清華大學(xué)-五道口金融學(xué)院-高級微觀經(jīng)濟學(xué)amice04-基于偏好的需求-資料下載頁
2025-07-25 11:56本頁面
【正文】 r)且 q?( p, r) = s，則 (q ? p)(?(q, s) ? ?( p, r)) 0。即 當價格變化以后，即使給消費者進行收入補償以使其購買力不變，需求變化也要反向于價格變化。 證明 ：令 x =?( p, r)， y =?(q, s)。 qx = s amp。 x ? y 表明 y ? x，故 py r。由于 px = r，因此 p( y ? x) 0。既然 q y = s 且 qx = s，因此 q( y ? x) = 0。這樣， (q ? p)( y ? x) 0。得證。 26 4 需求映射的特征 ? 需求映射 x = ?( p, r) 的 五個相互獨立的本質(zhì)特征 ?零階齊次性 ： ?t 0， ?(t p, t r) = ?( p, r) ?瓦爾拉定律 ： p?( p, r) = r ?連續(xù)可微性 ： ?( p, r)連續(xù)可微 ( p 0, r I( p)) ?替代對稱性 ： ?( p, r)的替代矩陣 S 是對稱的。 ?需求補償法 ： 若 ?(q, s) ? ?( p, r) 且 q?( p, r) = s， 則 (q ? p)(?(q, s) ? ?( p, r)) 0。 ? 注釋 ： 之所以沒有提及替代矩陣的半負定性，是因為這條性質(zhì)不獨立，它可從 “ 瓦爾拉定律、連續(xù)可微性、需求補償法 ” 推出 。 27 5 需求理論中的對偶現(xiàn)象 ? 效用最大化 ： max u(x) . px = r ? 支出最小化 ： min px . u(x) = U ? 對偶性 ：效用最大化與支出最小化是兩個相互對偶的問題，即只要解決其中一個問題，另外一個問題就隨之而解了。 ? 馬歇爾需求 ：效用最大化問題的解。 ? ?？怂剐枨?：支出最小化問題的解。 商品 1 商品2 x 28 支出函數(shù) ? 效用水平 U 上的 支出集合 E(U ) = {x?X| u(x) ? U } ? 支出函數(shù) e( p,U ) = min{ px| u(x) ? U } ? 支出函數(shù)的性質(zhì) ? e( p,U ) ? I( p)， e( p,U ) + e(q,U ) ? e( p+q,U ) ? e( p,U )是價格 p 的一階齊次函數(shù)： e(t p,U ) = t e( p,U ) ? e( p,U )是價格 p 的凹函數(shù)，即對任何實數(shù) ??[0, 1]，都有 ? e( p,U ) + (1??)e(q,U ) ? e(? p+(1??)q,U )。 ? e( p,U )是效用水平 U 的嚴格遞增函數(shù)，即對任何 U 和 V，若 e( p,U ) I( p)，則 e( p,U ) e( p,V ) ? U V。 29 ?？怂剐枨? ? 定理 在假設(shè) HC和 HP下，對任何 p 0及效用水平U (要求 e( p,U) I(p))，都存在唯一的 x?E(U ) 使得 px = e( p,U)。 向量 x 正是消費者的?？怂剐枨螅涀? h( p,U )。 ? 定理 在假設(shè) HC、 HP、 HU下，對任何 p 0及 r I(p)，都有 ，并且 sij = ?hi/?pj。 ? sij = ?hi/?pj 的證明 ： )),(,(),( rur pphp ??)),(,(),( rurx iii pphp ?? ?)( 羅伊恒等式?jijjijiijjijiijjiijphruxpuuhphruuhxpuuhphrxxpxs???????????????????????????????????????30 支出函數(shù)對價格的導(dǎo)數(shù) ? 定理 在假設(shè) HC、 HP、 HU下，對任何 p 0及效用水平 U (e( p,U) I(p))，都有 。 證明： jj pUeUh??? ),(),( pp?????1),(),(),(iii UhpUUe ppphp),(),(),(),(11UphspUphphpUphpUejiijiji jiijj???????????????p31 作業(yè) 1. 解釋 “ ” 的經(jīng)濟意義，其中 x =?( p, r)為需求映射， sij 為斯勒茨基系數(shù) 。 2. 證明支出函數(shù) e( p,U ) 具有下述性質(zhì)： ① e( p,U ) + e(q,U ) ? e( p+q,U ) ② e( p,U )是價格 p 的凹函數(shù)。 ③ 對任何價格向量 p 0 及任何效用水平 U 和 V，若 e( p,U ) I( p)，則 e( p,U ) e( p,V ) 當且僅當 U V。 ? ???? ?? ???????1111,0,0iiijjijiiji rxppss
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