【正文】 連續(xù)型隨機(jī)變量，由于隨機(jī)變量可能取到若干個有限的或無限的區(qū)間上的任何值，要描述它的概率分布就不能像離散型隨機(jī)變量那樣，而要用到概率分布密度函數(shù)。由于隨機(jī)變量隨實(shí)際問題的不同可分為離散型和連續(xù)型兩種，因此對于不同的隨機(jī)變量有不同的概率分布描述形式。由于保險標(biāo)的當(dāng)期損失實(shí)際數(shù)須到保險單期滿后才能得知，這樣確切應(yīng)繳的保險費(fèi)只有在保險期滿后才能計算出來。經(jīng)驗(yàn)法是指根據(jù)被保險人以往的損失經(jīng)驗(yàn)，對分類費(fèi)率進(jìn)行增減變動而厘定出來的費(fèi)率。當(dāng)投保人投保時，核保人員以實(shí)際投保標(biāo)的所具有的風(fēng)險與原定標(biāo)準(zhǔn)相比較，若其條件比原定標(biāo)準(zhǔn)好，則按表定費(fèi)率減少一部分；反之，則做適當(dāng)增加。因此，最理想的分類費(fèi)率的條件是每一類別中，各單位所有風(fēng)險因素的性質(zhì)完全一致，這樣每單位的預(yù)期損失及費(fèi)用都相同。另外，一些新的保險業(yè)務(wù)，開始時由于缺乏統(tǒng)計資料，有無可比情況，只好用判斷法。具體來講，對注重防災(zāi)防損工作的被保險人采取較低的費(fèi)率。合理則是指保險費(fèi)率應(yīng)盡可能合理，保險費(fèi)的多少應(yīng)與保險種類、保險期限、保險金額相關(guān)聯(lián)，保險人不能為追求超額利潤而片面制定過高的保險費(fèi)率。（1）充分性原則。習(xí)慣上，將純費(fèi)率和附加費(fèi)率相加所得到的保險費(fèi)率稱為毛費(fèi)率。? 掌握壽險費(fèi)率厘定的基本原理及計算。 保險費(fèi)率厘定的原則及數(shù)理基礎(chǔ) 保險費(fèi)及其厘定原則 1．保險費(fèi)和保險費(fèi)率保險費(fèi)是指被保險人為獲得保險保障，在參加保險時，根據(jù)其投保時所定的保險費(fèi)率，向保險人交付的費(fèi)用。純費(fèi)率是純保費(fèi)與保險金額的比率，也稱凈費(fèi)率，它用于保險事故發(fā)生后進(jìn)行賠償和給付保險金的費(fèi)率。充分性原則是指所收取的保險費(fèi)在支付賠款、營業(yè)費(fèi)用和稅款之后，仍有一部分的結(jié)余。（3）穩(wěn)定靈活原則。貫徹這一原則有兩個好處：其一，可以減少保險人的賠款支出；其二，可以促進(jìn)被保險人加強(qiáng)防災(zāi)防損，減少整個社會的財富損失。（2）分類法。但現(xiàn)實(shí)生活中的標(biāo)的很難符合這一條件。表定費(fèi)率一般用于性質(zhì)較為復(fù)雜的工商業(yè)風(fēng)險，如火災(zāi)保險。也就是說，以過去一段時期（通常是3年）的平均損失為基礎(chǔ)，厘定未來時期被保險人待用的保險費(fèi)率。因此，在使用追溯法時，先在保險期限開始前，以其他類型費(fèi)率確定預(yù)繳保險費(fèi)，然后在保險期滿后，根據(jù)實(shí)際損失對已繳保險費(fèi)進(jìn)行增減變動。對離散型隨機(jī)變量，由于隨機(jī)變量的取值為有限個或可數(shù)個，容易知道，要掌握一個離散隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，只需知道的所有可能取值所對應(yīng)的概率即可。如果對于任意實(shí)數(shù)，存在非負(fù)函數(shù)，滿足則稱隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。設(shè)有一離散型隨機(jī)變量，它的可能取值為，這些值對應(yīng)的概率分別為，則稱為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。3）損失期望值。1）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。這表明，如果方差較小，則隨機(jī)變量與均值之間的偏離就較小（在概率平均的意義下）；如果方差較大，則隨機(jī)變量與均值之間的偏離就較大（在概率平均的意義下）。而僅僅依靠絕對偏離程度并不能客觀地反映隨機(jī)變量的偏離程度。（1）切比雪夫（Chebyshev）大數(shù)法則。由于標(biāo)準(zhǔn)差隨著的增大而減小，說明當(dāng)足夠大時，頻率與實(shí)際概率很接近。