圖像處理技術(shù)——4圖像變換-資料下載頁
2025-07-21 23:36本頁面
【正文】 Hadamard)變換 ?離散余弦變化 離散余弦變換（ DCT） 1. 問題的提出： Fourier變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。 在此期望下，產(chǎn)生了 DCT變換。 余弦變換 ? 當 f(x)或 f(x,y)為偶函數(shù)時，變換的計算公式只有余弦項。 ? 一個任意函數(shù)采樣從 0,1,2,…,N 1，若向負方向折疊形成 2N采樣的偶函數(shù)，就可以進行 2N的偶函數(shù)傅立葉變換。 ? 余弦變換是簡化傅立葉變換的一種方法 一維余弦變換 ? 離散序列 f(x), x = 0, 1, 2, …, N1，以 1/2為折點，形成 N至 1的序列，與原序列合并形成 2N偶函數(shù)序列，（即序列＋ 1/2,在以 0點對稱變化）此時的變換核為 ： 1,1,0,1,1,)12(22)2/1(2??????? ????NNNxee uxNjNuxj?????離散傅立葉變換的虛部為零，上式剩下余弦項 ?????? ? uxN )12(2c o s ?? 余弦變換為： ??????????????1010)(2)0()12(2c o s)(2)(NNxxfNFuxNxfNuF?? 歸一化后： ????????????????? ???1,2,11021)()12(2c o s)(2)()(10NuuuCuxNxfNucuFNx??? 一維余弦變換的反變換為： ????????????????? ???1,2,11021)()12(2c o s)()(2)(10NuuuCuxNuFucNxfNu??二維余弦變換 ? 偶對稱偶函數(shù)： ????????????????????????0,0)1,1(0,0)1,(0,0),1(0,0),(),(yxyxfyxyxfyxyxfyxyxfyxf ? 為關(guān)于 (1/2, 1/2)對稱的偶函數(shù)。 ? 根據(jù)對稱點的傅立葉變換，可得余弦變換為： ? ??? ?? ??? 10 10 )12(2c o s)12(2c o s),(2),( Nx Ny vyNuxNyxfNvuF ??? 表為矩陣形式： TCfCF ?? 反變換為： ? ??? ?? ??? 10 10 )12(2c o s)12(2c o s),(2),( Nu Nv vyNuxNvuFNyxf ??? 反變換矩陣形式： FCCf T?? 歸一化 (使得基向量的模為 1)： ????????????????? ?? ?????????1,1,10,21)()()12(2c o s)12(2c o s),()()(2),()12(2c o s)12(2c o s),()()(2),(10101010NvuvuvCuCvyNuxNvuFvCuCNyxfvyNuxNyxfvCuCNvuFNuNvNxNy?????? 偶對稱偶函數(shù)的變換核的基函數(shù)正交 ? 核可分離 ? 余弦變換的能量向低頻集中 ? 上式歸一化后即為奇對稱函數(shù)的余弦變換： 0,122c o s122c o s),(?2),(0,0,),(?1),(10101010???????????????????? ?? ?????????vuvyNuxNyxfNvuFvuyxfNvuFNxNyNxNy??? 反變換： ? ??? ?? ??? 10 10 12 2c o s12 2c o s),(2),(? Nu Nv vyNuxNvuFNyxf ??? 這個變換同樣也是正交的和可分離的，可以用兩次一維變換來執(zhí)行 ? 正變換矩陣為： ???????????????????????NNNNNNNNNNNN2)1)(12(c o s2)1(3c o s2)1(c o s2)12(c o s23c o s2c o s2121212????????????? N=4時 ??????????????????2 7 5 5 7 6 5 7 7 5
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