【導(dǎo)讀】文學(xué)、精密儀器反演等多個(gè)重要領(lǐng)域。CT圖像重建是CT技術(shù)的核心，重建算。法的優(yōu)劣直接關(guān)系到對(duì)檢測(cè)結(jié)果判斷的準(zhǔn)確性。醫(yī)學(xué)CT普遍采用解析成像技術(shù)，這主要因?yàn)獒t(yī)用CT可以采集到完整的投影數(shù)據(jù)。然而在工業(yè)應(yīng)用中，一般得不。針對(duì)以上情況，本課題作了以下兩方面的分析比較。，用計(jì)算機(jī)模擬了解析法的圖像重建。建的速度快，且重建的圖像與原圖的視覺(jué)相似度接近1。ART迭代算法引入松弛參數(shù)，分析了松弛參數(shù)重建圖像的影響。法重建圖像，這種算法所得的圖像比ART算法較好。最后在ART算法基礎(chǔ)上采。用全差分對(duì)重建圖像進(jìn)行優(yōu)化，圖像質(zhì)量有了明顯提高。

　　

【正文】 不會(huì)收斂到唯一解，而在超平面交點(diǎn)附近產(chǎn)生振蕩效應(yīng)；當(dāng) MN，式 ()式無(wú)唯一解，可能會(huì)有無(wú)限多個(gè)解。 在 ()式基礎(chǔ)上發(fā)展了一系列其他的迭代重建法，很多都是其的近似表達(dá)。為了在后面部分更好的說(shuō)明，不妨將式 ()重新整理， ikNk ikiiijij aazyxx ??? ???1 21 （ ） 式中 ?? ?? ?? Nk ikikiii xaXAz 1 11 （ ） 式 ()說(shuō)明將第 1?i 次迭代解投影到第 i 個(gè)超平上時(shí)，第 j 個(gè)像素的灰度值（其當(dāng)前值為 1?ijx ）可以通過(guò)差值 ?ijx 得到， ?ijxikNk ikiiijij aazyxx ????????121 （ ） 代數(shù)重建法 ART 上一節(jié)介紹了迭代算法的基本原理，我們知道迭代法的要旨是：從一個(gè)假設(shè)的初始圖像出發(fā)，采用迭代的方法，將根據(jù)人為設(shè)定并經(jīng)理論計(jì)算得到的投影值同實(shí)驗(yàn)測(cè)得的投影值比較，不斷進(jìn)行逼近，按照某種最優(yōu)化準(zhǔn)則尋找最優(yōu)解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是更容易把與空間幾 何相關(guān)的、與測(cè)量值條件相關(guān)的各種校正因子包括進(jìn)去。例如容易進(jìn)行 空間分辯的不均勻性校正； 散射衰減的校正； 物體幾何形狀約束和平滑性約束等操作。 現(xiàn)在講述有上述原理提出的迭代算法。首先介紹 ART 方法。本文用三種算法實(shí)現(xiàn)了 ART 迭代重建。 第四章 迭代重建算法 26 Kaczmarz 方法 Kaczmarz 算法是 ART 類算法中最經(jīng)典的一種算法 ]16[ 。這種方法是一種所謂的行的操作方法，因?yàn)槊看蔚家皰哌^(guò)”矩陣 A 中所有的行。這種方法引入的松弛參數(shù) k? 。 它的實(shí)現(xiàn)公式為：.,...,2,1,|||| ,1221,1,0,mkkiiikiikixikkkxxmiaa xabxxxx??????????? ? （ ） 其中 為迭代次數(shù)k ，松弛參數(shù) k? =1， i 為射線總條數(shù)。 其基本步驟為： ⑴設(shè)定任 一初始圖像向量 NRX ?0 ，一般情況下取 TX )0,...,0,0(0 ? ； ⑵迭代步驟：式 ()，射線號(hào)循環(huán)選擇 1)mod( ?? Mii 。 Tanabe[Tanabe1971]證明了，若測(cè)量方程 ()是相合的，上述迭代算法收斂到 bAX? 的一個(gè)解 。否則， Eggermont ]17[ 及 Censor ]18[ 引進(jìn)了松弛系列 k? ，目的是有效的減小噪聲。松弛系數(shù)通常是一個(gè)關(guān)于迭代次數(shù) i 的一個(gè)函數(shù)，隨著 i 的增大而減小，且滿足 1?i? 。由此引出了下面兩種 ART 方法 —— Randomized Kaczmarz 方法（隨機(jī) Kaczmarz 方法）和 symmetric Kaczmarz 方法（對(duì)稱 Kaczmarz方法）。通過(guò)改變從此系數(shù)和迭代次數(shù)來(lái)改善重建圖像的質(zhì)量。跟 Kaczmarz 相比，不同之處在于 symmetric Kaczmarz 方法的 .2,3,. . .,1,1,. . .,2,1 ??? mmmi 而Kaczmarz 方法的 i 只取 .,...,2,1 mi? 而 Randomized Kaczmarz 方法（隨機(jī) Kaczmarz方法 ）隨機(jī)選擇 i ，但選中的概率正比于 2|||| ia 。 聯(lián)立迭代重建法 SIRT 對(duì) 于 ()式方程組，還可以采用數(shù)值計(jì)算中的 Jacobi 迭代 ]19[ 法來(lái)求解，與ART 迭代法不同， Jacobi 迭代法采用的是并行迭代，即僅當(dāng)所有投影數(shù)據(jù)都計(jì)算完以后，才對(duì)圖像值進(jìn)行更新。