數(shù)列經(jīng)典試題含答案-資料下載頁(yè)
2025-06-26 05:29本頁(yè)面
【正文】 16．5，(n＋1)(n－2)．解析：同一平面內(nèi)兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直線都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．由f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．三、解答題17．分析：判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列關(guān)鍵看是否滿足從第2項(xiàng)開(kāi)始每項(xiàng)與其前一項(xiàng)差為常數(shù)．證明：（1）n＝1時(shí)，a1＝S1＝3－2＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，n＝1時(shí)，亦滿足，∴an＝6n－5(n∈N*)．首項(xiàng)a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常數(shù))(n∈N*)，∴數(shù)列{an}成等差數(shù)列且a1＝1，公差為6．（2）∵，成等差數(shù)列， ∴＝＋化簡(jiǎn)得2ac＝b(a＋c)． ＋＝＝＝＝＝2，∴，也成等差數(shù)列．18．解：（1）由題設(shè)2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－．（2）若q＝1，則Sn＝2n＋＝．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．若q＝－，則Sn＝2n＋ (－)＝．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝，故對(duì)于n∈N+，當(dāng)2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn；當(dāng)n＝10時(shí)，Sn＝bn；當(dāng)n≥11時(shí)，Sn＜bn．19．證明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1) Sn，所以＝．故{}是以2為公比的等比數(shù)列．20．證明：由a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3， 變形得(4q3＋1)(q3－1)＝0， ∴q3＝－或q3＝1(舍)． 由＝＝＝； ＝－1＝－1＝1＋q6－1＝； 得＝． ∴12S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．第 9 頁(yè) 共 9
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