【導讀】證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛。能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數。na是遞增數列,故存在正整數km?

　　

【正文】 ① 對任意 *,a b a b??N ，都有 )()()()( abfbafbbfaaf ??? ； ② 對任意 *n?N 都有 [ ( )] 3f f n n? . （ I）試證明： )(xf 為 *N 上的單調增函數； （ II）求 )28()6()1( fff ?? ； （ III）令 *(3 ),nna f n??N，試證明： .121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ 解析 :本題的亮點很多 ,是一道考查能力的好題 . (1)運用抽象函數的性質判斷單調性 : 因為 )()()()( abfbafbbfaaf ??? ,所以可以得到 0)()()()( ???? bfbaafba , 也就是 0))()()(( ??? bfafba ,不妨設 ba? ,所以 ,可以得到 )()( bfaf ? ,也就是說 )(xf 為 *N 上的單調增函數 . (2)此問的難度較大 ,要完全解決出來需要一定的能力 ! 首先我們發(fā)現條件不是很足 ,嘗試探索看看按 (1)中的不等式可以不可以得到什么結論 ,一發(fā)現就有思路了 ! 由 (1)可知 0))()()(( ??? bfafba ,令 )1(,1 fab ?? ,則可以得到 0))1())1(()(1)(( ??? fffxf ,又 3))1(( ?ff ,所以由不等式可以得到 3)1(1 ??f ,又 *)1( Nf ? ,所以可以得到 2)1( ?f ① 接下來要運用 迭代的思想 : 因為 2)1( ?f ,所以 3)]1([)2( ?? fff , 6)]2([)( ?? fff , 9)]3([)( ?? fff ② 18)]6([)9( ?? fff , 27)]9([)( ?? fff , 54)]18([)27( ?? fff , 81)]27([)54( ?? fff 在此比較有技巧的方法就是 : 2754275481 ???? ,所以可以判斷 55)28( ?f ③ 當然 ,在這里可能不容易一下子發(fā)現這個結論 ,所以還可以列項的方法 ,把所有項數盡可能地列出來 ,然后就可以得到結論 . 所以 ,綜合①②③有 )28()6()1( fff ?? = 662955 ??? (3)在解決 }{na 的通項公式時也會遇到困難 . nnnnnnn aafffffff 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([ 111 ????? ??? , 所以數列 *(3 ),nna f n??N的方程為 nna 32?? , 從而)311(41111 21 nnaaa ????? ? , 一方面41)311(41 ?? n,另一方面 1222)21(3 1100 ???????? nCC nnnn 所以 2412 241)12 11(41)311(41 ????????? n nn nnn,所以 ,綜上有 121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ . 例 49. 已知函數 f?x?的定義域為 [0,1]，且滿足下列條件： ① 對于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ，且 ??14f ? ； ② 若 1 2 1 20, 0, 1,x x x x? ? ? ?則有 ? ? ? ?1 2 1 2( ) x x f x f x? ? ? ? （ Ⅰ ）求 f?0?的值； （ Ⅱ ）求證： f?x?≤4； （ Ⅲ ）當111( , ]( 1,2,3, )33nnxn?? ? ???時，試證明： ( ) 3 3f x x??. 解析 : （ Ⅰ ）解：令 120xx??， 由 ① 對 于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ， ∴ (0) 3f ? 又由 ② 得 (0) 2 (0) 3,ff??即 (0) 3。f ? ∴ (0) ? （ Ⅱ ）解：任取 12, [0,1],xx? 且設 12,xx? 則 2 1 2 1 1 2 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 3 ,f x f x x x f x f x x? ? ? ? ? ? ? 因為 210xx??，所以 21( ) 3f x x??，即 21( ) 3 0,f x x? ? ? ∴ 12( ) ( )f x f x? . ∴ 當 x? [0,1]時， ( ) (1) 4f x f??. （ Ⅲ ）證明：先用數學歸納法證明：11( ) 3( *)33nnf n N??? ? ? （ 1） 當 n=1 時，00( ) (1) 4 1 3 3ff? ? ? ? ? ?，不等式成立； （ 2） 假設當 n=k 時，11( ) 3( *)33kkf k N??? ? ? 由11 1 1 1 1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 33 3 3 3 3 3 3k k k k k k kf f f f? ? ? ? ? ? ? ? 111( ) ( ) ( ) 6333kkkfff? ? ? ? 得111 1 13 ( ) ( ) 6 3 3k k kff??? ? ? ? 即當 n=k+1 時，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不 等式11( ) 333nnf ????對一切正整數都成立 . 于是，當111( , ]( 1, 2,3, )33nnxn?? ? ???時，111 1 13 3 3 3 3 ( )3 3 3n n nxf??? ? ? ? ? ? ?， 而 x? [0,1]， ??fx單調遞增 ∴111( ) ( )33nnff?? 所以，11( ) ( ) 3 x f x?? ? ? 例 50. 已知： 12 1, 0nia a a a? ? ? ? ? )21( ni ?? 