【正文】 連續(xù)型隨機(jī)變量，由于隨機(jī)變量可能取到若干個(gè)有限的或無(wú)限的區(qū)間上的任何值，要描述它的概率分布就不能像離散型隨機(jī)變量那樣，而要用到概率分布密度函數(shù)。由于隨機(jī)變量隨實(shí)際問(wèn)題的不同可分為離散型和連續(xù)型兩種，因此對(duì)于不同的隨機(jī)變量有不同的概率分布描述形式。由于保險(xiǎn)標(biāo)的當(dāng)期損失實(shí)際數(shù)須到保險(xiǎn)單期滿后才能得知，這樣確切應(yīng)繳的保險(xiǎn)費(fèi)只有在保險(xiǎn)期滿后才能計(jì)算出來(lái)。經(jīng)驗(yàn)法是指根據(jù)被保險(xiǎn)人以往的損失經(jīng)驗(yàn)，對(duì)分類費(fèi)率進(jìn)行增減變動(dòng)而厘定出來(lái)的費(fèi)率。當(dāng)投保人投保時(shí)，核保人員以實(shí)際投保標(biāo)的所具有的風(fēng)險(xiǎn)與原定標(biāo)準(zhǔn)相比較，若其條件比原定標(biāo)準(zhǔn)好，則按表定費(fèi)率減少一部分；反之，則做適當(dāng)增加。因此，最理想的分類費(fèi)率的條件是每一類別中，各單位所有風(fēng)險(xiǎn)因素的性質(zhì)完全一致，這樣每單位的預(yù)期損失及費(fèi)用都相同。另外，一些新的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，開(kāi)始時(shí)由于缺乏統(tǒng)計(jì)資料，有無(wú)可比情況，只好用判斷法。具體來(lái)講，對(duì)注重防災(zāi)防損工作的被保險(xiǎn)人采取較低的費(fèi)率。合理則是指保險(xiǎn)費(fèi)率應(yīng)盡可能合理，保險(xiǎn)費(fèi)的多少應(yīng)與保險(xiǎn)種類、保險(xiǎn)期限、保險(xiǎn)金額相關(guān)聯(lián)，保險(xiǎn)人不能為追求超額利潤(rùn)而片面制定過(guò)高的保險(xiǎn)費(fèi)率。（1）充分性原則。習(xí)慣上，將純費(fèi)率和附加費(fèi)率相加所得到的保險(xiǎn)費(fèi)率稱為毛費(fèi)率。? 掌握壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定的基本原理及計(jì)算。 保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的原則及數(shù)理基礎(chǔ) 保險(xiǎn)費(fèi)及其厘定原則 1．保險(xiǎn)費(fèi)和保險(xiǎn)費(fèi)率保險(xiǎn)費(fèi)是指被保險(xiǎn)人為獲得保險(xiǎn)保障，在參加保險(xiǎn)時(shí)，根據(jù)其投保時(shí)所定的保險(xiǎn)費(fèi)率，向保險(xiǎn)人交付的費(fèi)用。純費(fèi)率是純保費(fèi)與保險(xiǎn)金額的比率，也稱凈費(fèi)率，它用于保險(xiǎn)事故發(fā)生后進(jìn)行賠償和給付保險(xiǎn)金的費(fèi)率。充分性原則是指所收取的保險(xiǎn)費(fèi)在支付賠款、營(yíng)業(yè)費(fèi)用和稅款之后，仍有一部分的結(jié)余。（3）穩(wěn)定靈活原則。貫徹這一原則有兩個(gè)好處：其一，可以減少保險(xiǎn)人的賠款支出；其二，可以促進(jìn)被保險(xiǎn)人加強(qiáng)防災(zāi)防損，減少整個(gè)社會(huì)的財(cái)富損失。（2）分類法。但現(xiàn)實(shí)生活中的標(biāo)的很難符合這一條件。表定費(fèi)率一般用于性質(zhì)較為復(fù)雜的工商業(yè)風(fēng)險(xiǎn)，如火災(zāi)保險(xiǎn)。也就是說(shuō)，以過(guò)去一段時(shí)期（通常是3年）的平均損失為基礎(chǔ)，厘定未來(lái)時(shí)期被保險(xiǎn)人待用的保險(xiǎn)費(fèi)率。因此，在使用追溯法時(shí)，先在保險(xiǎn)期限開(kāi)始前，以其他類型費(fèi)率確定預(yù)繳保險(xiǎn)費(fèi)，然后在保險(xiǎn)期滿后，根據(jù)實(shí)際損失對(duì)已繳保險(xiǎn)費(fèi)進(jìn)行增減變動(dòng)。對(duì)離散型隨機(jī)變量，由于隨機(jī)變量的取值為有限個(gè)或可數(shù)個(gè)，容易知道，要掌握一個(gè)離散隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，只需知道的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率即可。