【正文】 (516)又因的分量為，得赤道阻尼力矩以彈軸坐標(biāo)系上分量表達(dá)式的形式，(517)3. 極阻尼力矩它由彈箭繞縱軸旋轉(zhuǎn)的角速度所引起的，阻止彈箭的旋轉(zhuǎn)，故其矢量方向與方向相反，對(duì)于右旋彈即在彈軸的反方向。故它在彈軸坐標(biāo)系力的分量為：， (518)4. 控制力矩（改）由于用火炮或火箭發(fā)射的彈箭一般無(wú)很大的彈翼，本文中的微氣泡制動(dòng)彈丸當(dāng)微氣泡工作時(shí)產(chǎn)生的氣動(dòng)力就占了全彈氣動(dòng)力較大的比例而不能忽視。微氣泡除了能提供操縱偏航力及力矩，其阻力對(duì)彈道也有很大影響。因此，對(duì)微氣泡修正彈丸，要把微氣泡產(chǎn)生升力和阻力列入方程中。設(shè)由氣動(dòng)計(jì)算或吹風(fēng)得到彈體系內(nèi)一對(duì)可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的鴨舵偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的軸向力和法向力為（，），（=0時(shí)由攻角產(chǎn)生的舵面升力、阻力已歸到彈體氣動(dòng)中），先按自轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換到彈體坐標(biāo)系中，再有攻角分量轉(zhuǎn)換到速度坐標(biāo)系中，得：==(519)設(shè)舵面壓心到質(zhì)心的距離為，則彈體坐標(biāo)系內(nèi)的操縱力矩分量為： (520)將其投影到彈體坐標(biāo)系內(nèi)，即得：== (521) 二維彈道修正彈彈道方程組彈箭的運(yùn)動(dòng)可分為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理確定，圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)則由動(dòng)量矩定理描述。為了使運(yùn)動(dòng)方程形式簡(jiǎn)單，我們將質(zhì)心運(yùn)動(dòng)矢量方程向彈道坐標(biāo)系分解，將圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)矢量方程向彈軸坐標(biāo)系投影一得到標(biāo)量形式的方程組[35]。 彈道坐標(biāo)系上的彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程彈丸質(zhì)心相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理[38][40]，即： (522)這里設(shè)地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，至于地球旋轉(zhuǎn)的影響可以用在方程的右邊加上科氏慣性力來(lái)考慮。現(xiàn)將此方程向彈道坐標(biāo)系上分解，這時(shí)必須注意到彈道坐標(biāo)系是一動(dòng)坐標(biāo)系，則轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在三軸上的分量為： (523)如果用表示速度相對(duì)于東坐標(biāo)系的矢端速度（或相對(duì)導(dǎo)數(shù)），而是由于動(dòng)坐標(biāo)系以轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的牽連矢端速度，則絕對(duì)矢端速度為二者之和，即: (524)以表示彈道坐標(biāo)系三軸上的單位矢量，故，又設(shè)外力的矢量在彈道坐標(biāo)系三軸上的分量依次為，則由方程得到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程的標(biāo)量方程如下: ， (525)由于速度矢量沿地面坐標(biāo)系三軸的分量為： (526)綜上所述的到質(zhì)心位置坐標(biāo)變化方程為:， 彈軸坐標(biāo)系上彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩方程彈丸繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)用動(dòng)量矩定理[38][40]描述 (527)式中，為彈丸對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩，是作用于彈丸的外力對(duì)質(zhì)心的力矩。現(xiàn)將此方程兩端的矢量向彈軸坐標(biāo)系分解，以得到在彈軸坐標(biāo)系上的標(biāo)量方程。