求證： 22221121 2 2 3 1 1 12nnn n naaaaa a a a a a a a??? ? ? ? ?? ? ? ? 解析 :構造對偶式：令1212 132222121 aa aaa aaa aaa aAn nnn n ????????? ? ?? 1211232232122 aa aaa aaa aaa aBnnnn ??????????? 則1212122 1322322212221 aa aaaa aaaa aaaa aaBAnnnnnn ????????????????? ＝ BAaaaaaaaa nnn ??????????? ? ,0)()()()( 113221 ? 又 ? )(2122 jiji ji aaaa aa ???? （ )2,1, nji ?? 1212122 1322322212221 )(21)(21 aa aaaa aaaa aaaa aaBAAnnnn nn ??????????????????? ? ?21)()()()(41 113221 ?????????? ? aaaaaaaa nnn? 十一 、 積分放縮 利用定積分的保號性比大小 保號性是指，定義在 ? ?,ab上的可積函數 ? ? ? ?0fx??，則 ? ? ? ?0ba f x dx???. 例 ： e e??? . 解析 : ln lne eee? ?? ?? ? ?， ∵ ln ln ln lneee x xde x x? ??? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??21 lne xdxx? ???， ? ?,xe?? 時， 21 ln 0xx? ? ， 21 ln 0e xdxx? ? ?? ， ∴ ln lnee?? ?， e e??? . 利用定積分估計和式的上下界 定積分產生和應用的一個主要背景是計算曲邊梯形的面積，現在用它來估計 小矩形的面積和 . 例 52. 求證： ? ?1 1 11 2 1 123 nn? ? ? ? ? ? ?， ? ?1,n n N??. 解析 : 考慮函數 ? ? 1fxx?在區(qū)間 ? ?,1ii? ? ?1,2,3, ,in? 上的定積分 . 如圖，顯然 11 1 11 ii dxi i x?? ? ? ?① 對 i 求和， 111nniiii dxix??????? 11 1n dxx??? 112 nx ??????? ?2 1 1n? ? ? . 例 53. 已知 ,4n N n??.求證： 1 1 1 1 71 2 3 2 1 0n n n n? ? ? ? ?? ? ?. 解析 :考慮函數 ? ? 11fx x? ?在區(qū)間 1,iinn???????? ?1,2,3, ,in?上的定積分 . ∵ 1ni? 111 inn???1 11inin dxx?? ??② ∴1 1ni ni? ??1111ni in n?????11 11in nii n dxx??? ??? ? ?1 100 1 ln 11 d x xx? ? ??????? 7l 2 10??. 例 54. （ 2020 年全國高考江蘇 卷 ）設 0a? ，如圖，已知直線 axyl ?: 及曲線 C ： 2xy? ， C上的點 1Q 的橫坐標為 1a （ aa??10 ） .從 C 上的點 ? ?1nQn? 作直線平行于 x 軸，交直線 l 于點 1?nP ，再從點 1?nP 作直線平行于 y 軸，交曲線 C 于點 1nQ? . ? ?1,2, ,nQ n n? 的橫坐標構成數列 ??na . （ Ⅰ ）試求 1na? 與 na 的關系，并求 ??na 的通項公式； （ Ⅱ ）當21,1 1?? aa時，證明 ?? ?? ??nk kkk aaa1 21 321)(； （ Ⅲ ）當 1a? 時，證明121 1()3n k k kk a a a??? ???. 解析 : 121()nn aaaa ??（過程略） . 證明（ II）： 由 1a? 知 21nnaa?? ， ∵1 12a?， ∴2311,4 16aa??. ∵ 當 1k? 時，23116kaa? ??， ∴1 2 1 1 1111 1 1( ) ( ) ( )1 6 1 6 3 2nnk k k k k nkka a a a a a a? ? ? ???? ? ? ? ? ???. 證明（ Ⅲ ）： 由 1a? 知 21kkaa?? . ∴ 21 2 1 1( ) ( )k k k k k ka a a a a a? ? ? ?? ? ?恰表示陰影部分面積， 顯然 12211() kkak k k aa a a x dx??????④ ∴21 2 1 111( ) ( )nnk k k k k kkka a a a a a? ? ? ???? ? ???1 21 kkn aak xdx????? 1 20axdx?? 311133a??. 奇巧積累 : 將定積分構建的不等式略加改造即得 “初等 ”證明，如： ① 111ii dxix???? ? ?21ii? ? ?； ② 1ni? 1 11inin dxx?? ?? 1ln 1 ln 1iinn?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； ③121sin sin1 siniii??? ????1sin 12sin 11ii iidxx?? ??? ?? ? ???； ④ ? ?12 2 3 31 1 11() 3kkak k k k kaa a a x d x a a?? ? ?? ? ? ??. 十二 、 部分放縮 (尾式放縮 ) 例 : 74123 1123 113 1 1 ????????? ?n? 解析 : 1211 23 123 12811123 17141123 1123 113 1 ??? ???????????????????? nnn ??? 7484488447211 41312811 ??????? 例 56. 設 ???ana 211 .2,131 ??? an aa ?求證： .2?na 解析 : ???ana 211 .131211131 222 nn aa ??????? ?? 又 2),1(2 ????? kkkkkk （只將其中一個 k 變成 1?k ，進行部分放縮），kkkkk 111)1( 112 ??????， 于是 )111()3121()211(1131