【正文】 關(guān)系式 通過相關(guān)系數(shù)法，經(jīng)公式計算得出相移量后再代入上式，即可恢復(fù)出待測相位。 干涉極值法由上述分析可知，在兩步相移干涉測量中，濾除背景項(xiàng)的兩幅相移干涉圖分別表示為 k為像素點(diǎn)的坐標(biāo)，且待測相位與相移量之間的關(guān)系為 只要確定相移量的值，就能夠由公式(431)恢復(fù)出待測相位。干涉極值法(Extreme Value of Interference, 簡稱EVI)是指在干涉圖中的尋找干涉的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，然后利用這些特殊像素點(diǎn)，確定相移干涉圖之間的相移量，進(jìn)而根據(jù)公式(431)求解待測相位的方法。下面介紹干涉極值法的原理。由公式(429)和(430)，可以得到 在第一幅濾波后的干涉圖中尋找干涉極值點(diǎn)，記為，在第二幅濾波后的干涉圖中相對應(yīng)的像素點(diǎn)的所記錄光強(qiáng)記為。因?yàn)樵诟缮鏄O值（EVI）（極大值或極小值）處，待測物體在該像素點(diǎn)的的相位φEVI= 2mπ 或 (2m+1)π，因此，相移量可由下公式求得 在實(shí)際情況中，所采集到的干涉圖受到各種噪聲和調(diào)制幅度bk不均勻的影響，僅用一個干涉極值（極大值或極小值）計算相移量時，所得到的結(jié)果會存在較大誤差，作者使用多個干涉極值分別計算相移量并求其平均值來降低誤差。假設(shè)在第一幅濾波后的干涉圖中找到了P個光強(qiáng)極大值像素點(diǎn)和V個光強(qiáng)極小值像素點(diǎn)，在干涉圖中對應(yīng)的像素位置分別是p1，p2，…，pP 和v1，v2，…，vV。兩幅干涉圖之間的相移量可由以下公式得到 由公式(434)求解出相移量后，再將其代入公式(431)恢復(fù)待測相位。 本文提出的兩步相移算法由上述分析可知，去除背景直流項(xiàng)的兩幅相移干涉圖可以表示為 且相移量與待測相位的關(guān)系為 在原GS算法的基礎(chǔ)之上，本文提出了一種改進(jìn)的施密特正交化兩步相移算法(Improved GramSchmidt Orthonormalization,簡稱IGS)。改進(jìn)的方法先通過施密特正交化中的兩向量的關(guān)系來提取干涉圖之間的相移量，并通過公式(436)恢復(fù)待測相位。下面介紹該算法提取相移量的過程。首先計算第一幅濾波后的干涉圖的模 根據(jù)施密特正交化的步驟，計算得出未歸一化的正交向量 其中，M和N分別表示干涉圖的行數(shù)與列數(shù)。該IGS算法是在原有的GS算法的原理基礎(chǔ)之上進(jìn)行改進(jìn)，因此依然使用了其限制條件：干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強(qiáng)表達(dá)式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。在這一條件下，有以下近似: 結(jié)合公式(437)和(439)式，可將公式(438)簡化為： 結(jié)合公式(437)和(440)式，計算公式(441)中的模，可得： 由公式(442)可知，相移量可由反正弦函數(shù)求出： 接著將上式求出的相移量代入公式(436)即可恢復(fù)待測相位。通過上述的GS算法與IGS算法的原理分析可以看出：IGS算法是在施密特正交化的基礎(chǔ)上先提取相移量，再恢復(fù)待測相位。與原來的GS算法恢復(fù)相位的過程相比，IGS算法在保持原GS算法精度的情況下，省去向量的歸一化過程。在原GS算法的原理分析中可以看出：歸一化的過程需要的計算量與干涉圖的像素尺寸成正比關(guān)系，尺寸越大或像素點(diǎn)越多，所需要的計算量越大，計算越耗時。因此，當(dāng)干涉圖尺寸較大或像素點(diǎn)較多時，IGS算法較之原GS算法所省去的計算量就越大，計算速度提升的效果越明顯。在第二章中，本文提出了基于內(nèi)積之比的相移提取算法，該算法既可以計算多幅干涉圖之間的相移量，又可以用于計算兩幅干涉圖之間的相移量。由上節(jié)的分析可知，兩幅濾除去背景項(xiàng)的相移干涉圖，其待測相位與相移量的關(guān)系為 若將相移量代入上式中，即可求出待測相位。