（’ 12上海） 如圖在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB＝ 90176。 , Ｄ是邊 AB的中點 ,BE⊥ CD,垂足為點 AC＝ 15. cos A= . (1)求線段 CD的長； (2)求 sin∠ DBE的值． 53例 1題圖 返回目錄 第四單元 三角形 85 【思路分析】 (1)利用銳角三角函數(shù)求出斜邊 AB的長， 再依據(jù) CD＝ AB求解即可 。(2)先利用三角函數(shù)求出 BC,再由 sin∠ ABC＝ sin∠ ECB得 cos∠ ECB＝ ,結(jié)合BC求得 EC、 DE、 DB，求解 sin∠ DBE． 2154解： (1)在 Rt△ ABC中，因為 AC＝ 15,cosA= . 則得 cosＡ ,解得 AB＝ 25,再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 CD＝ AB. 5315 ???ABABAC 5321返回目錄 第四單元 三角形 86 (2)由 AC=15,AB=25,利用勾股定理可得 BC=20， 又因 cosＡ =sin∠ ABC，得 sin∠ ABC= . 又因 CD=DB,于是得 ∠ ECB=∠ ABC， 由 sin∠ ABC=sin∠ ECB，得 cos∠ ECB= , 又因 BC=20，解得 EC=16． 因 CD= ,于是 DE= ， DB= , 則 sin∠ DBE= . 535422527225257?DBDE返回目錄 第四單元 三角形 87 變式題 1 如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ C＝ 90176。 , AB＝ ,BC＝ 1,則 tan∠ A=_______. 2,1)5( 2222 ????? BCABAC21?ACBC125【解析】 ∵ tanB= . 變式題 1圖 返回目錄 第四單元 三角形 88 類型二 解直角三角形的實際應(yīng)用 例 2（’ 13黃岡） 如圖，小山頂 上有一信號塔 AB，山坡 BC的 傾角為 30176。，現(xiàn)為了測量塔高 AB，測量人員選擇山腳 Ｃ 處為 一測量點，測得塔頂仰角為 45176。．然后順山坡向上行走 100米到達 E處，再測得塔頂仰角為 60176。，求塔高AB． ( ≈， ≈,結(jié)果保留整數(shù) ) 32例 2題圖 返回目錄 第四單元 三角形 89 【思路點撥】 要求塔高 AB,可先利用等腰三角形 的性質(zhì)和判定確定 AE長 ,再通過 Rt△ AEF求出 AB長 ,Rt△ BEF求出 BF長 ,最后由二者差求塔高 AB． 返回目錄 第四單元 三角形 90 解： 過點 C作 CD⊥ AB交 AB的延長線于點 F．依題意可知： ∠ AEB=30176。 ,∠ ACE=15176。 ,又∠ AEB=∠ ACE+∠ CAE， ∴∠ CAE=15176。 .即△ ACE為等腰三角形， ∴ AE=CE=100ｍ .又在 Rt△ AEF中， ∠ AEF=60176。，∴ EF=AEcos60176。 =50ｍ， AF=AEsin60176。 = ｍ． 又在 Rt△ BEF中， ∠ BEF=30176。 , ∴ BF=EFtan30176。 =50 m . ∴ AB=AFBF= 米 . 答：塔高 AB大約為 58米． 3 5 0 333?5 0 3 1 0 0 35 0 3 5 833? ? ?350返回目錄 第四單元 三角形 91 【點評與拓展】 (1)利用解直角三角形相關(guān)知識求解非規(guī)則圖形時 ,往往通過作垂線將非規(guī)則圖形分解或拼湊成幾個規(guī)則圖形 (矩形、直角三角形等 )的和或差 .(2)構(gòu)造直角三角形 ,具體方法如下 :①如果題中兩個特殊角在同一點上 ,要從這個點作垂線 ,構(gòu)造直角三角形如本題中的點 C。②如果這兩個特殊角分別在兩個頂點上 ,則過第三點引垂線構(gòu)造直角三角形 . 返回目錄 第四單元 三角形 92 變式題 2（ ’ 13湘潭） 如圖， C島位于我南海 A港口北偏東 60度方向 ,距 A港口 海里處 ,我海監(jiān)船從 A港口 出發(fā) ,自西向東航行至 B處時 ,接上級命令趕赴 C島執(zhí) 行任務(wù) ,此時 C島在 B處北 偏西 45176。方向上 ,海監(jiān)船立 刻改變航向以每小時 60海 里的速度沿 BC行進 ,則從 B處到達 C島需要多少小時？ 260變式題 2圖 返回目錄 第四單元 三角形 93 【思 路分析】 在 Rt△ ACD中，根據(jù) 30176。所對的直角邊等于斜邊的一半，求出 CD的長，再在 Rt△ CDB中 ,利 用 sin∠ CBD= ,求出 BC的長 ,最后求出海監(jiān)船從 B處 到達 C島所需時間． 123 0 2CDBC s i n 4 5CD?CDBC解： 在 Rt△ ACD中， ∵∠ CAD＝ 30176。， ∴ CD= AC= 海里 . 在 Rt△ CDB中， ∵∠ CBD=45176。， ∵ sin45176。 = ， ∴ BC= =60海里， ∴ 海監(jiān)船從 B處到達 C島需要的時間為 60247。 60=1小時． 答：海監(jiān)船從 B處到達 C島需要的時間為 1小時． 返回目錄 第四單元 三角形