【正文】 (516)又因的分量為，得赤道阻尼力矩以彈軸坐標(biāo)系上分量表達(dá)式的形式，(517)3. 極阻尼力矩它由彈箭繞縱軸旋轉(zhuǎn)的角速度所引起的，阻止彈箭的旋轉(zhuǎn)，故其矢量方向與方向相反，對于右旋彈即在彈軸的反方向。故它在彈軸坐標(biāo)系力的分量為：， (518)4. 控制力矩（改）由于用火炮或火箭發(fā)射的彈箭一般無很大的彈翼，本文中的微氣泡制動彈丸當(dāng)微氣泡工作時產(chǎn)生的氣動力就占了全彈氣動力較大的比例而不能忽視。微氣泡除了能提供操縱偏航力及力矩，其阻力對彈道也有很大影響。因此，對微氣泡修正彈丸，要把微氣泡產(chǎn)生升力和阻力列入方程中。設(shè)由氣動計算或吹風(fēng)得到彈體系內(nèi)一對可繞軸轉(zhuǎn)動的鴨舵偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的軸向力和法向力為（，），（=0時由攻角產(chǎn)生的舵面升力、阻力已歸到彈體氣動中），先按自轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換到彈體坐標(biāo)系中，再有攻角分量轉(zhuǎn)換到速度坐標(biāo)系中，得：==(519)設(shè)舵面壓心到質(zhì)心的距離為，則彈體坐標(biāo)系內(nèi)的操縱力矩分量為： (520)將其投影到彈體坐標(biāo)系內(nèi)，即得：== (521) 二維彈道修正彈彈道方程組彈箭的運(yùn)動可分為質(zhì)心運(yùn)動和圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。質(zhì)心運(yùn)動規(guī)律由質(zhì)心運(yùn)動定理確定，圍繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動則由動量矩定理描述。為了使運(yùn)動方程形式簡單，我們將質(zhì)心運(yùn)動矢量方程向彈道坐標(biāo)系分解，將圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動矢量方程向彈軸坐標(biāo)系投影一得到標(biāo)量形式的方程組[35]。 彈道坐標(biāo)系上的彈丸質(zhì)心運(yùn)動方程彈丸質(zhì)心相對于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動服從質(zhì)心運(yùn)動定理[38][40]，即： (522)這里設(shè)地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，至于地球旋轉(zhuǎn)的影響可以用在方程的右邊加上科氏慣性力來考慮?，F(xiàn)將此方程向彈道坐標(biāo)系上分解，這時必須注意到彈道坐標(biāo)系是一動坐標(biāo)系，則轉(zhuǎn)動角速度在三軸上的分量為： (523)如果用表示速度相對于東坐標(biāo)系的矢端速度（或相對導(dǎo)數(shù)），而是由于動坐標(biāo)系以轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的牽連矢端速度，則絕對矢端速度為二者之和，即: (524)以表示彈道坐標(biāo)系三軸上的單位矢量，故，又設(shè)外力的矢量在彈道坐標(biāo)系三軸上的分量依次為，則由方程得到質(zhì)心運(yùn)動方程的標(biāo)量方程如下: ， (525)由于速度矢量沿地面坐標(biāo)系三軸的分量為： (526)綜上所述的到質(zhì)心位置坐標(biāo)變化方程為:， 彈軸坐標(biāo)系上彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動量矩方程彈丸繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動用動量矩定理[38][40]描述 (527)式中，為彈丸對質(zhì)心的動量矩，是作用于彈丸的外力對質(zhì)心的力矩?