第31講不等式性質及證明-資料下載頁
2025-06-29 16:36本頁面
【正文】 ，a2＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a2，當a=0或a=1時，x∈。點評：此題考查不等式的證明及分類討論思想。題型5：課標創(chuàng)新題例9．（06上海理，12）三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”；丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”；參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 。答案：a≤10。點評：該題通過設置情景，將不等式知識蘊含在一個對話情景里面，考查學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力。例10．（06湖南文，20）在m（m≥2）個不同數的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj（即前面某數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數。（Ⅰ）求aa5，并寫出an的表達式；（Ⅱ）令，證明，n=1,2,…。解 （Ⅰ）由已知得。（Ⅱ）因為，所以.又因為，所以 =。綜上。點評：該題創(chuàng)意新，知識復合到位，能很好的反映當前的高考趨勢。五．思維總結1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；（2）綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。3．幾個重要不等式（1）（2）（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數，那么 （當僅當a=b時取等號）最值定理：若則：如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最小；如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大； 注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應根據題目創(chuàng)設情境；還要注意選擇恰當的公式；“和定 積最大，積定 和最小”，可用來求最值；均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。（當僅當a=b=c時取等號）；（當僅當a=b時取等號）。歡迎下載
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