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)，存在非負(fù)函數(shù)，滿足則稱隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。設(shè)有一離散型隨機(jī)變量，它的可能取值為，這些值對(duì)應(yīng)的概率分別為，則稱為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。3）損失期望值。1）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。這表明，如果方差較小，則隨機(jī)變量與均值之間的偏離就較?。ㄔ诟怕势骄囊饬x下）；如果方差較大，則隨機(jī)變量與均值之間的偏離就較大（在概率平均的意義下）。而僅僅依靠絕對(duì)偏離程度并不能客觀地反映隨機(jī)變量的偏離程度。（1）切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)法則。由于標(biāo)準(zhǔn)差隨著的增大而減小，說(shuō)明當(dāng)足夠大時(shí)，頻率與實(shí)際概率很接近。假設(shè)某一事件在第一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，在第二次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，…，在第次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為。然后，用其近似的估計(jì)未來(lái)單位保額的有效索賠額，進(jìn)而確定純費(fèi)率。它反映了各保額損失率與平均保額損失率相差的程度，說(shuō)明了平均保額損失率的代表性，均方差越小，則其代表性越強(qiáng)；反之，則代表性差。其計(jì)算公式為：純保費(fèi)=保額損失率177。104%180。 營(yíng)業(yè)保險(xiǎn)費(fèi)率的確定 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的營(yíng)業(yè)保險(xiǎn)費(fèi)率是由純保險(xiǎn)費(fèi)率和附加保險(xiǎn)費(fèi)率構(gòu)成的。例如，12月底發(fā)生的一起汽車碰撞事故，當(dāng)事人提出的索賠再次年1月1日以后才在其投保的保險(xiǎn)公司總部備案。有時(shí)保險(xiǎn)公司編制年度報(bào)表時(shí)所依據(jù)的準(zhǔn)備金估計(jì)值不是根據(jù)個(gè)別估計(jì)法估計(jì)出來(lái)的，而是根據(jù)其他方法估計(jì)出來(lái)的，這并不妨礙保險(xiǎn)公司把個(gè)別估計(jì)法作為一個(gè)重要的準(zhǔn)備金提取方法來(lái)使用，這是因?yàn)楦鶕?jù)個(gè)別估計(jì)法估計(jì)出來(lái)的應(yīng)提取準(zhǔn)備金額度是損失理算和按照經(jīng)驗(yàn)法制定費(fèi)率的一個(gè)重要的參考依據(jù)。3）公式法（Formula Method）或賠付率法（Loss Ratio Method）。此種準(zhǔn)備金的計(jì)算方法也比較多。這樣，保險(xiǎn)公司的未決賠款準(zhǔn)備金中總共包括三部分內(nèi)容：為已發(fā)生且已報(bào)告的損失提取的賠款準(zhǔn)備金；為已發(fā)生但尚未報(bào)告的損失提取的賠款準(zhǔn)備金；為損失理算費(fèi)用提取的準(zhǔn)備金。但對(duì)上市的股份制保險(xiǎn)公司而言，過(guò)度提取準(zhǔn)備金還會(huì)有這樣一個(gè)不良的后果：保險(xiǎn)公司利潤(rùn)下降，會(huì)大大挫傷其股東對(duì)公司經(jīng)營(yíng)的信心，從而使該保險(xiǎn)公司的股票價(jià)格受到抑制。被保險(xiǎn)人應(yīng)當(dāng)預(yù)付保費(fèi)，由于保險(xiǎn)公司期限為1年，因此保單出立時(shí)保險(xiǎn)公司顯然沒(méi)有賺取這筆保費(fèi)，但隨著時(shí)間的推移，保險(xiǎn)公司會(huì)賺取相應(yīng)期間的保費(fèi)。具體來(lái)說(shuō)，未到期責(zé)任準(zhǔn)備金是指保險(xiǎn)財(cái)務(wù)年度雖已到期，但保險(xiǎn)責(zé)任年度尚未到期，保險(xiǎn)公司對(duì)未到期保單仍負(fù)有賠付責(zé)任。