【正文】 為即期年金和延期年金；按支付的期間，可分為終身生命年金和定期生命年金；按年金支付的額度，可分為定額年金和變額年金。（1）期末付生命年金的現(xiàn)值。1）期末付定期生命年金的現(xiàn)值。設(shè)表示年齡為歲的人，購(gòu)買(mǎi)定期年，期末付年金1元的生命年金的現(xiàn)值。則，第1年末，保險(xiǎn)人支付年金的現(xiàn)值為：第2年末，保險(xiǎn)人支付年金的現(xiàn)值為： 第年末，保險(xiǎn)人支付年金的現(xiàn)值為：保險(xiǎn)人收取的凈保費(fèi)現(xiàn)值為：根據(jù)收支相等原則，有：為了簡(jiǎn)化上述表達(dá)式，令：，被稱(chēng)為換算符號(hào)，它們由和確定，通常被編成表供查閱。所以：同理可求，2）期末付終身生命年金的現(xiàn)值：3）期末付延期定期生命年金的現(xiàn)值：4）期末付延期終身生命年金的現(xiàn)值：（2）期首付生命年金的現(xiàn)值。1）期首付定期生命年金的現(xiàn)值。設(shè)表示年齡為歲的人，購(gòu)買(mǎi)定期年，期首付年金1元的生命年金的現(xiàn)值。則，第1年初，保險(xiǎn)人支付年金的現(xiàn)值為：第2年初，保險(xiǎn)人支付年金的現(xiàn)值為： 第年初，保險(xiǎn)人支付年金的現(xiàn)值為：保險(xiǎn)人收取的凈保費(fèi)現(xiàn)值為：根據(jù)收支相等原則，有：同理可求，2）期首付終身生命年金的現(xiàn)值：3）期首付延期定期生命年金的現(xiàn)值：4）期首付延期終身生命年金的現(xiàn)值： 壽險(xiǎn)純保費(fèi)的計(jì)算 1．壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的計(jì)算所謂躉繳純保費(fèi)，就是指投保人或被保險(xiǎn)人在保單簽發(fā)之日一次性繳付的純保費(fèi)。這里的純保費(fèi)是指理論保費(fèi)，即只以預(yù)定死亡率和預(yù)定利率為基礎(chǔ)而計(jì)算出來(lái)的一種保費(fèi)，且剛好可用于未來(lái)保險(xiǎn)金的給付。人壽保險(xiǎn)費(fèi)制定的基本原則是等價(jià)交換、收支相等。人壽保險(xiǎn)純保費(fèi)制定的直接依據(jù)是：純保費(fèi)收入的現(xiàn)值等于未來(lái)支付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值。由于是在投保時(shí)一次性付清的，因此，躉繳純保費(fèi)在投保時(shí)的現(xiàn)值就是其本身。躉繳純保費(fèi)應(yīng)與保險(xiǎn)合同所規(guī)定的保險(xiǎn)人在整個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)的給付義務(wù)的現(xiàn)值相等。在以后的計(jì)算中，均假設(shè)利率為，死亡發(fā)生在每一年的年中，保險(xiǎn)人給付保險(xiǎn)金為1。這里，僅用定期死亡保險(xiǎn)為例來(lái)說(shuō)明躉繳純保費(fèi)的計(jì)算原理，其他險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的計(jì)算方法與此類(lèi)似。假設(shè)被保險(xiǎn)人投保（或簽單）時(shí)的年齡為歲，歲時(shí)有人參加定期死亡保險(xiǎn)，第一年中有個(gè)人死亡，保險(xiǎn)人對(duì)死亡的被保險(xiǎn)人每人給付保險(xiǎn)金1元，共元，則給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為；第二年中保險(xiǎn)人給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為第年保險(xiǎn)人給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為。個(gè)人應(yīng)繳納的總純保費(fèi)等于保險(xiǎn)人各年給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值之和，即，用總保費(fèi)除以，可以得出每個(gè)人應(yīng)繳納的純保險(xiǎn)金額。用表示x歲的人投保保險(xiǎn)金額為1元，保險(xiǎn)期限為n年的死亡保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。則，引入換算符號(hào)，所以，當(dāng)時(shí)，此即為自然費(fèi)率公式。