【正文】 提出兩個問題：(1) 離散小波系數(shù) 完全特征化 嗎？,mnf???f(2) 任一函數(shù) 能寫為“基本建筑塊” 的一種疊加嗎？,mn?對于參數(shù)離散化的子波基函數(shù)，有小波系數(shù) ，所以只要能, ,()nCfxd??找到 ， ，信號的重建0a()x? （238）,()mnfCx???b、提到重構(gòu)（完全特征化） ，必須提到小波框架的概念，為了由f得到一個數(shù)值穩(wěn)定的重構(gòu)算法，要求 構(gòu)成一個框架。如果 構(gòu),mnf??? ,mn?,mn?成一個框架，可求得由 重構(gòu) 的一個算法。對于這個算法框架界的比,mnf???f是重要的。由小波系數(shù) 所代表的能量 滿足, ,()mnnCfxd?? 2,mnC? （22,xxnAEBE??39）其中， 是信號 的能量，A,B 稱為框架界。xfc、規(guī)范正交小波若 ，其他情況結(jié)果為 0，這種情況即正39。 39。39。,()1(,)mndmn???交歸一。則任意信號可以表示成 （240）??,()nmfxCx? 多分辨分析(1) 尺 度 函 數(shù) 的 概 念尺 度 函 數(shù) 經(jīng) 過 平 移 得 到 的 函 數(shù) 定 義 為 ：()kt?k , ； (241))??z?2L?若信號 可以由 線性表示，則存在()xt(kt (242))ka??若由尺度函數(shù) 經(jīng)過平移和壓縮而得到的不同尺度 下的尺度函數(shù)(t?j定義為:()kt? (243)2,()()jjjkttk???,jz?一般來說，以 來表示分辨率， 越大（尺度 值越小，說明信j 12jja?號波形被壓縮的越厲害） ，分辨率越高?？梢苑治鲋溃寒?dāng) 時，即尺度減小一半，信號波形被壓縮一半，則分辨率提高了一倍。1j??當(dāng) 時，則分辨率 。j??當(dāng) 時，即尺度增大一半，信號波形被伸展一半，則分辨率下降了一倍。1?當(dāng) 時，則分辨率 。j 0由于信號 在時域上比 更窄，所以 可以表達更多的信號，,()jkt?1,()jkt??,()jkt?也就是說 所構(gòu)成的信號空間 要比信號 所構(gòu)成的信號空間 大。,j jV1,j? 1jV?用數(shù)學(xué)表達式可以表示成 ； 1jj??jz?同樣就得到： (244)21012. .VVV??? ??由上式容易知道，由高分辨率尺度信號所構(gòu)成的信號空間包含了低分辨率尺度信號所構(gòu)成的信號空間。也就是說：若存在 ()jxt?則必存在 1jV?這表明，如果信號 可以由尺度函數(shù) 線性表達，那么這個信號()xt ,()jkt??必然也可以由 線性表達。簡單的說，就是低分辨率信號可以由高分()xt,jk?辨率信號線性表達。（2）由尺度函數(shù)到多分辨分析由以上分析， （245） ??0()2()nthtn?????其中， 是尺度濾波器（scaling filter）單位脈沖響應(yīng)。根據(jù)信號空間??0hn的概念，尺度函數(shù)可以定義小波函數(shù) ，而后再由小波函數(shù) 經(jīng)過平移和()t?()t?尺度展縮得到小波信號 （246）2,()jjjktk??,jz?小波信號 設(shè)計為尺度信號 的正交信號，即：,()jkt?,()jkt? （247）,()()0jkjjkjlttd???,jlz定義： ，1jjjWV????jjV??則可以得到： （ 表示正交和） (248)1jjj??若小波函數(shù) 且 ，則 ，由于小波函數(shù) 屬于尺度函數(shù)0()t??V1()t??()t?張成的信號空間 ，說明 可以由 線性表示。這就是小波(2tk??1(2)tk??函數(shù) 的多分辨分析方程：) (249)??1(2()nthtn?????z其中， 為小波函數(shù)系數(shù)若尺度函數(shù) 與小波函數(shù) 滿足正交性 即()t()t? (250)0kd????