對(duì)一年期的保單，在承保的第一個(gè)月未賺得1/24的保費(fèi)，即23/24時(shí)未到期的責(zé)任準(zhǔn)備金，以后每個(gè)月已賺得保費(fèi)的比例是按月再加2/24，即3/24，5/24，7/24，…，23/24。保險(xiǎn)期天數(shù)對(duì)個(gè)人保險(xiǎn)來(lái)說(shuō)，這種方法與每月按比例分?jǐn)偡](méi)有多大區(qū)別，因?yàn)閭€(gè)人保險(xiǎn)的月內(nèi)承保業(yè)務(wù)量比較平均，但對(duì)企業(yè)保險(xiǎn)來(lái)說(shuō)，因保險(xiǎn)單一般都在月初生效，這種方法將會(huì)減少未到期責(zé)任準(zhǔn)備金。3．總準(zhǔn)備金總準(zhǔn)備金是指為應(yīng)付巨大災(zāi)害事故的發(fā)生或風(fēng)險(xiǎn)集中發(fā)生所需的巨額賠款而設(shè)立的基金，即對(duì)實(shí)際損失超過(guò)損失期望的情況所做的儲(chǔ)備。壽險(xiǎn)公司在預(yù)定利率時(shí)往往是十分謹(jǐn)慎的，但過(guò)于保守的態(tài)度也會(huì)損害被保險(xiǎn)人的利益或喪失市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。壽險(xiǎn)公司的費(fèi)用一般包括：? 同初始費(fèi)，包括簽發(fā)保單費(fèi)用、承包費(fèi)用等。第三，保險(xiǎn)金額。即使是本公司的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在使用時(shí)仍需要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。利息的數(shù)額取決于本金的數(shù)量、利率的高低、存放期間的長(zhǎng)短。1．單利的計(jì)算單利是指每度量期均只對(duì)本金計(jì)息，而對(duì)本金產(chǎn)生的利息不再計(jì)息。生命表中最重要的內(nèi)容就是每個(gè)年齡的死亡率。這里我們只考慮經(jīng)驗(yàn)生命表按其所計(jì)算的統(tǒng)計(jì)資料性質(zhì)的不同來(lái)劃分，此時(shí)經(jīng)驗(yàn)生命表可劃分為綜合生命表、選擇—終極生命表等。：死亡人數(shù)，是指歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù)，即指歲的生存數(shù)人中，經(jīng)過(guò)一年所死去的人數(shù)。：表示歲的人在生存年后年內(nèi)死亡的概率。期首付年金是指年金的支付發(fā)生在每一期的期初。（1）期末付生命年金的現(xiàn)值。這里的純保費(fèi)是指理論保費(fèi)，即只以預(yù)定死亡率和預(yù)定利率為基礎(chǔ)而計(jì)算出來(lái)的一種保費(fèi)，且剛好可用于未來(lái)保險(xiǎn)金的給付。個(gè)人應(yīng)繳納的總純保費(fèi)等于保險(xiǎn)人各年給付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值之和，即，用總保費(fèi)除以，可以得出每個(gè)人應(yīng)繳納的純保險(xiǎn)金額。設(shè)年繳純保險(xiǎn)費(fèi)在年內(nèi)每年年初繳納一次，則保險(xiǎn)人各年收取純保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值為：此累積現(xiàn)值應(yīng)與躉繳純保費(fèi)相等，即，則，即，因此，（1）定期死亡保險(xiǎn)年繳純保險(xiǎn)費(fèi)：（2）終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)：（3）定期生存保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)： （4）兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)： 壽險(xiǎn)營(yíng)業(yè)保費(fèi)的計(jì)算 1．比例法比例法就是按照營(yíng)業(yè)保費(fèi)的一定比例作為附加費(fèi)用。求該保單的年繳營(yíng)業(yè)保費(fèi)。維持費(fèi)用一般分?jǐn)傆谡麄€(gè)繳費(fèi)期，每年每單位保險(xiǎn)金額為。所以，保險(xiǎn)公司必須把保險(xiǎn)前期收入的部分保費(fèi)積存起來(lái)，以彌補(bǔ)后期的不足。