因此在此相移量提取算法的基礎(chǔ)上，本文提出了基于內(nèi)積之比的兩步相移恢復(fù)相位的算法(Ratio of Inner Products, 簡稱RIP)。下面介紹該兩步相移算法恢復(fù)相位的原理。首先利用高斯高通濾波器濾除兩幅相移干涉圖中的背景項(xiàng)，得到 其次計算濾波后的干涉圖的內(nèi)積，得到 若干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強(qiáng)表達(dá)式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。在這一條件下，有以下近似條件: 結(jié)合近似條件，將公式(447)簡化為 由上式可知，相移量可由反余弦函數(shù)求得 最后將提取到相移量的值，代入到公式(444)的反正切函數(shù)中即可恢復(fù)待測相位。 不同兩步相移算法的比較與分析 計算機(jī)模擬為了驗(yàn)證本文所改進(jìn)的施密特正交化算法(IGS)與所提出的內(nèi)積之比算法(RIP)的有效性與精度，本文根據(jù)相移干涉圖的光強(qiáng)表達(dá)式模擬了兩幅干涉圖，像素大小為512512pixels，如圖41所示。模擬干涉圖的各參數(shù)設(shè)置為：背景項(xiàng)a(x,y)=120exp[(x2+y2)]，調(diào)制幅度b(x,y)=100exp[(x2+y2)]，待測相位φ(x,y)=5exp[(x2+y2)]+(512)，其中，函數(shù)“peaks”為軟件MATLAB中的歸一化峰函數(shù)，坐標(biāo)范圍： mm ≤ x,y ≤ mm，兩幅相移干涉圖之間的相移量θ=1 rad。同時，在模擬干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。預(yù)設(shè)相位的包裹值(REF)，如圖42(a)所示。圖41 模擬的兩幅相移干涉圖，(ab)之間的相移量為1rad。分別使用RIP與IGS算法對兩幅模擬的干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，恢復(fù)的相位如圖42(bc)所示。并將其結(jié)果與預(yù)設(shè)相位值(REF)進(jìn)行比較。與此同時，本文使用其他幾種兩步算法(GS、EVI、CC)對這兩幅模擬干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，其結(jié)果分別如圖42(df)。以上幾種兩步相移算法均使用高斯高通濾波器對兩幅模擬干涉圖進(jìn)行濾除背景項(xiàng)。 rad的干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，所恢復(fù)的相位如圖42(g)所示。圖42 不同算法對模擬干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位的結(jié)果。(a)模擬預(yù)設(shè)參考值包裹相位，(b)RIP算法恢復(fù)的相位，(c)IGS算法恢復(fù)的相位，(d)GS算法恢復(fù)的相位，(e)EVI算法恢復(fù)的相位，(f)CC算法恢復(fù)的相位，(g)AIA算法恢復(fù)的相位。與此同時，本文將這幾種算法進(jìn)行恢復(fù)相位的運(yùn)算時間（不包括濾除背景項(xiàng)所用的時間）與其均方根誤差進(jìn)行比較，如表41所示。從表中可以得出，在精度方面，幾種兩步相移算法的均方根誤差相當(dāng)，而AIA算法的精度最高；在速度方面，RIP與IGS比其他幾種兩步相移算法的運(yùn)算時間少，而AIA算法的運(yùn)算時間最長。由上述分析可知，RIP與IGS算法與其他兩步相移算法相比，在速度上有一定的優(yōu)勢，精度上也與其保持相當(dāng)?shù)乃?。另外?rad、 rad，該結(jié)果與模擬預(yù)設(shè)的相移量值1 rad非常接近。表41 不同算法對模擬干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)的運(yùn)算時間和均方根誤差對比RIPIGSGS EVICCAIATIME (s)RMSE (rad) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論為了進(jìn)一步驗(yàn)證RIP與IGS算法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性，將其應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)中所采集到的干涉圖。