【正文】 步：如果,選擇第1個(gè)染色體；否則選擇滿足的第個(gè)染色體。第4步重復(fù)第2步至第3步以獲得個(gè)下一代的染色體。對(duì)于每一輪選擇過程中應(yīng)用最優(yōu)性選擇算法的步驟如下：第1步：找出當(dāng)前群體中適應(yīng)度最高的個(gè)體和適應(yīng)度最低的個(gè)體。第2步：若當(dāng)前群體中最佳個(gè)體的適應(yīng)度比總的迄今為止的最好個(gè)體適應(yīng)度還要高，則以當(dāng)前群體中的最佳個(gè)體作為新的迄今為止的最好個(gè)體。第3步：用迄今為止的最好個(gè)體替換掉當(dāng)前群體中的最差個(gè)體。 交叉在[0，1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，如果，其中為交叉概率，則選擇當(dāng)前的染色體作為父代進(jìn)行雜交，重復(fù)該過程次，對(duì)于每個(gè)染色體對(duì)雜交操作將產(chǎn)生下面2個(gè)后代；這里，其中是[0，1]區(qū)間內(nèi) 取到的隨機(jī)數(shù)。 變異采用均勻變異，變異概率 定義了執(zhí)行變異操作的期望染色體數(shù)，對(duì)每個(gè)染色體在[0，1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，如果，則選擇染色體進(jìn)行變異，對(duì)于選出的后代，再隨機(jī)選擇出其無素來進(jìn)行變異，產(chǎn)生的后代為其中是在。 改進(jìn)遺傳算法的過程Stepl輸入?yún)?shù)H、最大迭代次數(shù)G；Step2從搜索空間中隨機(jī)產(chǎn)生H個(gè)染色體，并對(duì)其進(jìn)行可行化；Step3通過選擇、交叉、變異，更新染色體，并記錄最好的染色體；Step4計(jì)算每個(gè)染色體的適應(yīng)值，采用比例選擇策略來選擇下一代染色體；Step5重復(fù)step3和step4，共G次；Step6記錄最好的染色體，作為問題的最優(yōu)解。第五章 示例分析示例選取了上證中有代表性的6種股票進(jìn)行證券組合投資分析，他們的股票代碼分別為600104，600001，600009，600005，600057．并在2011年選取16個(gè)周的周收益率作為它們的實(shí)際收益率，具體數(shù)據(jù)見表(一)．表(一)續(xù)表(一)每股價(jià)格以2011年11月3日收盤價(jià)為準(zhǔn)，表(二) 根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算出每只股票的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差和它們之間的協(xié)方差，下表列出這六只股票的平均收益率R和風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)陣，見表(三)。表(三)為了對(duì)前一章提出的模型進(jìn)行分析，我們把參數(shù)設(shè)置如下：總投資額：300,000元；交易成本系數(shù)：；風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)：；無風(fēng)險(xiǎn)投資收益率：；分類約束為：其中,i=1,…,6分別表示在每只股票上的投資手?jǐn)?shù)，為用于無風(fēng)險(xiǎn)投資資金。．基本遺傳算法首先采用基本遺傳算法求解．設(shè)定運(yùn)行參數(shù)如下：群體大?。?M=100。交叉概率：Pc=。變異概率：；迭代次數(shù)：K=110。隨機(jī)產(chǎn)生初始解； 如下圖，在解的進(jìn)化過程中，群體中個(gè)體適應(yīng)度的最大值和平均值雖然又上下波動(dòng)的情況，但總的來說卻是呈現(xiàn)一種上升的趨勢(shì)．利用基本遺傳算法求得的解為：49，208，10，40，0，3，30562。明顯它是不可行解。經(jīng)過分析認(rèn)為出現(xiàn)這種情況主要是因?yàn)樗惴ǖ乃阉髂芰]能達(dá)到要求和懲罰因子的選擇不是很合適，但對(duì)于這種問題確定懲罰函數(shù)非常困難，因?yàn)檫@時(shí)既要考慮如何度量解對(duì)約束條件不滿足的程度，又要考慮遺傳算法在計(jì)算效率上的要求。