同理可求，（1）終身死亡保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：（2）生存保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：（3）全保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：（4）延期定期壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：（5）延期終身壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：（6）延期定期生存保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：（7）延期定期兩全保險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)：2．壽險(xiǎn)年繳純保費(fèi)的計(jì)算躉繳純保費(fèi)數(shù)額較大，投保人往往難以接受。為了解決投保人的這個(gè)負(fù)擔(dān)，保險(xiǎn)公司一般允許投保人在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)時(shí)，將保險(xiǎn)費(fèi)按年、按季、按月或每半年繳付一次，而以一年繳付一次的方式最為普遍。按年繳付的保險(xiǎn)費(fèi)即為年度保險(xiǎn)費(fèi)。不論是一次性繳費(fèi)方式還是按年繳費(fèi)方式，投保人所繳保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值都應(yīng)該相等，即年繳保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值等于躉繳保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值。以代表各類(lèi)人壽保險(xiǎn)的躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)，以代表年繳純保險(xiǎn)費(fèi)，由于元是投保人按年繳付的，因此，各年的折算到投保時(shí)的現(xiàn)值不同，各年繳費(fèi)的人數(shù)也不同。設(shè)年繳純保險(xiǎn)費(fèi)在年內(nèi)每年年初繳納一次，則保險(xiǎn)人各年收取純保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值為：此累積現(xiàn)值應(yīng)與躉繳純保費(fèi)相等，即，則，即，因此，（1）定期死亡保險(xiǎn)年繳純保險(xiǎn)費(fèi)：（2）終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)：（3）定期生存保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)： （4）兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)： 壽險(xiǎn)營(yíng)業(yè)保費(fèi)的計(jì)算 1．比例法比例法就是按照營(yíng)業(yè)保費(fèi)的一定比例作為附加費(fèi)用。這一比例一般根據(jù)以往的業(yè)務(wù)管理的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。若以表示純保費(fèi)，表示營(yíng)業(yè)保費(fèi)，表示附加費(fèi)用，則，若以L(fǎng)表示附加保費(fèi)，則，比例法計(jì)算附加費(fèi)用雖然簡(jiǎn)便，但不盡合理。一般對(duì)年期短，保費(fèi)低的險(xiǎn)種，附加費(fèi)就可能少于實(shí)際需要；反之，對(duì)于年期長(zhǎng)，保費(fèi)高的險(xiǎn)種，附加費(fèi)則可能多于實(shí)際需要。 已知某投保人繳凈保費(fèi)元，附加費(fèi)比例，求該投保人繳納的營(yíng)業(yè)保費(fèi)和附加費(fèi)用？解： （元）（元）2．比例常數(shù)法比例常數(shù)法是把附加費(fèi)用分成兩部分考慮：首先，根據(jù)每張保單的平均保險(xiǎn)金額推算出每單位保額必須承擔(dān)的固定費(fèi)用，這部分作為一個(gè)固定常數(shù)，用c表示；然后，再確定營(yíng)業(yè)保費(fèi)的一定比例作為其余部分的附加費(fèi)用，用k表示，則，所以，比例常數(shù)法雖然對(duì)保額大的險(xiǎn)種增加一定量的附加費(fèi)，但對(duì)于年期短、保費(fèi)低的險(xiǎn)種，提取的附加費(fèi)仍然少于實(shí)際需要。 某人現(xiàn)年30歲，購(gòu)買(mǎi)一定期10年的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為50 000元。