由于彈軸坐標(biāo)系也隨彈一起轉(zhuǎn)動(dòng)，因而也是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，: (528)與(524)式相仿，將動(dòng)量矩方程向動(dòng)坐標(biāo)系分解時(shí)應(yīng)寫(xiě)成如下形式，即: (529)設(shè)弾軸坐標(biāo)系上的單位向量為，動(dòng)量矩和外力矩在彈軸系上的分量為:， (530)將和的分量表達(dá)式代(527)入中，得到以彈軸坐標(biāo)系三軸上分量表示的轉(zhuǎn)動(dòng)方程: (531) 根據(jù)定義，對(duì)質(zhì)心的總動(dòng)量矩是彈丸是哪個(gè)各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量對(duì)質(zhì)心之矩的總和。設(shè)任一小質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，到質(zhì)心的徑矢為，速度為，則動(dòng)量矩即為: (532)將上式兩端的矢量都向彈軸坐標(biāo)系分解，其中、用彈軸坐標(biāo)系力的分量表示即為:， (533)上式中省去了得下標(biāo)。是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度，它是有彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)形成，故: (534)這里是彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的總角速度，它比弾軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度多一個(gè)自轉(zhuǎn)角速度，其三個(gè)分量為:而 (535)將(531)、(532)和(533)的矢量形式代入動(dòng)量矩的表達(dá)式(530)中，得: (536)由此式得: (537) 同理得: ， (538)式中：， (539)分別稱(chēng)為對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而， (540)分別稱(chēng)為對(duì)軸，軸，軸的慣性積。式(539)也可以用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣或慣性張量表示，即: (541)而 ，式中，、和分別是對(duì)彈體坐標(biāo)系的動(dòng)量矩矩陣、角速度矩陣和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣。對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)彈丸，其質(zhì)量也是軸對(duì)稱(chēng)分布的，故彈丸縱軸以及過(guò)質(zhì)心垂直于縱軸的平面上任一過(guò)質(zhì)心的直徑都是慣性主軸，故彈軸或彈體坐標(biāo)系的三根軸永遠(yuǎn)是慣性主軸而與彈丸自轉(zhuǎn)的方位角無(wú)關(guān)，即永遠(yuǎn)都有，再記 (542)分別稱(chēng)為彈丸的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，得: (543)將上式代入轉(zhuǎn)動(dòng)方程得: (544)再由式()得到彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:, (545)將上述兩節(jié)得到力及力矩表達(dá)式代入到彈丸剛體運(yùn)動(dòng)一般方程中去，就得到了二維彈道修正彈道的彈道方程： (546)在原彈丸的彈頭部加裝修正機(jī)構(gòu)，這樣肯定會(huì)減小其原有的射程。但是修正彈在整個(gè)外彈道飛行過(guò)程中通過(guò)調(diào)整舵機(jī)的偏轉(zhuǎn)角度來(lái)調(diào)整在整個(gè)彈道過(guò)程中的橫向和縱向位置， 從而整個(gè)在外彈道中是可控的。根據(jù)二維彈道修正的工作原理，利用四階龍格庫(kù)塔計(jì)算方法和線性插值方法對(duì)二維彈道修正彈的計(jì)算機(jī)解算[49]~ [53]，得到修正舵機(jī)在不同位置，舵片不同面積是的修正能力的變化。 利用四階龍格庫(kù)塔計(jì)算法和線性插值方法進(jìn)行彈道解算。 二維彈道修正彈彈道解算流程圖通過(guò)madlab程序最終得到： 標(biāo)準(zhǔn)彈相同初速、不同射角，彈道特性為了觀察射角對(duì)彈丸彈道特性的影響，以某炮彈為例，炮彈按照初速850m/s、不同射角發(fā)射進(jìn)行彈道仿真，彈道射程、。可以看出初速一定、不同射角的情況下，彈道射程和高度各不相同。隨著射角的增加，彈道高度增加，射角為25度時(shí)，彈道高為3917m，射角為55度時(shí)，彈道高為10750m。但彈道射程不與射角成正比例關(guān)系，射角為35度時(shí)，彈道射程最大21430m，因此35度是此次仿真條件下的最大射程角。 