假設(shè)某一事件在第一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，在第二次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為，…，在第次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為。然后，用其近似的估計未來單位保額的有效索賠額，進(jìn)而確定純費(fèi)率。它反映了各保額損失率與平均保額損失率相差的程度，說明了平均保額損失率的代表性，均方差越小，則其代表性越強(qiáng)；反之，則代表性差。其計算公式為：純保費(fèi)=保額損失率177。104%180。 營業(yè)保險費(fèi)率的確定 財產(chǎn)保險的營業(yè)保險費(fèi)率是由純保險費(fèi)率和附加保險費(fèi)率構(gòu)成的。例如，12月底發(fā)生的一起汽車碰撞事故，當(dāng)事人提出的索賠再次年1月1日以后才在其投保的保險公司總部備案。有時保險公司編制年度報表時所依據(jù)的準(zhǔn)備金估計值不是根據(jù)個別估計法估計出來的，而是根據(jù)其他方法估計出來的，這并不妨礙保險公司把個別估計法作為一個重要的準(zhǔn)備金提取方法來使用，這是因?yàn)楦鶕?jù)個別估計法估計出來的應(yīng)提取準(zhǔn)備金額度是損失理算和按照經(jīng)驗(yàn)法制定費(fèi)率的一個重要的參考依據(jù)。3）公式法（Formula Method）或賠付率法（Loss Ratio Method）。此種準(zhǔn)備金的計算方法也比較多。這樣，保險公司的未決賠款準(zhǔn)備金中總共包括三部分內(nèi)容：為已發(fā)生且已報告的損失提取的賠款準(zhǔn)備金；為已發(fā)生但尚未報告的損失提取的賠款準(zhǔn)備金；為損失理算費(fèi)用提取的準(zhǔn)備金。但對上市的股份制保險公司而言，過度提取準(zhǔn)備金還會有這樣一個不良的后果：保險公司利潤下降，會大大挫傷其股東對公司經(jīng)營的信心，從而使該保險公司的股票價格受到抑制。被保險人應(yīng)當(dāng)預(yù)付保費(fèi)，由于保險公司期限為1年，因此保單出立時保險公司顯然沒有賺取這筆保費(fèi)，但隨著時間的推移，保險公司會賺取相應(yīng)期間的保費(fèi)。具體來說，未到期責(zé)任準(zhǔn)備金是指保險財務(wù)年度雖已到期，但保險責(zé)任年度尚未到期，保險公司對未到期保單仍負(fù)有賠付責(zé)任。對一年期的保單，在承保的第一個月未賺得1/24的保費(fèi)，即23/24時未到期的責(zé)任準(zhǔn)備金，以后每個月已賺得保費(fèi)的比例是按月再加2/24，即3/24，5/24，7/24，…，23/24。保險期天數(shù)對個人保險來說，這種方法與每月按比例分?jǐn)偡]有多大區(qū)別，因?yàn)閭€人保險的月內(nèi)承保業(yè)務(wù)量比較平均，但對企業(yè)保險來說，因保險單一般都在月初生效，這種方法將會減少未到期責(zé)任準(zhǔn)備金。3．總準(zhǔn)備金總準(zhǔn)備金是指為應(yīng)付巨大災(zāi)害事故的發(fā)生或風(fēng)險集中發(fā)生所需的巨額賠款而設(shè)立的基金，即對實(shí)際損失超過損失期望的情況所做的儲備。壽險公司在預(yù)定利率時往往是十分謹(jǐn)慎的，但過于保守的態(tài)度也會損害被保險人的利益或喪失市場競爭力。壽險公司的費(fèi)用一般包括：? 同初始費(fèi)，包括簽發(fā)保單費(fèi)用、承包費(fèi)用等。第三，保險金額。即使是本公司的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在使用時仍需要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。利息的數(shù)額取決于本金的數(shù)量、利率的高低、存放期間的長短。1．單利的計算單利是指每度量期均只對本金計息，而對本金產(chǎn)生的利息不再計息。生命表中最重要的內(nèi)容就是每個年齡的死亡率。這里我們只考慮經(jīng)驗(yàn)生命表按其所計算的統(tǒng)計資料性質(zhì)的不同來劃分，此時經(jīng)驗(yàn)生命表可劃分為綜合生命表、選擇—終極生命表等。：死亡人數(shù)，是指歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù)，即指歲的生存數(shù)人中，經(jīng)過一年所死去的人數(shù)。：表示歲的人在生存年后年內(nèi)死亡的概率。期首付年金是指年金的支付發(fā)生在每一期的期初。（1）期末付生命年金的現(xiàn)值。