過(guò)去法以分析已繳的純保險(xiǎn)費(fèi)為出發(fā)點(diǎn)，用過(guò)去所繳純保險(xiǎn)費(fèi)的終值減去過(guò)去已給付保險(xiǎn)金的終值作為責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法。然而實(shí)際情況并非如此。在修正準(zhǔn)備金時(shí)，第一個(gè)問(wèn)題是如何決定第一年度的純保險(xiǎn)費(fèi)及第二年以后的純保險(xiǎn)費(fèi)，如何令與的差額為，則有，這里的稱為扣除額，因?yàn)?，…，為各年的年度純保險(xiǎn)費(fèi)，故其現(xiàn)值應(yīng)與躉繳純保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值相等，即，又因?yàn)椋?lián)合上面兩式整理后可得，可見(jiàn)，只要使等于某個(gè)規(guī)定值，就可求出對(duì)應(yīng)的及。例如，保險(xiǎn)公司在第一年的給付，在理論上應(yīng)等于自然純保費(fèi)，故不論怎樣都不得小于，即應(yīng)有，因此，不難求出的最高限額為：同理論責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算一樣，實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算也可分別用過(guò)去法或未來(lái)法進(jìn)行，在此我們不再說(shuō)明。因此，保險(xiǎn)公司實(shí)際提存的準(zhǔn)備金并不與理論準(zhǔn)備金相同，而是將理論準(zhǔn)備金加以必要的修正計(jì)算出來(lái)的。采用過(guò)去法計(jì)算準(zhǔn)備金雖然利于理解，但計(jì)算較繁瑣復(fù)雜，通常不采用這種方法。責(zé)任準(zhǔn)備金其實(shí)是保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人或其受益人的一種負(fù)債。包括收費(fèi)員工資、繳費(fèi)事務(wù)費(fèi)等，也是分?jǐn)傆谡麄€(gè)繳費(fèi)期，一般按總保費(fèi)的一定比例計(jì)算，用表示。按每張保單在保險(xiǎn)期內(nèi)的不同階段和不同用途，附加三種費(fèi)用，稱為三元素法。若以表示純保費(fèi)，表示營(yíng)業(yè)保費(fèi)，表示附加費(fèi)用，則，若以L表示附加保費(fèi)，則，比例法計(jì)算附加費(fèi)用雖然簡(jiǎn)便，但不盡合理。則，引入換算符號(hào)，所以，當(dāng)時(shí)，此即為自然費(fèi)率公式。人壽保險(xiǎn)純保費(fèi)制定的直接依據(jù)是：純保費(fèi)收入的現(xiàn)值等于未來(lái)支付保險(xiǎn)金的現(xiàn)值。設(shè)表示年齡為歲的人，購(gòu)買定期年，期末付年金1元的生命年金的現(xiàn)值。則：其中同樣可以得出：可見(jiàn)，終值和現(xiàn)值之間存在以下的關(guān)系：（2）期末付年金。 年金及其計(jì)算 年金是指在一定時(shí)間內(nèi)按照一定的時(shí)間間隔進(jìn)行的一系列的付款。：死亡率，表示歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。一般選擇0歲為初始年齡，并規(guī)定此年齡的人數(shù)通常取整數(shù)如10萬(wàn)、100萬(wàn)、1000萬(wàn)等。一般情況下，在設(shè)計(jì)生命表時(shí)，主要考慮年齡和性別。復(fù)利的計(jì)算公式為：3．終值與現(xiàn)值的計(jì)算一筆資金在一定利率下存放一定時(shí)期后所得的本利和稱為終值。反之，利息就越少。通過(guò)平均保額可以計(jì)算保單費(fèi)用、每張保單開(kāi)支、單位保費(fèi)費(fèi)用和每次保單終止費(fèi)用等。第四，保費(fèi)繳付頻率。? 保單維持費(fèi)用，包括繳費(fèi)費(fèi)用、會(huì)計(jì)費(fèi)用、傭金的管理費(fèi)用、客戶服務(wù)費(fèi)用、保單維持的記錄費(fèi)用和保費(fèi)收入稅等。各家壽險(xiǎn)公司之間的經(jīng)驗(yàn)死亡表差別是很大的。這部分基金，在一般情況下不予動(dòng)用，只有在巨災(zāi)巨損賠案發(fā)生時(shí)才予以動(dòng)用。假定一年中所有保險(xiǎn)單是逐日開(kāi)出的，而且每天開(kāi)出的保單數(shù)量和保險(xiǎn)金額大體均勻。如果保險(xiǎn)期為6個(gè)月，承保的月末