已知經(jīng)營(yíng)此類(lèi)業(yè)務(wù)，每萬(wàn)元保額需要支出固定費(fèi)用100元，且該合同年的年繳凈保費(fèi)為 3 。此外，%承擔(dān)其余部分的附加費(fèi)用。求該保單的年繳營(yíng)業(yè)保費(fèi)。解：年繳營(yíng)業(yè)保費(fèi)為，（元）3．三元素法該法綜合了前面我們所介紹的三種附加費(fèi)規(guī)定的方式。按每張保單在保險(xiǎn)期內(nèi)的不同階段和不同用途，附加三種費(fèi)用，稱(chēng)為三元素法。具體情況如下：（1）新契約費(fèi)用。它是壽險(xiǎn)公司簽訂新契約與第一年度所必須支付的費(fèi)用，如，體檢費(fèi)、簽單費(fèi)等，它是一次性費(fèi)用且在簽訂保險(xiǎn)合同的當(dāng)年支出。一般按保額的一定比例計(jì)算，用表示。（2）維持費(fèi)用。它是契約自第一年開(kāi)始至契約終止時(shí)為止，全部保險(xiǎn)期間內(nèi)維持契約所必須支付的費(fèi)用，如催繳保費(fèi)、契約變更等所需費(fèi)用。維持費(fèi)用一般分?jǐn)傆谡麄€(gè)繳費(fèi)期，每年每單位保險(xiǎn)金額為。（3）收費(fèi)費(fèi)用。包括收費(fèi)員工資、繳費(fèi)事務(wù)費(fèi)等，也是分?jǐn)傆谡麄€(gè)繳費(fèi)期，一般按總保費(fèi)的一定比例計(jì)算，用表示。，故又稱(chēng)為史晉列克算式。 壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金 1．壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的含義人壽保險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)既可以一次性躉繳，也可分期繳納。在躉繳保費(fèi)的情況下，保險(xiǎn)公司必須提存一部分以應(yīng)付以后的給付。在分期按年繳費(fèi)的情況下，大多數(shù)是按均衡保險(xiǎn)費(fèi)進(jìn)行的。一般而言，在保險(xiǎn)全過(guò)程的初期若干年中，保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入大于其所應(yīng)支付給受益人的保險(xiǎn)金；而在后期若干年中，其所收入的保費(fèi)小于應(yīng)支付給受益人的保險(xiǎn)金。所以，保險(xiǎn)公司必須把保險(xiǎn)前期收入的部分保費(fèi)積存起來(lái)，以彌補(bǔ)后期的不足。這種從保費(fèi)中抽出一部分做提存的保費(fèi)，稱(chēng)為責(zé)任準(zhǔn)備金。責(zé)任準(zhǔn)備金其實(shí)是保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人或其受益人的一種負(fù)債。責(zé)任準(zhǔn)備金的提存，主要是為了保證被保險(xiǎn)人或其受益人的利益。如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期滿(mǎn)前中途退保，或改變保費(fèi)繳納方式，或改變領(lǐng)取保險(xiǎn)金的方式，保險(xiǎn)人應(yīng)根據(jù)當(dāng)前所提存的責(zé)任準(zhǔn)備金的數(shù)額，計(jì)算退保金或保險(xiǎn)金的數(shù)額。責(zé)任準(zhǔn)備金可分為理論責(zé)任準(zhǔn)備金和在其基礎(chǔ)上修正后的實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金。 2．理論責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算理論責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算，由過(guò)去法和未來(lái)法之分。（1）過(guò)去法。過(guò)去法以分析已繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為出發(fā)點(diǎn)，用過(guò)去所繳純保險(xiǎn)費(fèi)的終值減去過(guò)去已給付保險(xiǎn)金的終值作為責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法。即，時(shí)刻t時(shí)的準(zhǔn)備金=已繳純保險(xiǎn)在時(shí)刻t的精算積存值以往保險(xiǎn)利益在時(shí)刻t時(shí)的精算積存值（2）未來(lái)法。采用過(guò)去法計(jì)算準(zhǔn)備金雖然利于理解，但計(jì)算較繁瑣復(fù)雜，通常不采用這種方法。