，F(xiàn)將此方程兩端的矢量向彈軸坐標(biāo)系分解，以得到在彈軸坐標(biāo)系上的標(biāo)量方程。由于彈軸坐標(biāo)系也隨彈一起轉(zhuǎn)動，因而也是一個轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，其轉(zhuǎn)動角速度為，: (528)與(524)式相仿，將動量矩方程向動坐標(biāo)系分解時應(yīng)寫成如下形式，即: (529)設(shè)弾軸坐標(biāo)系上的單位向量為，動量矩和外力矩在彈軸系上的分量為:， (530)將和的分量表達(dá)式代(527)入中，得到以彈軸坐標(biāo)系三軸上分量表示的轉(zhuǎn)動方程: (531) 根據(jù)定義，對質(zhì)心的總動量矩是彈丸是哪個各質(zhì)點相對質(zhì)心運(yùn)動的動量對質(zhì)心之矩的總和。設(shè)任一小質(zhì)點的質(zhì)量為，到質(zhì)心的徑矢為，速度為，則動量矩即為: (532)將上式兩端的矢量都向彈軸坐標(biāo)系分解，其中、用彈軸坐標(biāo)系力的分量表示即為:， (533)上式中省去了得下標(biāo)。是質(zhì)點相對質(zhì)心的速度，它是有彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動形成，故: (534)這里是彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的總角速度，它比弾軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度多一個自轉(zhuǎn)角速度，其三個分量為:而 (535)將(531)、(532)和(533)的矢量形式代入動量矩的表達(dá)式(530)中，得: (536)由此式得: (537) 同理得: ， (538)式中：， (539)分別稱為對軸的轉(zhuǎn)動慣量，而， (540)分別稱為對軸，軸，軸的慣性積。式(539)也可以用轉(zhuǎn)動慣量矩陣或慣性張量表示，即: (541)而 ，式中，、和分別是對彈體坐標(biāo)系的動量矩矩陣、角速度矩陣和轉(zhuǎn)動慣量矩陣。對于軸對稱彈丸，其質(zhì)量也是軸對稱分布的，故彈丸縱軸以及過質(zhì)心垂直于縱軸的平面上任一過質(zhì)心的直徑都是慣性主軸，故彈軸或彈體坐標(biāo)系的三根軸永遠(yuǎn)是慣性主軸而與彈丸自轉(zhuǎn)的方位角無關(guān)，即永遠(yuǎn)都有，再記 (542)分別稱為彈丸的極轉(zhuǎn)動慣量和赤道轉(zhuǎn)動慣量，得: (543)將上式代入轉(zhuǎn)動方程得: (544)再由式()得到彈丸繞質(zhì)心運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程:, (545)將上述兩節(jié)得到力及力矩表達(dá)式代入到彈丸剛體運(yùn)動一般方程中去，就得到了二維彈道修正彈道的彈道方程： (546)在原彈丸的彈頭部加裝修正機(jī)構(gòu)，這樣肯定會減小其原有的射程。但是修正彈在整個外彈道飛行過程中通過調(diào)整舵機(jī)的偏轉(zhuǎn)角度來調(diào)整在整個彈道過程中的橫向和縱向位置， 從而整個在外彈道中是可控的。根據(jù)二維彈道修正的工作原理，利用四階龍格庫塔計算方法和線性插值方法對二維彈道修正彈的計算機(jī)解算[49]~ [53]，得到修正舵機(jī)在不同位置，舵片不同面積是的修正能力的變化。 利用四階龍格庫塔計算法和線性插值方法進(jìn)行彈道解算。 二維彈道修正彈彈道解算流程圖通過madlab程序最終得到： 標(biāo)準(zhǔn)彈相同初速、不同射角，彈道特性為了觀察射角對彈丸彈道特性的影響，以某炮彈為例，炮彈按照初速850m/s、不同射角發(fā)射進(jìn)行彈道仿真，彈道射程、。可以看出初速一定、不同射角的情況下，彈道射程和高度各不相同。