則小波函數(shù)系數(shù) 與尺度函數(shù)系數(shù) 滿足??1hn??0hn (251)0()當(dāng)為有限長序列，且長度 N 為偶數(shù)時，則有 (252)????10()1nh??（3） 的多分辨逼近2LR用 表示所有能以 分辨率逼近 空間函數(shù)的集合，為 的子空間：jVj 2()LR2()LR2()jLR?令 （j=….2,1,0,1,2,…）是 中一個函數(shù)子空間序列，則滿足以下條jV2()LR件性質(zhì)：1) 單調(diào)性： 11..jjjV???jz?2) 逼近性： ，??0jz???2()jzLR??3) 伸縮性： ()jft1()jft??4) 平移不變性： 0V0k?滿足以上性質(zhì)的空間集合稱為以不同分辨率 的 的多分辨逼近。2j()LR對存在 ，2()ftLR? （253）/2/2,()()jjjjjnCftfuntn?????????即原信號 的分辨率為 的逼近。()ftj把 分解于 規(guī)范正交基的一組系數(shù)，就是上述內(nèi)積所表示的那樣，以j jV記之，,jkCf （254）/2,(),()jjjk nzfu?????稱為 的分辨率為 的離散逼近。)tj（4）原始信號的分解及電力系統(tǒng)干擾的檢測1） 對于原始信號分解的概念，可以理解成使此原始信號通過一帶限濾波器，得到信號的粗分辨逼近（粗略信息） ，這部分其實就是尺度信號 ，與,()jkt?原信號的差是喪失了一部分高頻分量（精細信息） ，這部分是小波信號 所,j?以原始信號=“粗略信息”+“精細信息”而精細信息可以采用高通濾波器來獲得。分解過程如圖 23：信號 ()ft低通濾波器高通濾波器粗略信息精細信息圖 23所以信號的小波分解，就是把一個混頻信號分解為若干個互不重疊的頻帶的信號，這樣就完成了濾波和檢波的功能。如果再對低頻部分（粗略信息）進行小波分解，又可獲得粗略部分的“粗略信息”和“精細部分” ，以此類推，將對信號逐層分解。由以上分析，原始信號 分解為粗略部分和精細部分，并且通過不同帶()ft寬的帶通濾波器（高通濾波器和低通濾波器） ，依次分離下去，便可以從原始信號 中區(qū)分出干擾，從而能單獨的分析它們。()ft 可以設(shè) 是原始信號 的離散逼近，利用多分辨技術(shù)（分辨率分別0()()ft為 =1,1/2,1/4,1/8…）,在尺度 1 分解信號是 和 ，其中 和2j? 1()1d1()是 小波交換系數(shù)的正交信號的粗略部分和精細部分。它們定義：1()d0c （255）100()(2)(knhnck??? （256）1d式子中的 ， 是相關(guān)的濾波器。下一級分解是以 為基礎(chǔ)，信號的0()hn1 1()二度分解為： （257）201()(2)(kchnck?? （258）1dn?高尺度分解如上述方法。多分辨分析（MSD）可以用下圖 24 描述：0()0()h1()2 抽取2 抽取0()hn1()2 抽取2 抽取dn圖 24 多分辨分析圖解圖 24 表明，信號 用 和 分解為 和 ，這些濾波器使0()0h1()n1()c1dn用分析信號 確定小波。如果選擇系數(shù)為 4 的濾波器 和 ，那一個0()c 0h()用的是叫 4 濾波系數(shù)的 Daubechies 小波（簡稱 Daub4） 。濾波器 和 形01()hn成一個尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 的族，所以就得到（ 245）式()t?()t?和（249）式 。由于因數(shù) 2??0()2nthn??????12()nthtn????的分樣，因此 和 的分析時間僅是 的一半。如果 有 N 個采樣1()c1d0()c0c點，那么信號 和 在同一個觀察周期，將有 N/2 個采樣點。n在時間上對干擾的定位非常明了，因為它僅使用了一個濾波器和一次二分樣。 （255）和（256）中檢測和定位的物理過程被描述為 （259）11,()()()2ntftfnd?????????? （260）11,()()()ntdftf??????