具體來(lái)說(shuō)，采用 ()式計(jì)算 ? ijx ，但 jx 的值并不立即改變，在經(jīng)歷完所有的等式計(jì)算后，才 修正 jx 的值，由此可以看出這種修正是每個(gè)像素對(duì)應(yīng)于所有迭代變化的平均值。這種迭代重建算法被稱為同步迭代重建法 SIRT。具體步驟： ⑴設(shè)定任一初始圖像向量 NRX ?0 ，一般情況下取 TX )0,...,0,0(0 ? ； ⑵迭代步驟： 第四章 迭代重建算法 27 iMi iiiiiii AAA XAyXX ???????? 111 () 此算法以減慢收斂速度換取比 ART 較好的圖像質(zhì)量。 本論題模擬圖像重建時(shí)應(yīng)用的類似的方法有聯(lián)合代數(shù)重建法 SART（ Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique） ]20[ ]23][22][21[ 、平均分量法（ Component Averaging method） ]25[ 、 Cimmino 投影法（ Cimmino’s Projection method） ]26[ 、對(duì)角松弛征正交投影法（ Diagonally Relaxed Orthogonal Projections）]24[ 和經(jīng)典 Landweber 法（ The Classical Landweber method） ]29][28][27[ ?？梢詤⒖枷嚓P(guān)文獻(xiàn)，在此不一一贅述。 全差分迭代算法（ TV） 在上面 ART 的算法基礎(chǔ)上，再加一些約束條件形成的另一種算法 — TV（ total variation)算法。待重建的圖像表示為一個(gè)含有 imageN 維的向量 f 它的運(yùn)算公式如下： ? ? ??? ?????? ts ts tststststsTVts ffffff , , 21,2,1, )()(|||||| （ ） 其中 。,...,2,1。,...,2,1 WtHs ?? WH和 表示二維圖像寬和高； imageN W? H 。 迭 代重建算法的實(shí)現(xiàn)和對(duì)比分析 針對(duì) 和 介紹的幾種方法，本文進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬重建，采用的是自定義的 Sheep Logan 頭模型，大小為 128 128，如圖 。 圖 Sheep—Logan 頭模型 第四章 迭代重建算法 28 利用旋轉(zhuǎn)角度為 0： 5： 180，平行射線束為 75 的平行掃描投影數(shù)據(jù)，進(jìn)行Kaczmarz 算法、 Symmetric Kaczmarz 算法、 Randomized Kaczmarz 算法的重建圖像如下。 圖 ART 三種算法分別迭代 10次的重建效果 對(duì)于迭代法，迭代次數(shù)，掃描的角度和每個(gè)角度下射線的 條數(shù)都會(huì)影響圖像重建的效果。下面將從重建圖像的視覺(jué)效果上用控制變量法分析比較迭代次數(shù)，掃描的角度以及每個(gè)角度下射線的條數(shù)對(duì)重建圖像的具體影響。圖 和圖 是其他條件一樣但每個(gè)角度的射線條數(shù)不同的情況下采用 ART 迭代算法重建的圖像。圖 和圖 是比較掃描的角度對(duì)迭代重建圖像的影響。圖 和圖 是比較分析迭代次數(shù)對(duì)迭代重建效果的影響。 第四章 迭代重建算法 29 圖 lena 圖像 ART迭代重建圖像 圖 cortex 圖像 ART迭代重建圖像 第四章 迭代重建算法 30 圖 centaur2圖像 ART迭代重建圖像 圖 mri 圖像 ART迭代重建圖像 第四章 迭代重建算法 31 利用旋轉(zhuǎn)角度為 0： 5： 180，平行射線束為 75 的平行掃描投影數(shù)據(jù)，進(jìn)行SIRT 中的聯(lián)合代數(shù)重建法 SART （ Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique） ]20[ ]23][22][21[ 、平均分量法（ Component Averaging Method） ]25[ 、 Cimmino投影法（ Cimmino’s Projection Method） ]26[ 、對(duì)角松弛征正交投影法（ Diagonally Relaxed Orthogonal Projections） ]24[ 和經(jīng)典 Landweber 法（ The Classical Landweber Method） ]29][28][27[ 的重建圖像如圖 所示。 圖 SIRT各種算法的圖像對(duì)比 第四章 迭代重建算法 32 圖 barb 圖像 SIRT迭代重建 圖 mri 圖像 SIRT迭代重建 圖 cameraman 圖像 SIRT迭代重建 圖 cortex 圖像 SIRT迭代重建 第四章 迭代重建算法 33 如圖 、圖 、圖 、圖 所示。它們重建的條件如表 所 示。 