41-連通空間-資料下載頁
2025-07-25 16:21本頁面
【正文】 X中的有一個連 通子集 A它與 U 中的每個成員都相交 ,則 X連通 (1) 若 ,則由 , , ??AX ?0 U?? U 證明 : 設(shè) 是 X的既開且閉的子集 . 0X由定理知 :或者 ,或者 0XA ???AX ?0??AU ?得出 : ????00 , XUXU ?而 U 是 X的一個覆蓋 ,即 .所以 ?U??UUX???????))( 0000 ?? ???UU UUX(UUXXXX(2) 若 , , 0XA ? U?? U ????? 0XUAU ??,0XU ??00 XXXUXU??????UDepartment of Mathematics 拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空 間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是 一個在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)． 因為同胚是連續(xù)的雙射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓撲不變性質(zhì) . 拓撲概念 :拓撲空間在同胚映射下保持不變的概念 拓撲性質(zhì) :拓撲空間在同胚映射下保持不變的性質(zhì) 關(guān)于連通性的證明和同胚的判斷 Department of Mathematics 例 證明歐氏平面 中的子集 }1,),{( 221 ???? yxRyxyxS2E 是連通的 . 證明 : 定義映射 ,使的對任意 1: SEf ? Rt?1)2s i n,2( co s)( Stttf ?? ??f 是一個連續(xù)映射，且 ,所以 是連通的 1)( SEf ? 1S例 證明歐氏平面 是連通的 2E證明 : 令 則對任意的 .}),{( RyyxB x ?? Rx? 是 的一個連通覆蓋 ,記 : }{xB2E .})0,{( RxxA ??則 A是連通的 ,且 ??xBA ?所以 . 是連通的 2EDepartment of Mathematics 例 n＞ 1維歐氏空間 的子集 是連通的 nE }0{?nE證明 : 只證明 n＝ 2的情形． 中的子集 (∞,0) R和 (0,∞) R都是連通的．由于 所以 A=[0,∞) R{0}是連通的 2E同理，子集 B=(∞,0] R{0}是連通的． 而 ???? BAEBA ?? },0{2根據(jù)定理知 : 是連通的 . }0{?nEDepartment of Mathematics 所以 應(yīng)該是連通 , 例 證明歐氏平面 和實數(shù)空間 E不同胚． 2E 證明 : 用反證法 ,假設(shè) 和 E同胚 ,則存在一個同胚映射 ,令 2EEEf ?2:EEfg E ??? ? }0{: 2}0{2此時 , 是連續(xù)的 ,并且有 )}0({})0{( 2 fEEg ???g 而 不是區(qū)間 ,所以不連通 .矛盾 )}0({ fE ?)}0({ fE ?Department of Mathematics
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