隨著射角的增加，彈道高度增加，射角為25度時，彈道高為3917m，射角為55度時，彈道高為10750m。但彈道射程不與射角成正比例關(guān)系，射角為35度時，彈道射程最大21430m，因此35度是此次仿真條件下的最大射程角。 不同射角彈道曲線 不同射角彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計表25度30度35度40度45度50度55度射程（m）20940214102143021160205701962018370高度（m）39175086628074568589971010750 標(biāo)準(zhǔn)彈相同射角、不同初速，彈道特性為了觀察初速對彈丸彈道特性的影響，以某炮彈為例，炮彈按照固定45度射角、不同初速發(fā)射進(jìn)行彈道仿真，彈道射程、。 不同初速彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計表射程（m）111901367015450182602057022480高度（m）374748745839725685899662由仿真結(jié)果可以看出：射角一定的情況下，初速度對彈道的影響比較規(guī)律，彈道射程和彈道高度與初速成正比例關(guān)系，都是隨著初速的增大而增大，彈道的射程最小11190m，彈道高度最小3747m，彈道的射程最大22480m，彈道高度最大9662m。 制動彈射程控制，不同起控時間，彈道特性根據(jù)微氣泡制動器作用下彈丸的氣動特性仿真可知，微氣泡制動器可以對彈丸的彈道進(jìn)行控制，為了觀察微氣泡對彈道射程的控制效果，以一組固定微氣泡排列的彈丸氣動數(shù)據(jù)為依據(jù)，帶入彈道方程，以不同的時間開始起控。 不同起控時間射程控制彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計表0秒減15秒減30秒減無控30秒增15秒增0秒增射程（m）19860202302045020570207402100021350增程（m）7103401200+150+430+780高度（m）8177836984998589870188589063由仿真結(jié)果可以看出，由于微氣泡對彈丸產(chǎn)生升力的作用，彈道的射程增加。射程的增量與起控時間也有著重要的關(guān)系，炮彈出炮口后微氣泡制動器立即工作，即0秒開始起控，彈道射程的增量最大，較無控彈道射程增加了780m；同理微氣泡在彈丸的相應(yīng)位置作用，會對彈丸產(chǎn)生負(fù)方向的升力，其作用力可以減小彈道射程，0秒起控對彈道射程的減小最為明顯，較無控彈道減小了710m。制動彈偏航控制，不同起控時間，彈道特性由前面微氣泡的氣動特性仿真可知，當(dāng)微氣泡在相應(yīng)的位置作用，彈丸會產(chǎn)生偏航力，所以微氣泡制動器不僅可以對彈丸彈道的縱向進(jìn)行控制，也可以對彈丸彈道的橫向進(jìn)行控制，以一組固定的微氣泡排列的彈丸氣動力為依據(jù)，將偏航力帶入彈道方程，按不同起控時間對彈道進(jìn)行仿真。 不同起控時間射程控制彈道數(shù)據(jù)統(tǒng)計表0秒左15秒左30秒左無控30秒右15秒右0秒右射程（m）20492205382054520570205432053520485修偏（m）5254133290352425536由上表可以看出，相應(yīng)位置的微氣泡會對彈丸的偏航進(jìn)行控制，修偏距離與彈丸的偏航力和起控時間有關(guān)，彈丸出炮口后微氣泡立即工作，即0秒起控，橫向向左修偏距離為525米，橫向向右修偏距離為536米。本章通過對彈丸外彈道飛行過程中的受力分析，將彈丸所受力通過坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。應(yīng)用空氣動力學(xué)原理將彈丸所受力及力矩應(yīng)用微分表示最終投影到彈道坐標(biāo)系中。根據(jù)剛體六自由度理論，建立了彈丸的外彈道六自由度彈道方程。