如果懲罰函數(shù)的強(qiáng)度不夠，運(yùn)行過程中部分個(gè)體有可能破壞約束條件，因此無法確保遺傳運(yùn)算所得到的個(gè)體一定是一個(gè)可行解；但如果懲罰函數(shù)的強(qiáng)度過大，又會(huì)導(dǎo)致個(gè)體的適應(yīng)度無太大差距。削弱了個(gè)體之間的競(jìng)爭(zhēng)力，從而會(huì)對(duì)遺傳算法的運(yùn)行效率產(chǎn)生消極的影響。例如當(dāng)我們把懲罰因子的強(qiáng)度加強(qiáng)時(shí)將會(huì)造成如下圖所式的情形。雖然此時(shí)的最優(yōu)解為可行解： 54，146，6，58，1，5,48018．但由于問題的約束條件比較嚴(yán)格，只依靠交叉算子和變異算子在搜索空間中生成新個(gè)體的能力就比較差，即使能夠生成一些新的個(gè)體，群體的多樣性也會(huì)有較大程度的降低，從而對(duì)遺傳算法的運(yùn)行帶來不利的影響．群體大?。?M=100。迭代次數(shù)：K=110。隨機(jī)產(chǎn)生初始解；Pc，Pm均采用自適應(yīng)算法確定；由于二進(jìn)編碼不適合處理大規(guī)模的多變量?jī)?yōu)化問題，運(yùn)算更快，精度更高，十進(jìn)制編碼更靠近問題空間，更容易設(shè)計(jì)加入問題領(lǐng)域知識(shí)的遺傳算子[10]，這一特點(diǎn)對(duì)于處理投資組合模型這類約束優(yōu)化問題是非常重要的。每只股票在投資級(jí)組合的權(quán)重構(gòu)成的權(quán)重向量可視為種群中的一個(gè)個(gè)體，本文采用十進(jìn)制編碼。產(chǎn)生規(guī)模的具有均勻分布的初始種群，每個(gè)個(gè)體表示為染色體的基因編碼， ，經(jīng)過以下歸一化[11]處理， ， 得到初始解。在本模型中，追求的最小化是最優(yōu)的目標(biāo)。先按值對(duì)染色體由好到壞重排，再作評(píng)價(jià)函數(shù)，本文取。 遺傳操作(1) 選擇操作采用比例算法和最優(yōu)選擇策略相結(jié)合。采用如下過程：step1:step2:在中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)step3:若，則第個(gè)體被選擇step4:重復(fù)步驟step2和step3共對(duì)于每一輪選擇過程中應(yīng)用最優(yōu)性選擇算法的步驟如下：第1步：找出當(dāng)前群體中適應(yīng)度最高的個(gè)體和適應(yīng)度最低的個(gè)體。第2步：若當(dāng)前群體中最佳個(gè)體的適應(yīng)度比總的迄今為止的最好個(gè)體適應(yīng)度還要高，則以當(dāng)前群體中的最佳個(gè)體作為新的迄今為止的最好個(gè)體。第3步：用迄今為止的最好個(gè)體替換掉當(dāng)前群體中的最差個(gè)體。 (2)交叉操作step1:產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，若，則選中該個(gè)體，共執(zhí)行次，產(chǎn)生k個(gè)個(gè)體作為父代。step2:若為奇數(shù)，則隨機(jī)去掉1個(gè)。再隨機(jī)配對(duì)。step3:進(jìn)行雜交。如果選擇進(jìn)行雜交，則雜交后得到的兩個(gè)個(gè)體為： 其中為一個(gè)隨機(jī)數(shù)step4:若滿足約束條件，就保留子代，否則保留父代。共執(zhí)行③1次。 (3)變異操作step1:產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，若，則選中該染色體，共執(zhí)行次，共選出個(gè)染色體。step2:產(chǎn)生隨機(jī)向量dstep3:給定一個(gè)較大的數(shù)和，step4:,再把作歸一化處理，若滿足約束條件，則選中該染色體否則，再重復(fù)執(zhí)行step4，若執(zhí)行次，就保留原染色體。step5:重新給賦值，重復(fù)執(zhí)行step4次。 (4) 自適應(yīng)算子參數(shù) 交叉概率和變異概率是實(shí)施遺傳算法必須確定的兩個(gè)非常重要的控制參數(shù)，但目前在理論上還不能精確的確定這兩個(gè)參數(shù)的具體數(shù)值，一般的約定是：交叉概率在[,]之間取值， 左右，本文采用自適應(yīng)的思想，根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度的大小確定交叉概率和變異概率： 其中：為解群中個(gè)體適應(yīng)度的最大值，為解群的平均適應(yīng)度，F(xiàn)為參與交叉或變異操作的個(gè)體適應(yīng)度。 