而常用的是未來(lái)法，它是采用將來(lái)應(yīng)給付保險(xiǎn)金在結(jié)算日的現(xiàn)值減去將來(lái)可收取的純保費(fèi)在結(jié)算日的現(xiàn)值的方法來(lái)計(jì)算準(zhǔn)備金的。即，時(shí)刻t時(shí)的準(zhǔn)備金=未來(lái)保險(xiǎn)利益在時(shí)刻t時(shí)的精算現(xiàn)值未繳純保險(xiǎn)費(fèi)在時(shí)刻t時(shí)的精算現(xiàn)值采用過(guò)去法和未來(lái)法計(jì)算的責(zé)任準(zhǔn)備金是一致的。未來(lái)法和過(guò)去法的等價(jià)關(guān)系說(shuō)明了責(zé)任準(zhǔn)備金實(shí)際上是保險(xiǎn)人在時(shí)刻t的未來(lái)?yè)p失的期望值。3．實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算利用均衡純保費(fèi)計(jì)算準(zhǔn)備金，必須假定附加費(fèi)用足以支付實(shí)際的各項(xiàng)費(fèi)用的開(kāi)支。因?yàn)槊磕甑募儽ｋU(xiǎn)費(fèi)相等，故附加費(fèi)用每年也相等，這就要求每年的實(shí)際費(fèi)用支出相等。然而實(shí)際情況并非如此。由于原始費(fèi)用的關(guān)系，第一年的費(fèi)用要比以后各年的費(fèi)用大得多。因此，保險(xiǎn)公司實(shí)際提存的準(zhǔn)備金并不與理論準(zhǔn)備金相同，而是將理論準(zhǔn)備金加以必要的修正計(jì)算出來(lái)的。這種修正之后的準(zhǔn)備金稱(chēng)為實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金，又稱(chēng)修正責(zé)任準(zhǔn)備金。不論采用什么方式對(duì)理論準(zhǔn)備金加以修正，在保單到期時(shí)的實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金應(yīng)與理論責(zé)任準(zhǔn)備金相同。為討論問(wèn)題方便，我們假定承保有下面的具有代表意義的保單：某年齡為x歲的人，投保n年定期混合保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為元，保險(xiǎn)費(fèi)自保單開(kāi)始時(shí)起分年交付。由于保險(xiǎn)公司開(kāi)始承保的第一年的年度毛保險(xiǎn)費(fèi)減去年度純保險(xiǎn)費(fèi)的余額不足抵付當(dāng)年的開(kāi)支，故將第一年的純保險(xiǎn)費(fèi)修訂為一個(gè)較小的，使保險(xiǎn)公司有元的金額以應(yīng)付當(dāng)年的開(kāi)支，同時(shí)將第二年及以后各年的年度純保險(xiǎn)費(fèi)修正為。換言之，在第一年少收的純保險(xiǎn)費(fèi)，要從第二年以后的純保險(xiǎn)費(fèi)內(nèi)彌補(bǔ)。在修正準(zhǔn)備金時(shí)，第一個(gè)問(wèn)題是如何決定第一年度的純保險(xiǎn)費(fèi)及第二年以后的純保險(xiǎn)費(fèi)，如何令與的差額為，則有，這里的稱(chēng)為扣除額，因?yàn)椋?，為各年的年度純保險(xiǎn)費(fèi)，故其現(xiàn)值應(yīng)與躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值相等，即，又因?yàn)椋?lián)合上面兩式整理后可得，可見(jiàn)，只要使等于某個(gè)規(guī)定值，就可求出對(duì)應(yīng)的及。顯然，對(duì)于扣除額的數(shù)值是不能隨意規(guī)定的，而應(yīng)有一定的限制。例如，保險(xiǎn)公司在第一年的給付，在理論上應(yīng)等于自然純保費(fèi)，故不論怎樣都不得小于，即應(yīng)有，因此，不難求出的最高限額為：同理論責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算一樣，實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算也可分別用過(guò)去法或未來(lái)法進(jìn)行，在此我們不再說(shuō)明?？傊?，實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)卮_定的值。實(shí)務(wù)上采用的所謂一年定期修正制、終身保險(xiǎn)修正制、扣除制等的差別在于選取的的值不同。97 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