其中 ，這里 被認為是仿造的信號，00,nnnftctct?????()ft是由尺度函數(shù)在尺度為 0 時的 的線性組合，這樣一來，一些干擾在()也像在 里出現(xiàn)一樣。代入（245）和（249 ）到（259）和（260）0()()ft產(chǎn)生 （261）10()()(2)kfthtnk?????? （262） 1dn?（261）中， 是低通濾波器，所以 是采樣的正交信號 的粗略部0()h1()0()分， （262）中， 有意帶通濾波響應(yīng)，所以 只包含了信號 的高頻1n1d部分。正交信號 被分解成粗略部分 和精細部分 。精細部分0()c1()c1()清楚的指出了干擾事件的發(fā)生情況，這就達到了檢測干擾的作用。1()dn3基于小波變換的諧波電能測量及 MATLAB 仿真從第二章的小波變換的分析理論中，對給定的原始信號可以分解成含有其成分的的小波級數(shù)，這些級數(shù)代表在特殊時間和特殊頻帶上的原始信號的分量。然而在電能測量中，實時電壓（電流）采樣點序列進行正交小波變換，由于每個電壓（電流）的子帶都定義在時頻域中，因此在通過電壓（電流）的各子帶分量小波變換系數(shù)計算各分量功率。在三相電力系統(tǒng)中，每相功率和電能的分量在各個小波級上被累加（因為各子帶成分是正交的）就是電壓（電流）的總平均功率。 用來產(chǎn)生小波變換的的對偶高通和低通濾波器的滑離特性對導(dǎo)出的各個子頻帶（小波級數(shù)）的精度起著決定性的作用。因為 IIR 濾波器的性能比同等復(fù)雜的 FIR 類的濾波器性能優(yōu)越，所以使用 IIR 濾波器就可以很好的將原始信號按頻率分成不同的小波級數(shù)。根據(jù)正交基的歸一性，并由 和 的分解關(guān)系可以得到：??，其中 （31）12j jkkndgc????2(1),knjkjng???，期中 （32）j jnch()jjh對于給定的函數(shù) 的小波系數(shù)在第二章中已經(jīng)敘述。那么在 時段和 級上的f kj小波系數(shù)是 （33）,21,21,jkjkknjnknjdfgfgc???????? （34）, , ,jj j jnnchh??所以對于給定的電壓信號 和電流信號 ，可以分解為()vt()it （35）00, ,1()()jj jkkjvtctdt????其中， ，00,jkjkvt???,()jkjkvt??? （36）039。 39。, ,1()()jj jkkjitctdt????其中， ，0039。 ,jkjkit???39。 ,()jkjkit???尺度 表示經(jīng) 級分解后從原始信號中可分解出的基波分量。小波多分辨率信0j0j號分解的計算原理如圖 310()hk2 抽取 0()hk2 抽取 0()hk2 抽取1()hk2 抽取1()k2 抽取 12 抽取圖 31 小波多分辨率信號分解的計算原理圖反過來，可以由 得到基波分量和 得到諧波分量，重構(gòu)原信號 。jkcjkdf 電能的計算小波函數(shù)和尺度函數(shù)的正交性質(zhì)，得到電壓、電流有效值和功率的計算公式：， ， （37）201()TrmsIitd??201()TrmsVvtd??01()TPitvd??根據(jù)（35）和（36）代入上式： （38）??0 00239。2239。 20221()()Tj jrms kkjjjIitdcdIT??????? （39）0 0039。 39。0()Tj jkkjjjPitv P????? （310）0039。 39。jkkjWitdcd??這里， 是最低頻帶的有效值， 是每個子頻帶或小波分解層 （小于0jI ??jI j）的有效值； 是最低頻帶的功率值， 是每個子頻帶或小波分解層0j0jPjP（小于 ）的功率值。0j 諧波功率的定義 （311） 1()siniutUwt??? （312）1()()jjtIt???11()()jjiutUwtIt??????12i.()iiItt??1,2sin.()j jjiUIwtt??????? （313）式（31