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為基于馬赫曾德干涉光路的同軸相移干涉系統(tǒng)，其示意圖和光路圖分別如圖43(ab)所示。實(shí)驗(yàn)中的光源為HeNe激光器， nm。激光器發(fā)射的光束經(jīng)分束鏡BS1分成兩束，其中一束光被反射鏡M1反射，再經(jīng)過顯微物鏡，形成物光波；另一束光被反射鏡M2反射，并經(jīng)過擴(kuò)束鏡BE后，作為參考光波。反射鏡M2 被固定在壓電陶瓷微位移器PZT上，用來實(shí)現(xiàn)參考光的相移。這兩束光經(jīng)分束鏡BS2再次結(jié)合后，在CCD記錄面上產(chǎn)生干涉。干涉圖由CCD采集記錄并傳輸?shù)接嬎銠C(jī)上。圖44(ab)為實(shí)驗(yàn)中在無物體放置的情況下采集到的兩幅相移干涉圖，圖45(cd)為放置待測物體的情況下采集到的兩幅相移干涉圖，圖像大小均為200200 pixels，單個像素尺寸為10 μm10 μm。實(shí)驗(yàn)中的待測物體是螺旋相位板，廠家為RPC photonics., 型號為VPP1c，待測高度為 1536 nm。由模擬結(jié)果可知，AIA算法與本文中所述的幾種兩步相移算法相比，雖然其運(yùn)算時間最長，但在精度上卻比這幾種兩步相移算法的精度高出一個數(shù)量級，因此在本文實(shí)驗(yàn)中比較兩步相移算法的精度時，本文將AIA算法迭代計算50幅實(shí)驗(yàn)相移干涉圖所恢復(fù)的相位作為參考相位(REF)，如圖45(a)、圖46(a)所示。圖43(a) 同軸相移干涉測量系統(tǒng)示意圖。圖43(b) 同軸相移干涉測量系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)光路圖。圖44實(shí)驗(yàn)中采集到的干涉圖。(ab) rad，為無物體時采集的干涉圖；(cd) rad，為有物體時采集的干涉圖。與模擬計算的過程相似，本文使用RIP和IGS算法對兩組實(shí)驗(yàn)干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，同時也給出了GS、EVI和CC算法對兩組干涉圖進(jìn)行計算所恢復(fù)的相位，各算法所得的結(jié)果分別如圖45(bf)、圖46(bf)所示。另外，通過RIP和IGS算法計算得到圖44(ab)與圖44(cd) rad, IGS算法計算得到圖44(ab)和圖44 (cd) rad，該結(jié)果與AIA算法計算得到圖44(ab)和圖44 (cd) rad非常接近。表42展示了四種兩步相移算法進(jìn)行相位恢復(fù)的運(yùn)算時間（不包括高斯高通濾波的運(yùn)算時間）及其恢復(fù)的相位與參考值(AIA算法所得)之間的差值的均方根 (RMSE)。從表42中可以看出，與模擬計算的結(jié)果基本一致：在精度方面，RIP與IGS算法恢復(fù)相位的精度與GS、EVI、CC算法的精度相當(dāng)；在運(yùn)算速度上，RIP與IGS算法優(yōu)于其他三種算法。由計算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知，在兩步相移干涉測量中，RIP與IGS均適合應(yīng)用于恢復(fù)相位與提取相移量。圖45不同算法對無物體時的實(shí)驗(yàn)干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位的結(jié)果。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復(fù)的相位，(c)IGS算法恢復(fù)的相位，(d)GS算法恢復(fù)的相位，(e)EVI算法恢復(fù)的相位，(f)CC算法恢復(fù)的相位。圖46不同算法對有物體時的實(shí)驗(yàn)干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位的結(jié)果。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復(fù)的相位，(c)IGS算法恢復(fù)的相位，(d)GS算法恢復(fù)的相位，(e)EVI算法恢復(fù)的相位，(f)CC算法恢復(fù)的相位。