將彈道方程應(yīng)用MATLAB編程，采用上一章節(jié)所計算的阻力及升力系數(shù)，得出了不同發(fā)射速度和不同射角與彈道射程和高度的關(guān)系，計算了微氣泡不同起控時間下彈道橫向和縱向的修正能力。第6章 彈丸的飛行穩(wěn)定性 彈丸飛行穩(wěn)定性的基本概念彈箭在空中運(yùn)行時如果很小，即意味著彈軸與飛行速度方向基本一致，彈頭指向飛行前方，彈箭就能正確平穩(wěn)地飛行，達(dá)到預(yù)期的飛行目的。如果很大，甚至越來越大，則彈箭將圍繞質(zhì)心大幅度擺動，就會導(dǎo)致飛行極不穩(wěn)定，甚至翻跟頭彈尾向前，造成飛行中途墜落或彈底著地，這就稱為彈箭飛行不穩(wěn)定。彈箭的運(yùn)動由其運(yùn)動微分方程確定，故其運(yùn)動穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)上就是其運(yùn)動微分方程的穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)上關(guān)于穩(wěn)定性有多種定義，而最常用的是李雅普偌夫穩(wěn)定性定義，敘述如下。設(shè)動力系統(tǒng)為 （61）式中，是表示系統(tǒng)狀態(tài)的變量，在我們的情況下即是表征飛行器運(yùn)動的變量。某個完全確定而需研究其穩(wěn)定性的運(yùn)動稱為未擾動運(yùn)動。設(shè)與其相應(yīng)的，滿足起始條件 （62）的方程（61）的特解為。 在同樣的力的作用下，系統(tǒng)可能的、將要與未擾動運(yùn)動進(jìn)行比較的與其運(yùn)動，稱為受擾運(yùn)動。其相應(yīng)的起始條件改為時 （63）量稱為擾動，受擾運(yùn)動與未擾動運(yùn)動同一變量的差值為 （64）變量稱為量的偏差或變分。當(dāng)時，起始偏差即是系統(tǒng)的起始擾動 （65）如果對于給定的、任意小的正數(shù)都可以找到一個整數(shù)，對于滿足條件 （66）的任何擾動，在時都滿足不等式 （67）則稱由解描述的運(yùn)動具有李雅普諾夫意義上的穩(wěn)定性，反之稱為運(yùn)動是不穩(wěn)定的。 。該圖表示時從由量確定的、未擾運(yùn)動的鄰域內(nèi)出發(fā)的擾動解在時不超出由量確定的、未擾動解的鄰域。即只要起始擾動足夠小，擾動運(yùn)動與未擾動運(yùn)動之差就足夠小，則稱未擾動運(yùn)動是穩(wěn)定的。 李雅普諾夫穩(wěn)定性的圖解說明如果未擾動運(yùn)動是穩(wěn)定的，并且滿足下式，則稱未擾動運(yùn)動是漸近穩(wěn)定的。 （68）以上是關(guān)于初始擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，初始擾動是在瞬時對系統(tǒng)的擾動，（不一定就有炮口）以后就消失。然而實際的動力系統(tǒng)運(yùn)動時，往往還受到經(jīng)常性或連續(xù)性的干擾（例如重力、彈箭外形不對稱、質(zhì)量分布不均、常值風(fēng)的干擾等），這就需要給出在經(jīng)常擾動作用下的系統(tǒng)穩(wěn)定性定義，它是李雅普諾夫穩(wěn)定性定義的推廣。彈丸的飛行穩(wěn)定性直接影響彈丸的外彈道特性，是評估外彈道特性的重要因素之一，彈丸的飛行穩(wěn)定性包括陀螺穩(wěn)定性、動態(tài)穩(wěn)定性和追隨穩(wěn)定性。所謂陀螺穩(wěn)定性是指彈箭受到擾動后彈軸可以形成繞速度線周期性擺動的特性。對于無尾翼彈箭，當(dāng)受到擾動產(chǎn)生攻角后，由于靜不穩(wěn)定力矩的作用使彈軸有離開速度線的趨勢，如果彈箭不自轉(zhuǎn)，就無法克服這種趨勢，彈軸進(jìn)一步離開速度線直至翻倒；但如果自轉(zhuǎn)，在足夠高的轉(zhuǎn)速下形成足夠高的陀螺效應(yīng)，克服了這種趨勢，使彈軸繞速度線作周期性擺動不至于翻倒，這時彈箭就具有了陀螺穩(wěn)定性。陀螺穩(wěn)定性僅保證了彈箭的角運(yùn)動時周期性的，但卻不能保證周期性運(yùn)動的幅值不斷減小