【正文】 e21TVK??（）式中 ——單元?jiǎng)偠染仃?，?eK ????0000[ ]LLLLTTTTzypBDACENdxIdxINdxGINdx???????（） 單元?jiǎng)恿W(xué)方程將計(jì)入幾何非線性因素的單元?jiǎng)幽?)、變形能()帶入 Lagrange 方程 ?dTVFt???????????（）得到單元?jiǎng)恿W(xué)方程為 ?*eeeMKPQ（） ?*112TeeK???（） ??18Tdiag????（） 121178eeeK??????????????（）將未計(jì)入幾何非線性因素的單元?jiǎng)幽?)、變形能()帶入 Lagrange 方程得到單元?jiǎng)恿W(xué)方程為山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模20 ?2eeeMKFPQ????（） 式中——單元外加載荷的廣義力列陣；eF——是其它單元給予所分析單元的作用力列陣；P，是系統(tǒng)單元的剛體慣性力列陣，對(duì)系統(tǒng)作剛體運(yùn)動(dòng)分析后即可得出。e=rQM?? 下面求解系統(tǒng)坐標(biāo)系下的單元彈性動(dòng)力學(xué)方程。首先將單元局部坐標(biāo)系 中的oxyz?廣義坐標(biāo)列陣 轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)坐標(biāo)系下（這里指定系 中） 。引入定系 下的單元廣義δ??A??A坐標(biāo)列陣 ij? （,Tijijij???????）引入以下坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣 0000ijijijij ijijijRR?????????（） 其中 12122122iiiii i iij iiiii i icscscsR?????? ?? ?? ???????由此得到廣義坐標(biāo)列陣 和 之間的關(guān)系表達(dá)式δij ijR??（） 將式()對(duì)時(shí)間 t 求一、二階導(dǎo)數(shù)，得到 ijij?????（）山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模21 2ijijijR??????（）將（） （）兩式代入（）得到在定坐標(biāo)系下考慮幾何非線性因素時(shí)的梁?jiǎn)卧膹椥赃\(yùn)動(dòng)微分方程： ij ij ijijij ij ijMCKP??????（）式中 TijijeijMR? 2ijijijC? *1TTijijeijijijeKK? ()ijijPRFQ?定坐標(biāo)系下未計(jì)入非線性因素時(shí)梁?jiǎn)卧獜椥詣?dòng)力學(xué)方程和上面的相同只是 不同，ijK且 2TTijijeijijijeRMR???（）由以上得到了考慮幾何非線性因素和未考慮幾何非線性因素影響的定系下的單元?jiǎng)恿W(xué)方程。在下文的算例中將給出計(jì)入幾何非線性因素和不計(jì)入幾何非線性因素之間的比對(duì)圖。 支鏈彈性動(dòng)力學(xué)方程的建立4UPS/UPU 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及連接它們的分支等組成的。其中，定平臺(tái)通過(guò)一個(gè)驅(qū)動(dòng)分支 UPU（虎克鉸 —移動(dòng)副—虎克鉸）和四個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的驅(qū)動(dòng)分支 UPS（虎克鉸—移動(dòng)副—球鉸） ，與動(dòng)平臺(tái)相連接；要實(shí)現(xiàn)并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)動(dòng)平臺(tái)的位姿變化，可通過(guò)改變其驅(qū)動(dòng)桿的桿長(zhǎng)值來(lái)實(shí)現(xiàn)。假定擺動(dòng)桿 為剛性桿，伸縮桿 為柔性桿，動(dòng)平臺(tái) 為iPUiSP)5,21(??54321S剛性架，關(guān)節(jié)柔性忽略不計(jì)（由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈一般較短，而關(guān)節(jié)變形引起的系統(tǒng)累積誤差也比較小，且并聯(lián)機(jī)構(gòu)多為閉環(huán)系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的關(guān)節(jié)變形具有一定的約束作用，故關(guān)節(jié)變形可以忽略） 。這里將伸縮桿 等分為 個(gè)梁?jiǎn)卧?，并將這些單元依次編號(hào)iSm山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模22為 ，其中 表示擺動(dòng)桿和伸縮桿在第 個(gè)單元接觸。1,2m? nn 由以上假定建立支鏈的彈性動(dòng)力學(xué)方程，只需對(duì)伸縮桿進(jìn)行分析即可。 當(dāng) j= 時(shí)，由于這些單元被剛性體包圍其廣義坐標(biāo)都為零，即,1?? 0ij?? 當(dāng) j= 時(shí)，由于第 個(gè)單元的左端被剛體包圍，此單元的前九個(gè)廣義坐n?n標(biāo)為零。即 。此單元的右端始終重合于下一個(gè)單元的左端，從此1290iini????單元以后的單元也是如此。則有： （）10(1)1(1)212(1)313(1)414(1)515(1)616(1)717(1)818(1)9ij ijij ijij ijij ijij ijij ijij ijij ijij ij??????????????????????????對(duì)于 單元考慮到動(dòng)平臺(tái)鉸鏈對(duì)單元 右端點(diǎn)的約束，不同支鏈 端點(diǎn)處的曲率不同。mmi當(dāng) i=1 時(shí) （）1780iim??當(dāng) i=2,3,4,5 時(shí) （）6178iii??也就是說(shuō)當(dāng) i=1 時(shí)， 是獨(dú)立廣義坐標(biāo)，但在 i=1,2,3,4,5 時(shí)為 0。i由以上分析可以從各個(gè)單元中得到支鏈的廣義坐標(biāo)。當(dāng) 時(shí)，支鏈廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為 個(gè)。