【正文】 步：如果,選擇第1個染色體；否則選擇滿足的第個染色體。第4步重復第2步至第3步以獲得個下一代的染色體。對于每一輪選擇過程中應用最優(yōu)性選擇算法的步驟如下：第1步：找出當前群體中適應度最高的個體和適應度最低的個體。第2步：若當前群體中最佳個體的適應度比總的迄今為止的最好個體適應度還要高，則以當前群體中的最佳個體作為新的迄今為止的最好個體。第3步：用迄今為止的最好個體替換掉當前群體中的最差個體。 交叉在[0，1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)，如果，其中為交叉概率，則選擇當前的染色體作為父代進行雜交，重復該過程次，對于每個染色體對雜交操作將產(chǎn)生下面2個后代；這里，其中是[0，1]區(qū)間內(nèi) 取到的隨機數(shù)。 變異采用均勻變異，變異概率 定義了執(zhí)行變異操作的期望染色體數(shù)，對每個染色體在[0，1]區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生一個隨機數(shù)，如果，則選擇染色體進行變異，對于選出的后代，再隨機選擇出其無素來進行變異，產(chǎn)生的后代為其中是在。 改進遺傳算法的過程Stepl輸入?yún)?shù)H、最大迭代次數(shù)G；Step2從搜索空間中隨機產(chǎn)生H個染色體，并對其進行可行化；Step3通過選擇、交叉、變異，更新染色體，并記錄最好的染色體；Step4計算每個染色體的適應值，采用比例選擇策略來選擇下一代染色體；Step5重復step3和step4，共G次；Step6記錄最好的染色體，作為問題的最優(yōu)解。第五章 示例分析示例選取了上證中有代表性的6種股票進行證券組合投資分析，他們的股票代碼分別為600104，600001，600009，600005，600057．并在2011年選取16個周的周收益率作為它們的實際收益率，具體數(shù)據(jù)見表(一)．表(一)續(xù)表(一)每股價格以2011年11月3日收盤價為準，表(二) 根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算出每只股票的期望收益率和標準差和它們之間的協(xié)方差，下表列出這六只股票的平均收益率R和風險相關陣，見表(三)。表(三)為了對前一章提出的模型進行分析，我們把參數(shù)設置如下：總投資額：300,000元；交易成本系數(shù)：；風險偏好系數(shù)：；無風險投資收益率：；分類約束為：其中,i=1,…,6分別表示在每只股票上的投資手數(shù)，為用于無風險投資資金。．基本遺傳算法首先采用基本遺傳算法求解．設定運行參數(shù)如下：群體大小： M=100。交叉概率：Pc=。變異概率：；迭代次數(shù)：K=110。隨機產(chǎn)生初始解； 如下圖，在解的進化過程中，群體中個體適應度的最大值和平均值雖然又上下波動的情況，但總的來說卻是呈現(xiàn)一種上升的趨勢．利用基本遺傳算法求得的解為：49，208，10，40，0，3，30562。明顯它是不可行解。經(jīng)過分析認為出現(xiàn)這種情況主要是因為算法的搜索能力沒能達到要求和懲罰因子的選擇不是很合適，但對于這種問題確定懲罰函數(shù)非常困難，因為這時既要考慮如何度量解對約束條件不滿足的程度，又要考慮遺傳算法在計算效率上的要求。如果懲罰函數(shù)的強度不夠，運行過程中部分個體有可能破壞約束條件，因此無法確保遺傳運算所得到的個體一定是一個可行解；但如果懲罰函數(shù)的強度過大，又會導致個體的適應度無太大差距。削弱了個體之間的競爭力，從而會對遺傳算法的運行效率產(chǎn)生消極的影響。例如當我們把懲罰因子的強度加強時將會造成如下圖所式的情形。雖然此時的最優(yōu)解為可行解： 54，146，6，58，1，5,48018．但由于問題的約束條件比較嚴格，只依靠交叉算子和變異算子在搜索空間中生成新個體的能力就比較差，即使能夠生成一些新的個體，群體的多樣性也會有較大程度的降低，從而對遺傳算法的運行帶來不利的影響．群體大?。?M=100。迭代次數(shù)：K=110。隨機產(chǎn)生初始解；Pc，Pm均采用自適應算法確定；由于二進編碼不適合處理大規(guī)模的多變量優(yōu)化問題，運算更快，精度更高，十進制編碼更靠近問題空間，更容易設計加入問題領域知識的遺傳算子[10]，這一特點對于處理投資組合模型這類約束優(yōu)化問題是非常重要的。每只股票在投資級組合的權重構成的權重向量可視為種群中的一個個體，本文采用十進制編碼。產(chǎn)生規(guī)模的具有均勻分布的初始種群，每個個體表示為染色體的基因編碼， ，經(jīng)過以下歸一化[11]處理， ， 得到初始解。在本模型中，追求的最小化是最優(yōu)的目標。先按值對染色體由好到壞重排，再作評價函數(shù)，本文取。 遺傳操作(1) 選擇操作采用比例算法和最優(yōu)選擇策略相結合。