表 各圖像進(jìn)行 SIRT迭代重建的條件 圖片名稱 圖片大小 迭代次數(shù) 旋轉(zhuǎn)角度 射線條數(shù) barb 128 20 1:2:180 175 mri 128 20 1:2:180 250 cameraman 128 20 1:1:180 250 cortex 128 50 1:1:180 250 通過(guò)上述重建的圖像效果和表 各圖像重建的條件一一對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：其他條件相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度越多重建的圖像效果越好；同理射線條數(shù)越多，重建的圖像效果也越好。 對(duì)像素個(gè)數(shù)為 128,掃描角度為 0:2:178,每個(gè)方向掃描的平行射線束為 75的Sheep Logan 頭模型進(jìn)行上述所有重建算法的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)的圖像如圖 。 圖 FBP、 ART、 SIRT以及 TV 算法重建圖像的比較 第四章 迭代重建算法 34 圖 圖像 peppersbw各種算法重建 圖像對(duì)比 圖 圖像 mri 各種算法重建圖像對(duì)比 圖 圖像 barb 各種算法重建圖像對(duì)比 圖 圖像 mri 各種算法重建圖像對(duì)比 圖 圖像 lena 各種算法重建圖像對(duì)比 如圖 、圖 、圖 、圖 、圖 所示，它們重建的條件如表 所第四章 迭代重建算法 35 示。 表 各圖像進(jìn)行 ARTTV 算法迭代重建的條件 圖片名稱 圖片大小 迭代次數(shù) 旋轉(zhuǎn)角度 射線條數(shù) peppersbw 128 10 1： 2： 180 175 mri 128 10 1： 2： 180 250 barb 128 10 1： 2： 180 250 mri 128 10 1： 1： 180 250 lena 128 50 1： 1： 180 250 通過(guò)上述重建的圖像效果和表 各圖像重建的條件一一對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：其他條件相 同時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度越多重建的圖像效果越好；同理射線條數(shù)越多，重建的圖像效果也越好；通過(guò)圖 和圖 的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)圖像的重建效果不一定與迭代次數(shù)成正比，而通過(guò)圖 和圖 的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn) TV 算法可以通過(guò)改變參數(shù)改變圖像的噪聲水平，減少偽跡。 表 給出了以上各種重建的迭代次數(shù)、時(shí)間以及和自定義 Sheep— Logan頭模型之間的三個(gè)誤差測(cè)度 , fde 它們作為重建質(zhì)量好壞的三種評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，定義如下： ?? ???jjjjjXXXe 22)()( （ ） ???????jjjjjjXXXXd22)()( （ ） 22|||| bAXf ?? （ ） 其中 jX 表示標(biāo)準(zhǔn)原圖， jX? 表示重建圖像， ?X 表示標(biāo)準(zhǔn)原圖的均值。 此外還求出了圖像視覺(jué)相似度的評(píng)估值 SSIM ]8[ 。 第四章 迭代重建算法 36 表 各種算法重建誤差、相似度及時(shí)間比較 重建算法 迭代 次數(shù) 誤差 相似度 迭代時(shí)間（秒） e d f SSIM ART 算法 kaczmarz 10 symkaczmarz 10 randkaczmarz 10 kaczmarz 20 symkaczmarz 20 randkaczmara 20 SIRT 算法 Landweber 50 Cimmino 50 CAV 50 DROP 50 SART 50 各種算法比較 FBP —— —— ART 10 SIRT 10 TV 10 通過(guò)上述表格中各項(xiàng)數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出解析法圖像重建的速度比迭代法快很多。 TV算法是在 ART 算 法的基礎(chǔ)上對(duì)重建圖像進(jìn)行去噪處理，使圖像沒(méi)那么多模糊偽跡。 第五章 結(jié)論 37 第五章 結(jié)論 本文主要研究二維投影圖像重建的理論研究。圖像重建的方法主要有兩種類型：第一類是對(duì)圖像的直接數(shù)學(xué)反計(jì)算，稱為解析重建法。最先提出的是直接反投影重建法，但因?yàn)榇嬖趥污E，且先反投影再濾波的話，需要二維濾波器對(duì)反投影數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，二維濾波器不易實(shí)現(xiàn)。因?yàn)榉赐队昂蜑V波都是線性運(yùn)算，根據(jù)線性運(yùn)算的性質(zhì)。接著提出了濾波反投影重建算法。即先對(duì)投影數(shù)據(jù)進(jìn)行一維濾波，再對(duì)濾波后的投影數(shù)據(jù)進(jìn)行反投影運(yùn)算。后來(lái)發(fā)現(xiàn)對(duì)于得到的濾波反投影重建的圖像表達(dá)式進(jìn)行不同的數(shù)學(xué) 變形，將導(dǎo)致不同的物理解釋，于是