不同射角彈道曲線 不同射角彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表25度30度35度40度45度50度55度射程（m）20940214102143021160205701962018370高度（m）39175086628074568589971010750 標(biāo)準(zhǔn)彈相同射角、不同初速，彈道特性為了觀察初速對(duì)彈丸彈道特性的影響，以某炮彈為例，炮彈按照固定45度射角、不同初速發(fā)射進(jìn)行彈道仿真，彈道射程、。 不同初速?gòu)椀罃?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表射程（m）111901367015450182602057022480高度（m）374748745839725685899662由仿真結(jié)果可以看出：射角一定的情況下，初速度對(duì)彈道的影響比較規(guī)律，彈道射程和彈道高度與初速成正比例關(guān)系，都是隨著初速的增大而增大，彈道的射程最小11190m，彈道高度最小3747m，彈道的射程最大22480m，彈道高度最大9662m。 制動(dòng)彈射程控制，不同起控時(shí)間，彈道特性根據(jù)微氣泡制動(dòng)器作用下彈丸的氣動(dòng)特性仿真可知，微氣泡制動(dòng)器可以對(duì)彈丸的彈道進(jìn)行控制，為了觀察微氣泡對(duì)彈道射程的控制效果，以一組固定微氣泡排列的彈丸氣動(dòng)數(shù)據(jù)為依據(jù)，帶入彈道方程，以不同的時(shí)間開(kāi)始起控。 不同起控時(shí)間射程控制彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表0秒減15秒減30秒減無(wú)控30秒增15秒增0秒增射程（m）19860202302045020570207402100021350增程（m）7103401200+150+430+780高度（m）8177836984998589870188589063由仿真結(jié)果可以看出，由于微氣泡對(duì)彈丸產(chǎn)生升力的作用，彈道的射程增加。射程的增量與起控時(shí)間也有著重要的關(guān)系，炮彈出炮口后微氣泡制動(dòng)器立即工作，即0秒開(kāi)始起控，彈道射程的增量最大，較無(wú)控彈道射程增加了780m；同理微氣泡在彈丸的相應(yīng)位置作用，會(huì)對(duì)彈丸產(chǎn)生負(fù)方向的升力，其作用力可以減小彈道射程，0秒起控對(duì)彈道射程的減小最為明顯，較無(wú)控彈道減小了710m。制動(dòng)彈偏航控制，不同起控時(shí)間，彈道特性由前面微氣泡的氣動(dòng)特性仿真可知，當(dāng)微氣泡在相應(yīng)的位置作用，彈丸會(huì)產(chǎn)生偏航力，所以微氣泡制動(dòng)器不僅可以對(duì)彈丸彈道的縱向進(jìn)行控制，也可以對(duì)彈丸彈道的橫向進(jìn)行控制，以一組固定的微氣泡排列的彈丸氣動(dòng)力為依據(jù)，將偏航力帶入彈道方程，按不同起控時(shí)間對(duì)彈道進(jìn)行仿真。 不同起控時(shí)間射程控制彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表0秒左15秒左30秒左無(wú)控30秒右15秒右0秒右射程（m）20492205382054520570205432053520485修偏（m）5254133290352425536由上表可以看出，相應(yīng)位置的微氣泡會(huì)對(duì)彈丸的偏航進(jìn)行控制，修偏距離與彈丸的偏航力和起控時(shí)間有關(guān)，彈丸出炮口后微氣泡立即工作，即0秒起控，橫向向左修偏距離為525米，橫向向右修偏距離為536米。本章通過(guò)對(duì)彈丸外彈道飛行過(guò)程中的受力分析，將彈丸所受力通過(guò)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。應(yīng)用空氣動(dòng)力學(xué)原理將彈丸所受力及力矩應(yīng)用微分表示最終投影到彈道坐標(biāo)系中。根據(jù)剛體六自由度理論，建立了彈丸的外彈道六自由度彈道方程。將彈道方程應(yīng)用MATLAB編程，采用上一章節(jié)所計(jì)算的阻力及升力系數(shù)，得出了不同發(fā)射速度和不同射角與彈道射程和高度的關(guān)系，計(jì)算了微氣泡不同起控時(shí)間下彈道橫向和縱向的修正能力。第6章 彈丸的飛行穩(wěn)定性 彈丸飛行穩(wěn)定性的基本概念彈箭在空中運(yùn)行時(shí)如果很小，即意味著彈軸與飛行速度方向基本一致，彈頭指向飛行前方，彈箭就能正確平穩(wěn)地飛行，達(dá)到預(yù)期的飛行目的。如果很大，甚至越來(lái)越大，則彈箭將圍繞質(zhì)心大幅度擺動(dòng)，就會(huì)導(dǎo)致飛行極不穩(wěn)定，甚至翻跟頭彈尾向前，造成飛行中途墜落或彈底著地，這就稱(chēng)為彈箭飛行不穩(wěn)定。