【正文】 為即期年金和延期年金；按支付的期間，可分為終身生命年金和定期生命年金；按年金支付的額度，可分為定額年金和變額年金。（1）期末付生命年金的現(xiàn)值。1）期末付定期生命年金的現(xiàn)值。設表示年齡為歲的人，購買定期年，期末付年金1元的生命年金的現(xiàn)值。則，第1年末，保險人支付年金的現(xiàn)值為：第2年末，保險人支付年金的現(xiàn)值為： 第年末，保險人支付年金的現(xiàn)值為：保險人收取的凈保費現(xiàn)值為：根據(jù)收支相等原則，有：為了簡化上述表達式，令：，被稱為換算符號，它們由和確定，通常被編成表供查閱。所以：同理可求，2）期末付終身生命年金的現(xiàn)值：3）期末付延期定期生命年金的現(xiàn)值：4）期末付延期終身生命年金的現(xiàn)值：（2）期首付生命年金的現(xiàn)值。1）期首付定期生命年金的現(xiàn)值。設表示年齡為歲的人，購買定期年，期首付年金1元的生命年金的現(xiàn)值。則，第1年初，保險人支付年金的現(xiàn)值為：第2年初，保險人支付年金的現(xiàn)值為： 第年初，保險人支付年金的現(xiàn)值為：保險人收取的凈保費現(xiàn)值為：根據(jù)收支相等原則，有：同理可求，2）期首付終身生命年金的現(xiàn)值：3）期首付延期定期生命年金的現(xiàn)值：4）期首付延期終身生命年金的現(xiàn)值： 壽險純保費的計算 1．壽險躉繳純保費的計算所謂躉繳純保費，就是指投保人或被保險人在保單簽發(fā)之日一次性繳付的純保費。這里的純保費是指理論保費，即只以預定死亡率和預定利率為基礎而計算出來的一種保費，且剛好可用于未來保險金的給付。人壽保險費制定的基本原則是等價交換、收支相等。人壽保險純保費制定的直接依據(jù)是：純保費收入的現(xiàn)值等于未來支付保險金的現(xiàn)值。由于是在投保時一次性付清的，因此，躉繳純保費在投保時的現(xiàn)值就是其本身。躉繳純保費應與保險合同所規(guī)定的保險人在整個保險期內(nèi)的給付義務的現(xiàn)值相等。在以后的計算中，均假設利率為，死亡發(fā)生在每一年的年中，保險人給付保險金為1。這里，僅用定期死亡保險為例來說明躉繳純保費的計算原理，其他險種的躉繳純保費的計算方法與此類似。假設被保險人投保（或簽單）時的年齡為歲，歲時有人參加定期死亡保險，第一年中有個人死亡，保險人對死亡的被保險人每人給付保險金1元，共元，則給付保險金的現(xiàn)值為；第二年中保險人給付保險金的現(xiàn)值為第年保險人給付保險金的現(xiàn)值為。個人應繳納的總純保費等于保險人各年給付保險金的現(xiàn)值之和，即，用總保費除以，可以得出每個人應繳納的純保險金額。用表示x歲的人投保保險金額為1元，保險期限為n年的死亡保險的躉繳純保費。則，引入換算符號，所以，當時，此即為自然費率公式。同理可求，（1）終身死亡保險躉繳凈保費：（2）生存保險躉繳凈保費：（3）全保險躉繳凈保費：（4）延期定期壽險躉繳凈保費：（5）延期終身壽險躉繳凈保費：（6）延期定期生存保險躉繳凈保費：（7）延期定期兩全保險躉繳凈保費：2．壽險年繳純保費的計算躉繳純保費數(shù)額較大，投保人往往難以接受。為了解決投保人的這個負擔，保險公司一般允許投保人在購買保險時，將保險費按年、按季、按月或每半年繳付一次，而以一年繳付一次的方式最為普遍。按年繳付的保險費即為年度保險費。不論是一次性繳費方式還是按年繳費方式，投保人所繳保險費的現(xiàn)值都應該相等，即年繳保險費的現(xiàn)值等于躉繳保險費的現(xiàn)值。以代表各類人壽保險的躉繳純保險費，以代表年繳純保險費，由于元是投保人按年繳付的，因此，各年的折算到投保時的現(xiàn)值不同，各年繳費的人數(shù)也不同。設年繳純保險費在年內(nèi)每年年初繳納一次，則保險人各年收取純保險費的現(xiàn)值為：此累積現(xiàn)值應與躉繳純保費相等，即，則，即，因此，（1）定期死亡保險年繳純保險費：（2）終身壽險的年繳凈保費：（3）定期生存保險的年繳凈保費： （4）兩全保險的年繳凈保費： 壽險營業(yè)保費的計算 1．比例法比例法就是按照營業(yè)保費的一定比例作為附加費用。這一比例一般根據(jù)以往的業(yè)務管理的經(jīng)驗來確定。若以表示純保費，表示營業(yè)保費，表示附加費用，則，若以L表示附加保費，則，比例法計算附加費用雖然簡便，但不盡合理。一般對年期短，保費低的險種，附加費就可能少于實際需要；反之，對于年期長，保費高的險種，附加費則可能多于實際需要。 已知某投保人繳凈保費元，附加費比例，求該投保人繳納的營業(yè)保費和附加費用？解： （元）（元）2．比例常數(shù)法比例常數(shù)法是把附加費用分成兩部分考慮：首先，根據(jù)每張保單的平均保險金額推算出每單位保額必須承擔的固定費用，這部分作為一個固定常數(shù)，用c表示；然后，再確定營業(yè)保費的一定比例作為其余部分的附加費用，用k表示，則，所以，比例常數(shù)法雖然對保額大的險種增加一定量的附加費，但對于年期短、保費低的險種，提取的附加費仍然少于實際需要。 