20xx金華中考數(shù)學(xué)試卷及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-28 07:24本頁(yè)面
【正文】 該拋物線過(guò)點(diǎn)B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，求AC的長(zhǎng)．②如圖2，若BD=AB，過(guò)點(diǎn)B，D的拋物線L2，其頂點(diǎn)M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）如圖3，若BD=AB，過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線L3，頂點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的值，并直接寫(xiě)出的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出AC的長(zhǎng)；②作拋物線L2的對(duì)稱(chēng)軸與AD相交于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），求出的值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值．【解答】解：（1）①二次函數(shù)y=x2，當(dāng)y=2時(shí)，2=x2，解得x1=，x2=﹣，∴AB=2．∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴BC=AB=2，∴AC=4．②作拋物線L2的對(duì)稱(chēng)軸與AD相交于點(diǎn)N，如圖2，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性，得BN=DB=，∴OM=．設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣）2，由①得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），∴2=a（﹣）2，解得a=4．拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=4（x﹣）2；（2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，at2），根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x﹣4t），∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），∴at2=a3t（t﹣4t），∵t≠0，∴=﹣，由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，﹣4a3t2），則﹣4a3t2=ax2，解得，x1=﹣t，x2=t，EF=t，∴=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式、掌握拋物線的對(duì)稱(chēng)性、正確理解拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵． 24．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限．現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG．（1）如圖2，若α=60176。，OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達(dá)式．（2）若α為銳角，tanα=，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEFG的面積．（3）當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P，△OEP的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】（1）先判斷出△AEO為正三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可；（2）判斷出當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小，用勾股定理計(jì)算即可；（3）由△OEP的其中兩邊之比為：1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，EF與y軸的交點(diǎn)為M．∵OE=OA，α=60176。，∴△AEO為正三角形，∴OH=3，EH==3．∴E（﹣3，3）．∵∠AOM=90176。，∴∠EOM=30176。．在Rt△EOM中，∵cos∠EOM=，即=，∴OM=4．∴M（0，4）．設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+4，∵該直線過(guò)點(diǎn)E（﹣3，3），∴﹣3k+4=3，解得k=，所以，直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=x+4．（2）如圖2，射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα）．無(wú)論正方形邊長(zhǎng)為多少，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上，∴當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小．在Rt△AOE中，設(shè)AE=a，則OE=2a，∴a2+（2a）2=62，解得a1=，a2=﹣（舍去），∴OE=2a=，∴S正方形OEFG=OE2=．（3）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m．當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí)．如圖3，當(dāng)P與F重合時(shí)，△PEO是等腰直角三角形，有=或=．在Rt△AOP中，∠APO=45176。，OP=OA=6，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，6）．在圖3的基礎(chǔ)上，當(dāng)減小正方形邊長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；當(dāng)增加正方形邊長(zhǎng)時(shí)，存在=（圖4）和=（圖5）兩種情況．如圖4，△EFP是等腰直角三角形，有=，即=，此時(shí)有AP∥OF．在Rt△AOE中，∠AOE=45176。，∴OE=OA=6，∴PE=OE=12，PA=PE+AE=18，∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣6，18）．如圖5，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，延長(zhǎng)PG交x軸于點(diǎn)H．設(shè)PF=n．在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，當(dāng)=時(shí)，∴PO2=2PE2．∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP，∴=，∴AH=4OA=24，即OH=18，∴m=9．在等腰Rt△PRH中，PR=HR=PH=36，∴OR=RH﹣OH=18，∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（﹣18，36）．當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時(shí)，如圖6，P與A重合時(shí)，在Rt△POG中，OP=OG，又∵正方形OGFE中，OG=OE，∴OP=OE．∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（﹣6，0）．在圖6的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)減小時(shí)，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；當(dāng)正方形邊長(zhǎng)增加時(shí)，存在=（圖7）這一種情況．如圖7，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，設(shè)PG=n．在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．當(dāng)=時(shí)，∴PE2=2PO2．∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，∴n=2m，由于NG=OG=m，則PN=NG=m，∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴ =1，即AN=OA=6．在等腰Rt△ONG中，ON=m，∴12=m，∴m=6，在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為（﹣18，6）．所以，△OEP的其中兩邊的比能為：1，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．【點(diǎn)評(píng)】此題是正方形的性質(zhì)題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算． 新課標(biāo)第一網(wǎng)系列資料
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