結(jié)果 經(jīng)過110次迭代得到的染色體群體中，每個(gè)個(gè)體的表現(xiàn)性基本上相同，所以得到最優(yōu)解的平均正確率近似達(dá)到100％。所得的最優(yōu)解即投資決策見下表股票代碼6000006000057600104600001600005600009無風(fēng)險(xiǎn)投資投資手?jǐn)?shù)55145142541172265 下圖所示為其進(jìn)化過程示例及運(yùn)行結(jié)果．圖中橫軸表示進(jìn)化代數(shù)，縱軸表示適應(yīng)度，圖中的兩條曲線分別為各代群體中個(gè)體適應(yīng)度的最大值和平均值．從圖中可以看到開始時(shí)隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，適應(yīng)度在逐漸的降低，其原因是搜索處在不可行解域中，那么隨著進(jìn)化的進(jìn)行，懲罰因子不斷變大，對(duì)不可行解的懲罰也不斷變大，這就造成了適應(yīng)度的降低．但是當(dāng)問題搜索到可行解域后懲罰消失，適應(yīng)度則開始逐漸的增加．從而證明了改進(jìn)后的遺傳算法把握全局的搜索能力。 圖ad所示分別為初始群體、第10代群體、第50代群體、第110代群體中個(gè)體的分布情況，在圖a中各個(gè)個(gè)體分布的比較均勻；圖b中大量個(gè)體分布在最優(yōu)點(diǎn)附近；圖c中可以看出個(gè)體更加集中在最優(yōu)點(diǎn)附近。圖d中可以看出個(gè)體已基本上收斂到最優(yōu)點(diǎn)。由該組圖形可以看到，隨著進(jìn)化過程的進(jìn)行，群體中適應(yīng)度較低的一些個(gè)體被逐漸淘汰掉，而是適應(yīng)度較高的一些個(gè)體會(huì)越來越多，并且它們都集中在所求問題得最優(yōu)點(diǎn)附近，從而最終就可以搜索到問題的最優(yōu)解。 圖a 圖—b 圖—c圖—d第六章 總結(jié)與展望 自從Markowitz開創(chuàng)性的論文“投資組合選擇發(fā)表以來，現(xiàn)代證券組合理論得到快速發(fā)展，取得了豐厚的成果，但隨著現(xiàn)代的計(jì)算技術(shù)和證券市場(chǎng)本身發(fā)展，該理論顯得不夠成熟，急需完善和發(fā)展。本文正是為適應(yīng)這一個(gè)要求，進(jìn)行了一些深入的探索和研究。本文研究的主要成果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 對(duì)現(xiàn)代投資組合理論取得的重要成果進(jìn)行了分析和綜述，并介紹和討論了若干投資組合模型。主要介紹了遺傳算法的基本流程、特點(diǎn)、性能以及常用的技術(shù)。并在此基礎(chǔ)上研究了一些遺傳算子的改進(jìn)形式。本文分析了傳統(tǒng)優(yōu)化算法的求解局限，并主要介紹了遺傳算法、改進(jìn)型遺傳算法等啟發(fā)式算法。在充分分析了它們的長(zhǎng)處與不足之后，本文構(gòu)造了一種新的全局搜索算法一改進(jìn)型遺傳算法來求解，即將遺傳算法、自適應(yīng)算子參數(shù)和動(dòng)態(tài)懲罰函數(shù)法相結(jié)合。它彌補(bǔ)了基本遺傳算法局部搜索能力差的不足，并且解決了含有約束的組合優(yōu)化問題。最后通過示例分析證明該算法可在一定程度上提高求解效率，是合理和有效的。 關(guān)于具有交易費(fèi)用的投資組合問題的研究，本文只考慮到了與交易量成比例的交易費(fèi)用，但在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，還存在著其它形式的交易費(fèi)用。這些形式的交易費(fèi)用都會(huì)對(duì)投資組合選擇有著直接的影響，因此我們有必要對(duì)本文所提出的相關(guān)模型做出進(jìn)一步的改進(jìn)和完善，使得依賴模型生成的投資策略更加符合現(xiàn)實(shí)。投資組合模型在金融領(lǐng)域中扮演著越來越重要的作用，而遺傳算法作為目前在數(shù)學(xué)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的理論，相信同投資組合結(jié)合起來一定會(huì)發(fā)揮它自身的優(yōu)勢(shì)，為投資組合模型的求解提出更新的思路，發(fā)揮更大的作用。