=1i ??9+7n具體表示為： （）(1)()2(1)9(2)1916,,Tiniiniimiiq?????? ?????? ?時(shí)，支鏈廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)為有 個(gè)。=345??+n具體表示為：山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模23 （）(1)()2(1)9(2)1915,,Tiniiniimiiq?????? ?????? ?為得出支鏈的彈性動(dòng)力學(xué)方程，需要先建立 與 的表達(dá)式間的關(guān)系，iij?根據(jù)測(cè)量機(jī)支鏈的約束方程組，將列陣 與 關(guān)系表達(dá)式表示為iij （）ijijAq??不同的支鏈轉(zhuǎn)換關(guān)系矩陣也不同。當(dāng) 1i? （）??8(97)1(92)89()18921()60(1,3,))0(1,)0 )mnijjnmjmjnBnAEjmG??????????????????? ???? ??? ? ?當(dāng) 時(shí)=2,345i （）??18(97)(92)189()18925(1,3,)0)(1,))mnijjnmjmjnBnAEjmG?????????? ????????????????? ? ?式中矩陣 ，將 時(shí)的矩陣 去掉最后一列，即為 時(shí)的矩陣 ，i?186? 2,345i 185G?矩陣 、 在各個(gè)支鏈上都相同。 表示 1818 階的單位矩陣， 、 矩陣表示如EBEB186?下：山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模24 000000000101001000B? ?? ?? ???????? ?189??????（）山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模25 （）10000010000010000G?1860100000?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?將 代入方程 ()兩邊并左乘 得：ijijAq??ijA A???ijijijijMq+CKq=P??（）式中 ?TijijMA?（） ?TijijC（） ?TijijKA?（） TijijP（）上式是對(duì)一個(gè)單元列出的方程，機(jī)構(gòu)支鏈 中有多少個(gè)單元，就可以列出多少個(gè)形如i（）的方程，將這些方程疊加，得到山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模26 （） ?MqCKqPiiii????式中 A1mijijM??（ ） （）A1mijijC?? （）1ijijK? （）A1miijjP?由此得到該測(cè)量機(jī)支鏈 的彈性動(dòng)力學(xué)方程。 系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)方程的建立 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束動(dòng)平臺(tái)與支鏈連接時(shí)要滿足以下條件：①各個(gè)支鏈與動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)的位移必須與動(dòng)平臺(tái)上與各個(gè)支鏈連接點(diǎn)的位移相一致；②各個(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的作用力之和應(yīng)與作用于動(dòng)平臺(tái)的外力和慣性力相平衡。下面根據(jù)條件① ，進(jìn)行系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的推導(dǎo)。由圖 可知，在動(dòng)系 下，各個(gè)鉸鏈與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn) 的坐標(biāo)是??B )5,4321(?iS定值。這里動(dòng)平臺(tái)的六個(gè)自由度定義為動(dòng)系 沿著系統(tǒng)定系 的BBZYXO?AAZYXO?變化。顯然，鉸鏈點(diǎn) 處的坐標(biāo)值分別是上述六個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。因此，)5,4321(?iS動(dòng)平臺(tái)的位移量可以表示為 。??Tqq6543210,由第二章可知，動(dòng)系 相對(duì)于定系 的變換矩陣為 ，當(dāng)給出動(dòng)平臺(tái)的??BARAB型歐拉角 和動(dòng)系 原點(diǎn) 在定系 下的坐標(biāo)XYZ?),(???BO??時(shí)，由式()，以歐拉角的形式表示動(dòng)系 相對(duì)于定系 的變??TBBOAZ?P ??A換矩陣： ???????????? 100),( BZYXAB Zcscs YsXc?????????T山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文 高速空間并聯(lián)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的彈性動(dòng)力學(xué)建模27（） 假設(shè)動(dòng)平臺(tái)的名義運(yùn)動(dòng)位姿在點(diǎn) 處，由于機(jī)構(gòu)支鏈的彈性變形使動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際BO運(yùn)動(dòng)位姿發(fā)生了微小的變動(dòng)（即 ） ，最終移動(dòng)到了點(diǎn) 處。動(dòng)平BZYX?????, BO?臺(tái)與支鏈的約束關(guān)系如圖 所示。則由坐標(biāo)系 到坐標(biāo)系 的??? ZYX?變換矩陣為 T? （）?????????? 10)cos()sin()sin(i ico00)si(co)sin( )cos(n)si(i iicoc BZYX????????????? ??? 動(dòng)平臺(tái)與支鏈的約束關(guān)系Fig. Constraint between the moving platform and branch因?yàn)榱鶄€(gè)變換參數(shù) 都是微小的變量，由泰勒展開(kāi)式以及麥克Bzyx?????,勞林公式，可以得到 的近似表達(dá)式T?山東科技大學(xué)工程碩士學(xué)位論文