彈箭的運(yùn)動(dòng)由其運(yùn)動(dòng)微分方程確定，故其運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)上就是其運(yùn)動(dòng)微分方程的穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)上關(guān)于穩(wěn)定性有多種定義，而最常用的是李雅普偌夫穩(wěn)定性定義，敘述如下。設(shè)動(dòng)力系統(tǒng)為 （61）式中，是表示系統(tǒng)狀態(tài)的變量，在我們的情況下即是表征飛行器運(yùn)動(dòng)的變量。某個(gè)完全確定而需研究其穩(wěn)定性的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。設(shè)與其相應(yīng)的，滿足起始條件 （62）的方程（61）的特解為。 在同樣的力的作用下，系統(tǒng)可能的、將要與未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行比較的與其運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為受擾運(yùn)動(dòng)。其相應(yīng)的起始條件改為時(shí) （63）量稱(chēng)為擾動(dòng)，受擾運(yùn)動(dòng)與未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)同一變量的差值為 （64）變量稱(chēng)為量的偏差或變分。當(dāng)時(shí)，起始偏差即是系統(tǒng)的起始擾動(dòng) （65）如果對(duì)于給定的、任意小的正數(shù)都可以找到一個(gè)整數(shù)，對(duì)于滿足條件 （66）的任何擾動(dòng)，在時(shí)都滿足不等式 （67）則稱(chēng)由解描述的運(yùn)動(dòng)具有李雅普諾夫意義上的穩(wěn)定性，反之稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。 。該圖表示時(shí)從由量確定的、未擾運(yùn)動(dòng)的鄰域內(nèi)出發(fā)的擾動(dòng)解在時(shí)不超出由量確定的、未擾動(dòng)解的鄰域。即只要起始擾動(dòng)足夠小，擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)與未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)之差就足夠小，則稱(chēng)未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。 李雅普諾夫穩(wěn)定性的圖解說(shuō)明如果未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，并且滿足下式，則稱(chēng)未擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)是漸近穩(wěn)定的。 （68）以上是關(guān)于初始擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，初始擾動(dòng)是在瞬時(shí)對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)，（不一定就有炮口）以后就消失。然而實(shí)際的動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往還受到經(jīng)常性或連續(xù)性的干擾（例如重力、彈箭外形不對(duì)稱(chēng)、質(zhì)量分布不均、常值風(fēng)的干擾等），這就需要給出在經(jīng)常擾動(dòng)作用下的系統(tǒng)穩(wěn)定性定義，它是李雅普諾夫穩(wěn)定性定義的推廣。彈丸的飛行穩(wěn)定性直接影響彈丸的外彈道特性，是評(píng)估外彈道特性的重要因素之一，彈丸的飛行穩(wěn)定性包括陀螺穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和追隨穩(wěn)定性。所謂陀螺穩(wěn)定性是指彈箭受到擾動(dòng)后彈軸可以形成繞速度線周期性擺動(dòng)的特性。對(duì)于無(wú)尾翼彈箭，當(dāng)受到擾動(dòng)產(chǎn)生攻角后，由于靜不穩(wěn)定力矩的作用使彈軸有離開(kāi)速度線的趨勢(shì)，如果彈箭不自轉(zhuǎn)，就無(wú)法克服這種趨勢(shì)，彈軸進(jìn)一步離開(kāi)速度線直至翻倒；但如果自轉(zhuǎn)，在足夠高的轉(zhuǎn)速下形成足夠高的陀螺效應(yīng)，克服了這種趨勢(shì)，使彈軸繞速度線作周期性擺動(dòng)不至于翻倒，這時(shí)彈箭就具有了陀螺穩(wěn)定性。陀螺穩(wěn)定性?xún)H保證了彈箭的角運(yùn)動(dòng)時(shí)周期性的，但卻不能保證周期性運(yùn)動(dòng)的幅值不斷減小