天津市第一中學(xué)20xx-20xx學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月月考試卷-文(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-07-24 18:10本頁(yè)面
【正文】 3an，n≥2，∵等比數(shù)列{an}，∴a2=3a1，又a2=2a1+2，∴a1=2，∴an=2?3n﹣1．（2）證明：由（1）得，∵an+1=an+（n+1）dn，∴，∴Tn=，①=，②①﹣②，得=﹣=﹣=，∴Tn=＜．點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用． 19．（14分）（2015春?天津校級(jí)月考）設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足=，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）D是過(guò)A、B、F2三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，D到直線l：x﹣y﹣3=0的最大距離等于橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，求橢圓C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中垂線與x軸相交于點(diǎn)P（m，0），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析： （Ⅰ）連接AF1，由AB⊥AF2，BF1=F1F2，得AF1=F1F2，由此能求出橢圓的離心率．（Ⅱ）由，得c=，從而F2（，0），B（﹣，0），由D到直線l：x﹣﹣3=0的最大距離等于2a，得圓心到直線的距離為a，由此能求出橢圓方程．（Ⅲ）由F2（1，0），得l：y=k（x﹣1），聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）連接AF1，因?yàn)锳B⊥AF2，BF1=F1F2，所以AF1=F1F2，即a=2c，故橢圓的離心率e=．（Ⅱ）由（1）知，得c=，于是F2（，0），B（﹣，0），Rt△ABC的外接圓圓心為，半徑r=|F2B|=a，點(diǎn)D到直線l：x﹣﹣3=0的最大距離等于2a，所以圓心到直線的距離為a，所以=a，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為．（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∵l過(guò)點(diǎn)F2，∴△＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，MN中點(diǎn)（，），當(dāng)k=0時(shí)，MN為長(zhǎng)軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則m=0，當(dāng)k≠0時(shí)，MN中垂線方程y+=﹣（x﹣）．令y=0，∴m==，∵，∴0＜m＜，綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的方程的求法，考查實(shí)數(shù)m的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用． 20．（14分）（2013?天津模擬）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（其中a實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線方程；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ） 若存在x1，x2∈[e﹣1，e]（x1≠x2），使方程g（x）=2exf（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題： 計(jì)算題；分類討論；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： （Ⅰ）寫(xiě)出當(dāng)a=5時(shí)g（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，討論①當(dāng)t時(shí)，②當(dāng)0＜t＜時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到最小值；（Ⅲ） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3，得到a=x+2lnx+，令h（x）═x+2lnx+，求出導(dǎo)數(shù)，列表求出極值，求出端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到所求范圍．解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）ex，g′（x）=（﹣x2+3x+2）ex，故切線的斜率為g′（1）=4e，且g（1）=e，所以切線方程為：y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0．（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，①當(dāng)t時(shí)，在區(qū)間（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min=f（t）=tlnt，②當(dāng)0＜t＜時(shí)，在區(qū)間（t，）上f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間（，e）上f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，所以f（x）min=f（）=﹣；（Ⅲ） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3a=x+2lnx+，令h（x）═x+2lnx+，h′（x）=1+﹣=x （，1） 1 （1，e）h′（x） ﹣ 0 +h（x） 單調(diào)遞減 極小值（最小值） 單調(diào)遞增h（）=+3e﹣2，h（1）=4，h（e）=+e+2，h（e）﹣h（）=4﹣2e+＜0則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（4，e+2+]．點(diǎn)評(píng)： 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題． 18
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