這里的純保費(fèi)是指理論保費(fèi)，即只以預(yù)定死亡率和預(yù)定利率為基礎(chǔ)而計算出來的一種保費(fèi)，且剛好可用于未來保險金的給付。個人應(yīng)繳納的總純保費(fèi)等于保險人各年給付保險金的現(xiàn)值之和，即，用總保費(fèi)除以，可以得出每個人應(yīng)繳納的純保險金額。設(shè)年繳純保險費(fèi)在年內(nèi)每年年初繳納一次，則保險人各年收取純保險費(fèi)的現(xiàn)值為：此累積現(xiàn)值應(yīng)與躉繳純保費(fèi)相等，即，則，即，因此，（1）定期死亡保險年繳純保險費(fèi)：（2）終身壽險的年繳凈保費(fèi)：（3）定期生存保險的年繳凈保費(fèi)： （4）兩全保險的年繳凈保費(fèi)： 壽險營業(yè)保費(fèi)的計算 1．比例法比例法就是按照營業(yè)保費(fèi)的一定比例作為附加費(fèi)用。求該保單的年繳營業(yè)保費(fèi)。維持費(fèi)用一般分?jǐn)傆谡麄€繳費(fèi)期，每年每單位保險金額為。所以，保險公司必須把保險前期收入的部分保費(fèi)積存起來，以彌補(bǔ)后期的不足。過去法以分析已繳的純保險費(fèi)為出發(fā)點(diǎn)，用過去所繳純保險費(fèi)的終值減去過去已給付保險金的終值作為責(zé)任準(zhǔn)備金的計算方法。然而實(shí)際情況并非如此。在修正準(zhǔn)備金時，第一個問題是如何決定第一年度的純保險費(fèi)及第二年以后的純保險費(fèi)，如何令與的差額為，則有，這里的稱為扣除額，因?yàn)?，…，為各年的年度純保險費(fèi)，故其現(xiàn)值應(yīng)與躉繳純保險費(fèi)的現(xiàn)值相等，即，又因?yàn)?，?lián)合上面兩式整理后可得，可見，只要使等于某個規(guī)定值，就可求出對應(yīng)的及。例如，保險公司在第一年的給付，在理論上應(yīng)等于自然純保費(fèi)，故不論怎樣都不得小于，即應(yīng)有，因此，不難求出的最高限額為：同理論責(zé)任準(zhǔn)備金的計算一樣，實(shí)際責(zé)任準(zhǔn)備金的計算也可分別用過去法或未來法進(jìn)行，在此我們不再說明。因此，保險公司實(shí)際提存的準(zhǔn)備金并不與理論準(zhǔn)備金相同，而是將理論準(zhǔn)備金加以必要的修正計算出來的。采用過去法計算準(zhǔn)備金雖然利于理解，但計算較繁瑣復(fù)雜，通常不采用這種方法。責(zé)任準(zhǔn)備金其實(shí)是保險人對被保險人或其受益人的一種負(fù)債。包括收費(fèi)員工資、繳費(fèi)事務(wù)費(fèi)等，也是分?jǐn)傆谡麄€繳費(fèi)期，一般按總保費(fèi)的一定比例計算，用表示。按每張保單在保險期內(nèi)的不同階段和不同用途，附加三種費(fèi)用，稱為三元素法。若以表示純保費(fèi)，表示營業(yè)保費(fèi)，表示附加費(fèi)用，則，若以L表示附加保費(fèi)，則，比例法計算附加費(fèi)用雖然簡便，但不盡合理。則，引入換算符號，所以，當(dāng)時，此即為自然費(fèi)率公式。人壽保險純保費(fèi)制定的直接依據(jù)是：純保費(fèi)收入的現(xiàn)值等于未來支付保險金的現(xiàn)值。設(shè)表示年齡為歲的人，購買定期年，期末付年金1元的生命年金的現(xiàn)值。則：其中同樣可以得出：可見，終值和現(xiàn)值之間存在以下的關(guān)系：（2）期末付年金。 年金及其計算 年金是指在一定時間內(nèi)按照一定的時間間隔進(jìn)行的一系列的付款。：死亡率，表示歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。一般選擇0歲為初始年齡，并規(guī)定此年齡的人數(shù)通常取整數(shù)如10萬、100萬、1000萬等。一般情況下，在設(shè)計生命表時，主要考慮年齡和性別。復(fù)利的計算公式為：3．終值與現(xiàn)值的計算一筆資金在一定利率下存放一定時期后所得的本利和稱為終值。反之，利息就越少。通過平均保額可以計算保單費(fèi)用、每張保單開支、單位保費(fèi)費(fèi)用和每次保單終止費(fèi)用等。第四，保費(fèi)繳付頻率。? 保單維持費(fèi)用，包括繳費(fèi)費(fèi)用、會計費(fèi)用、傭金的管理費(fèi)用、客戶服務(wù)費(fèi)用、保單維持的記錄費(fèi)用和保費(fèi)收入稅等。各家壽險公司之間的經(jīng)驗(yàn)死亡表差別是很大的。這部分基金，在一般情況下不予動用，只有在巨災(zāi)巨損賠案發(fā)生時才予以動用。假定一年中所有保險單是逐日開出的，而且每天開出的保單數(shù)量和保險金額大體均勻。如果保險期為6個月，承保的月末