某人現(xiàn)年30歲，購買一定期10年的兩全保險，保險金額為50 000元。已知經(jīng)營此類業(yè)務，每萬元保額需要支出固定費用100元，且該合同年的年繳凈保費為 3 。此外，%承擔其余部分的附加費用。求該保單的年繳營業(yè)保費。解：年繳營業(yè)保費為，（元）3．三元素法該法綜合了前面我們所介紹的三種附加費規(guī)定的方式。按每張保單在保險期內(nèi)的不同階段和不同用途，附加三種費用，稱為三元素法。具體情況如下：（1）新契約費用。它是壽險公司簽訂新契約與第一年度所必須支付的費用，如，體檢費、簽單費等，它是一次性費用且在簽訂保險合同的當年支出。一般按保額的一定比例計算，用表示。（2）維持費用。它是契約自第一年開始至契約終止時為止，全部保險期間內(nèi)維持契約所必須支付的費用，如催繳保費、契約變更等所需費用。維持費用一般分攤于整個繳費期，每年每單位保險金額為。（3）收費費用。包括收費員工資、繳費事務費等，也是分攤于整個繳費期，一般按總保費的一定比例計算，用表示。，故又稱為史晉列克算式。 壽險責任準備金 1．壽險責任準備金的含義人壽保險的保險費既可以一次性躉繳，也可分期繳納。在躉繳保費的情況下，保險公司必須提存一部分以應付以后的給付。在分期按年繳費的情況下，大多數(shù)是按均衡保險費進行的。一般而言，在保險全過程的初期若干年中，保險公司的保費收入大于其所應支付給受益人的保險金；而在后期若干年中，其所收入的保費小于應支付給受益人的保險金。所以，保險公司必須把保險前期收入的部分保費積存起來，以彌補后期的不足。這種從保費中抽出一部分做提存的保費，稱為責任準備金。責任準備金其實是保險人對被保險人或其受益人的一種負債。責任準備金的提存，主要是為了保證被保險人或其受益人的利益。如果被保險人在保險期滿前中途退保，或改變保費繳納方式，或改變領(lǐng)取保險金的方式，保險人應根據(jù)當前所提存的責任準備金的數(shù)額，計算退保金或保險金的數(shù)額。責任準備金可分為理論責任準備金和在其基礎上修正后的實際責任準備金。 2．理論責任準備金的計算理論責任準備金的計算，由過去法和未來法之分。（1）過去法。過去法以分析已繳的純保險費為出發(fā)點，用過去所繳純保險費的終值減去過去已給付保險金的終值作為責任準備金的計算方法。即，時刻t時的準備金=已繳純保險在時刻t的精算積存值以往保險利益在時刻t時的精算積存值（2）未來法。采用過去法計算準備金雖然利于理解，但計算較繁瑣復雜，通常不采用這種方法。而常用的是未來法，它是采用將來應給付保險金在結(jié)算日的現(xiàn)值減去將來可收取的純保費在結(jié)算日的現(xiàn)值的方法來計算準備金的。即，時刻t時的準備金=未來保險利益在時刻t時的精算現(xiàn)值未繳純保險費在時刻t時的精算現(xiàn)值采用過去法和未來法計算的責任準備金是一致的。未來法和過去法的等價關(guān)系說明了責任準備金實際上是保險人在時刻t的未來損失的期望值。3．實際責任準備金的計算利用均衡純保費計算準備金，必須假定附加費用足以支付實際的各項費用的開支。因為每年的純保險費相等，故附加費用每年也相等，這就要求每年的實際費用支出相等。然而實際情況并非如此。由于原始費用的關(guān)系，第一年的費用要比以后各年的費用大得多。因此，保險公司實際提存的準備金并不與理論準備金相同，而是將理論準備金加以必要的修正計算出來的。這種修正之后的準備金稱為實際責任準備金，又稱修正責任準備金。不論采用什么方式對理論準備金加以修正，在保單到期時的實際責任準備金應與理論責任準備金相同。為討論問題方便，我們假定承保有下面的具有代表意義的保單：某年齡為x歲的人，投保n年定期混合保險，保險金額為元，保險費自保單開始時起分年交付。由于保險公司開始承保的第一年的年度毛保險費減去年度純保險費的余額不足抵付當年的開支，故將第一年的純保險費修訂為一個較小的，使保險公司有元的金額以應付當年的開支，同時將第二年及以后各年的年度純保險費修正為。換言之，在第一年少收的純保險費，要從第二年以后的純保險費內(nèi)彌補。在修正準備金時，第一個問題是如何決定第一年度的純保險費及第二年以后的純保險費，如何令與的差額為，則有，這里的稱為扣除額，因為，…，為各年的年度純保險費，故其現(xiàn)值應與躉繳純保險費的現(xiàn)值相等，即，又因為，聯(lián)合上面兩式整理后可得，可見，只要使等于某個規(guī)定值，就可求出對應的及。顯然，對于扣除額的數(shù)值是不能隨意規(guī)定的，而應有一定的限制。例如，保險公司在第一年的給付，在理論上應等于自然純保費，故不論怎樣都不得小于，即應有，因此，不難求出的最高限額為：同理論責任準備金的計算一樣，實際責任準備金的計算也可分別用過去法或未來法進行，在此我們不再說明。總之，實際責任準備金計算的關(guān)鍵在于恰當?shù)卮_定的值。實務上采用的所謂一年定期修正制、終身保險修正制、扣除制等的差別在于選取的的值不同。97 / 31