采用如下過程：step1:step2:在中產(chǎn)生隨機數(shù)step3:若，則第個體被選擇step4:重復步驟step2和step3共對于每一輪選擇過程中應用最優(yōu)性選擇算法的步驟如下：第1步：找出當前群體中適應度最高的個體和適應度最低的個體。第2步：若當前群體中最佳個體的適應度比總的迄今為止的最好個體適應度還要高，則以當前群體中的最佳個體作為新的迄今為止的最好個體。第3步：用迄今為止的最好個體替換掉當前群體中的最差個體。 (2)交叉操作step1:產(chǎn)生隨機數(shù)，若，則選中該個體，共執(zhí)行次，產(chǎn)生k個個體作為父代。step2:若為奇數(shù)，則隨機去掉1個。再隨機配對。step3:進行雜交。如果選擇進行雜交，則雜交后得到的兩個個體為： 其中為一個隨機數(shù)step4:若滿足約束條件，就保留子代，否則保留父代。共執(zhí)行③1次。 (3)變異操作step1:產(chǎn)生隨機數(shù)，若，則選中該染色體，共執(zhí)行次，共選出個染色體。step2:產(chǎn)生隨機向量dstep3:給定一個較大的數(shù)和，step4:,再把作歸一化處理，若滿足約束條件，則選中該染色體否則，再重復執(zhí)行step4，若執(zhí)行次，就保留原染色體。step5:重新給賦值，重復執(zhí)行step4次。 (4) 自適應算子參數(shù) 交叉概率和變異概率是實施遺傳算法必須確定的兩個非常重要的控制參數(shù)，但目前在理論上還不能精確的確定這兩個參數(shù)的具體數(shù)值，一般的約定是：交叉概率在[,]之間取值， 左右，本文采用自適應的思想，根據(jù)個體適應度的大小確定交叉概率和變異概率： 其中：為解群中個體適應度的最大值，為解群的平均適應度，F(xiàn)為參與交叉或變異操作的個體適應度。 結果 經(jīng)過110次迭代得到的染色體群體中，每個個體的表現(xiàn)性基本上相同，所以得到最優(yōu)解的平均正確率近似達到100％。所得的最優(yōu)解即投資決策見下表股票代碼6000006000057600104600001600005600009無風險投資投資手數(shù)55145142541172265 下圖所示為其進化過程示例及運行結果．圖中橫軸表示進化代數(shù)，縱軸表示適應度，圖中的兩條曲線分別為各代群體中個體適應度的最大值和平均值．從圖中可以看到開始時隨著進化代數(shù)的增加，適應度在逐漸的降低，其原因是搜索處在不可行解域中，那么隨著進化的進行，懲罰因子不斷變大，對不可行解的懲罰也不斷變大，這就造成了適應度的降低．但是當問題搜索到可行解域后懲罰消失，適應度則開始逐漸的增加．從而證明了改進后的遺傳算法把握全局的搜索能力。 圖ad所示分別為初始群體、第10代群體、第50代群體、第110代群體中個體的分布情況，在圖a中各個個體分布的比較均勻；圖b中大量個體分布在最優(yōu)點附近；圖c中可以看出個體更加集中在最優(yōu)點附近。圖d中可以看出個體已基本上收斂到最優(yōu)點。由該組圖形可以看到，隨著進化過程的進行，群體中適應度較低的一些個體被逐漸淘汰掉，而是適應度較高的一些個體會越來越多，并且它們都集中在所求問題得最優(yōu)點附近，從而最終就可以搜索到問題的最優(yōu)解。 圖a 圖—b 圖—c圖—d第六章 總結與展望 自從Markowitz開創(chuàng)性的論文“投資組合選擇發(fā)表以來，現(xiàn)代證券組合理論得到快速發(fā)展，取得了豐厚的成果，但隨著現(xiàn)代的計算技術和證券市場本身發(fā)展，該理論顯得不夠成熟，急需完善和發(fā)展。本文正是為適應這一個要求，進行了一些深入的探索和研究。本文研究的主要成果主要體現(xiàn)在以下幾個方面： 對現(xiàn)代投資組合理論取得的重要成果進行了分析和綜述，并介紹和討論了若干投資組合模型。主要介紹了遺傳算法的基本流程、特點、性能以及常用的技術。并在此基礎上研究了一些遺傳算子的改進形式。本文分析了傳統(tǒng)優(yōu)化算法的求解局限，并主要介紹了遺傳算法、改進型遺傳算法等啟發(fā)式算法。在充分分析了它們的長處與不足之后，本文構造了一種新的全局搜索算法一改進型遺傳算法來求解，即將遺傳算法、自適應算子參數(shù)和動態(tài)懲罰函數(shù)法相結合。它彌補了基本遺傳算法局部搜索能力差的不足，并且解決了含有約束的組合優(yōu)化問題。最后通過示例分析證明該算法可在一定程度上提高求解效率，是合理和有效的。 關于具有交易費用的投資組合問題的研究，本文只考慮到了與交易量成比例的交易費用，但在實際的金融市場中，還存在著其它形式的交易費用。這些形式的交易費用都會對投資組合選擇有著直接的影響，因此我們有必要對本文所提出的相關模型做出進一步的改進和完善，使得依賴模型生成的投資策略更加符合現(xiàn)實。投資組合模型在金融領域中扮演著越來越重要的作用，而遺傳算法作為目前在數(shù)學領域廣泛應用的理論，相信同投資組合結合起來一定會發(fā)揮它自身的優(yōu)勢，為投資組合模型的求解提出更新的思路，發(fā)揮更大的作用。