表42 不同算法對實(shí)驗(yàn)干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)的運(yùn)算時間和均方根誤差對比RIPIGSGS EVICCTIME (s)RMSE (rad) (without object)RMSE (rad) (with object)第五章 影響兩步相移算法精度的因素分析 現(xiàn)有的濾除干涉圖背景項(xiàng)的方法目前所有的兩步相移算法，均需要預(yù)先去除干涉圖的背景項(xiàng)。因此，對背景項(xiàng)的濾除能力是提高待測相位精度的重要環(huán)節(jié)。目前常見的濾除干涉圖背景項(xiàng)的方法有：高斯高通濾波法、時域平均法、逐點(diǎn)遍歷法和差分法（三步施密特正交化法[63]）。其中本文中使用的濾波方法是高斯高通濾波法，該方法比較簡便，是兩步相移算法中常用的濾波方法。下面分別介紹這幾種濾除背景項(xiàng)的原理，并結(jié)合兩步相移算法，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式比較各方法濾除背景項(xiàng)的效果。. 高斯高通濾波法在數(shù)字圖像處理中，高斯高通濾波器的傳遞函數(shù)為 其中，u, v 代表頻域坐標(biāo)，代表濾波窗口的大小。是相應(yīng)的高斯低通濾波器的傳遞函數(shù)。高斯低通濾波器是一種平滑濾波器，高斯高通濾波器是由高斯低通濾波器的差分構(gòu)成，被高斯低通濾波器衰減的頻率能通過高斯高通濾波器。而干涉圖的背景項(xiàng)是平滑直流項(xiàng)，為低頻信息，可以被高斯高通濾波器濾除掉。一般來說，本文選擇濾波窗口大小是，在這個濾波窗口的取值范圍附近可以較高效率地濾除干涉圖的背景項(xiàng)。. 時域平均法在相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的每個像素點(diǎn)的光強(qiáng)可以表示為 若我們在一個相移周期內(nèi)采集到足夠多的相移干涉圖，那么可以對N幅相移干涉圖進(jìn)行求和操作。因?yàn)槿呛瘮?shù)在整周期內(nèi)求和的值為0，于是可以求得干涉圖的背景項(xiàng) 使用相減的方式，便可以濾除干涉圖的背景項(xiàng)。. 逐點(diǎn)遍歷法我們在一個相移周期內(nèi)采集到足夠多的相移干涉圖，那么可以從時域變化的光強(qiáng)中逐像素點(diǎn)地確定出干涉圖中每一個像素點(diǎn)的光強(qiáng)最大值和最小值，其值分別為 由上式聯(lián)立可得 同樣的，使用相減的方式，便可以濾除干涉圖的背景項(xiàng)。. 差分法如果將三幅任意相移量的相移干涉圖中的第一幅與第二、三幅相減，則可以濾除干涉圖中的背景項(xiàng)并得到兩幅差分圖像，以這兩幅差分圖像做為兩步相移算法中的濾除背景項(xiàng)的干涉圖，利用施密特正交歸一化方法從兩幅差分圖像中得到兩個正交信號，然后再通過一個反正切函數(shù)即可恢復(fù)待測相位。其原理如下：這三幅干涉圖的光強(qiáng)分別表示為 將第一幅干涉圖與第二幅、三幅干涉圖分別相減，得到兩幅差分圖像可表示為 其中，為簡單明了，省去了坐標(biāo)。這兩幅差分圖像幾乎不包含相移干涉圖的背景項(xiàng)。，對兩個差分圖像進(jìn)行施密特正交歸一化的操作，則可得到兩個歸一化的正交向量 若干涉圖中的條紋數(shù)多于1個，則有近似條件 那么待測相位可由下式求得 該方法得到的相位比實(shí)際相位多了一個整體平移項(xiàng)，但這并不影響待測相位的三維形貌的測量。 各濾波方法的對比(由之前的結(jié)果可知，該相移序列的相移量均勻分布在[0, 6] rad之間)，分別使用上述方法濾除干涉圖的背景項(xiàng)，并選取兩幅濾波后的干涉圖，使用RIP兩步相移算法對其進(jìn)行恢復(fù)相位，計算時間（濾波和恢復(fù)相位的總時間）及其均方根誤差（AIA算法迭代計算所得的相位作為參考相位）如表51所示。從表中我們可以得出：在運(yùn)算速度方面，由快到慢分別為差分法、高斯高通濾波法、時域平均法和逐點(diǎn)遍歷法；在精度方面，由高到低分別為逐點(diǎn)遍歷法、時域平均法、差分法和高斯高通濾波法。同時，由各方法的原理分析我們可知，應(yīng)用于